精品解析：山东省泰安第一中学2025-2026学年高一第二学期4月阶段性检测数学试卷

2025—2026学年高一第二学期4月阶段性检测数学试卷 2025年4月 第Ⅰ卷（选择题，58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A. 考点：向量运算及相关概念. 2. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因复数为纯虚数， 则有且，解得， 所以. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 4. 已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， ∴，又，所以，∴或（舍去）， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 5. 如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量加减法和数乘运算用表示出，然后可得的值，可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， ， 又为的中点， 所以. 所以，所以. 故选：A 6. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 8. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数的共轭复数为．若，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设复数，可得其共轭复数，利用复数的运算以及模长公式，列方程得出，的关系，再逐个判断即可． 【详解】设复数，则， ， ，， 又， ， 化简得，即，即， 因为，，，， 故符合题意的有ACD. 故选：ACD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知是非零向量，，若，则 B. 非零向量和，满足，则与的夹角为 C. 点在所在的平面内，满足，则点是的外心 D. 以为顶点的四边形是一个矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由向量垂直的的运算法则可判断正确； 对B，可结合线性运算作图快速判断正确； 对C，结合重心性质可判断当时，应为三角形中心，判断错误； 对D，可设，可证，可判断四边形为平行四边形，再证即可判断四边形为矩形 【详解】对A，是非零向量，，若，即，， 即，故A正确； 对B，由非零向量和，满足，如图所示： 当向量方向如图所示，夹角为120°时，刚好满足题设条件， 则为菱形的斜对角线所示方向， 与的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为，故B正确； 对C，当时，点为的重心，故C错误； 对D，可设，则， ，则四边形为平行四边形，又， 故，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形可判断四边形为矩形， 故D正确. 故答案为：ABD. 【点睛】本题考查平线向量的综合应用，向量垂直的判断，向量在几何关系中的应用问题，属于中档题 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性求范围判断即可，对B借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可判断，对C借助等面积法及基本不等式计算即可判断，对D根据正弦定理及条件可判断三角形为正三角形，再由向量数量积的运算及圆的几何性质求解即可判断. 【详解】由题意，，整理可得， 由余弦定理可知，，， 对A， ，，，，，故A正确； 对B，，因为是锐角三角形，，，，故B错误； 对于C，由，可得， 即，可得，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，由正弦定理，则，则，由余弦定理可得，所以， 又，所以，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ，由，可得，则，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是______（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为锐角，得到不等式，求出答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，解得. 故答案为： 13. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题中所给的公式代值解出． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 14. 如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设边长为1，，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，， 则，可得， 由， 可得，解得其中， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，结合数量积的运算律以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 由（1）（2）得， . 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【小问1详解】 由，为实数，则为实数， 所以，即，， 所以. 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根， 则， 所以，， 又，所以. 17. 如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中. （1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积； （2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】（1）作图见解析，6； （2）体积为；表面积为. 【解析】 【分析】（1）先还原出原图形，再求面积即可. （2）先确定旋转所成的图形是圆锥，再求表面积即可. 【小问1详解】 在直观图中， 则在四边形中， 所以四边形如图所示： 由图可知，四边形为直角梯形， 所以面积为. 【小问2详解】 直角梯形以直线为轴，旋转一周形成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体的底面圆半径，圆柱的高， 圆锥的高，母线长. 所以该几何体的体积. 表面积 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换的公式求解即可； （2）利用得到，结合余弦定理解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则由得：， 在中，， ，则， ，， ， ，； 【小问2详解】 ∵D为AC的中点，，，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积. 19. 某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点S到点T的距离； （2）求点P到点R的距离； （3）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）在连接，由四边形内角和得，结合余弦定理即可求解； （2）由余弦定理求得的值，进一步结合诱导公式得，再一次，利用正弦定理得，最终在中，由勾股定理列式即可求解； （3）由三角形面积的两种表示方法得，结合基本不等式得的范围，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，在四边形中， 因为，，，所以. 在中，由余弦定理可得， 所以（m）. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得. 则， 在中，由正弦定理可得， 解得. 在中，由勾股定理得， 所以（m）. 【小问3详解】 因为， ， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，因此，. 所以当时，三角形区域面积最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一第二学期4月阶段性检测数学试卷 2025年4月 第Ⅰ卷（选择题，58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点则与同方向的单位向量为 A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数的共轭复数为．若，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知是非零向量，，若，则 B. 非零向量和，满足，则与的夹角为 C. 点在所在的平面内，满足，则点是的外心 D. 以为顶点的四边形是一个矩形 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的取值范围是 B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9 D. 若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是______（用区间表示）. 13. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________． 14. 如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 16. 已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 17. 如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中. （1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积； （2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若D为AC的中点，且，，求的面积. 19. 某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. （1）求点S到点T的距离； （2）求点P到点R的距离； （3）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $