精品解析：山西晋中市榆次区第二中学2026届高三下学期模拟数学试题

2025－2026学年高三模拟试卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，题答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（    ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 4. 已知△ABC的周长为11，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，则b=（ ） A. 3 B. 3或5 C. 4或5 D. 4 5. 已知为坐标原点，为抛物线 的焦点，为上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 必是递减数列 B. C. 公比或 D. 或 10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 为偶函数 B. 为的导函数的极大值点 C. 是函数的极值点 D. 函数的零点个数为1 11. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则_________. 13. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是______. 14. 已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求的增区间； （2）若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 16. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为. （1）求的标准方程. （2）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，，求直线的方程. 17. 如图，在五面体中，，，两两平行，，，． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求二面角的正弦值． 18. 设函数(). （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，证明：. 19. 第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． （1）已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． （2）记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高三模拟试卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，题答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可. 【详解】因为. 所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，，解得， 则，所以. 3. 已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（    ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求出结果即可. 【详解】由题意可知共有10个数，因为，则第70百分位数是第七个和第八个数的平均数， 即，解得. 故选：C. 4. 已知△ABC的周长为11，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，则b=（ ） A. 3 B. 3或5 C. 4或5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程，求解作答. 【详解】依题意，，在中，由余弦定理得： ，整理得，解得或， 所以或. 故选：B 5. 已知为坐标原点，为抛物线 的焦点，为上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据焦半径公式可得，代入抛物线可得，进而可得. 【详解】设，因为，所以，解得， 因为为上一点，所以，故. 故选：B 6. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：. 7. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，，从而求得，，，再由求解. 【详解】设的公差为d． 因为， 所以，， 则，，． 因为，所以，解得． 故选：B 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式求解. 【详解】 所以， 所以 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 必是递减数列 B. C. 公比或 D. 或 【答案】BD 【解析】 【分析】 设设等比数列的公比为，则，由已知得，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列的公比为，则， 因为， ， 所以， 解得或， 当，时，，数列是递减数列； 当，时，，数列是递增数列； 综上，. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为，进而解方程计算. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 为偶函数 B. 为的导函数的极大值点 C. 是函数的极值点 D. 函数的零点个数为1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性判断选项A，对函数求导得，令，对求导，利用函数单调性分析即可得出结论；通过函数在上单调性分析得出选项C；利用函数零点存在性定理以及函数单调性判断即可得出选项D. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以函数不是偶函数，故A选项不正确； 由， 令， 则， 令， 因为，所以， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以为的极大值点， 即为的导函数的极大值点，故B选项正确； 由B选项可知当时， ， 即当时，， 所以函数在上单调递减， 所以不是函数的极值点，故C选项不正确； 由函数在上单调递减， 且， ， 所以函数在上只有1个零点， 故D选项正确； 故选：BD. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】联立及，可得M，N的坐标，从而可得的坐标及模，根据向量的数量积运算，可得，从而得，求出离心率判断A；由四边形为平行四边形，可判断B；求得，，可判断C，求出四边形的面积，可判断D. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或， 不妨设，则， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由题意可得 又因为，解得，故A错误； 对于B，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故B正确； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以， 同理，若，则，可得，故C不正确； 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得，进而可得的坐标和模长. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，设，得到，从而得到的单调性和，根据有两个极值点，结合零点存在定理，得到的范围. 【详解】，定义域为， ， 设，，， 当时，，所以在单调递减，即在单调递减； 当时，，所以在单调递增，即在单调递增， 所以， 因为有两个极值点，所以有两个解， 因为和时，都有，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解. 【详解】设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形， 因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为． 不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者． 易得该正六棱柱的外接球半径为． 当时，，． 当，，， 所以时，取得最小值． 又因为一个等边三角形的面积为， 所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为． 故答案为：36． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求的增区间； （2）若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，然后由二倍角公式和辅助角公式化简解析式，根据正弦函数的单调区间求得函数的单调递增区间； （2）依题意可得，即可求出A，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出a的最小值． 【小问1详解】 因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 令， 则， 即函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，则， 因为，所以，则，解得． 因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时取等号， 故a的最小值为． 16. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为. （1）求的标准方程. （2）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率和上顶点坐标，利用椭圆中的关系求椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和三角形面积公式求直线参数，进而得到直线方程. 【小问1详解】 椭圆的上顶点的坐标， . 又椭圆的离心率，且，得. 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，此时三点共线，不存在，不符合题意. 当直线的斜率不为，设直线的方程为 将直线与椭圆联立方程组，得. 得到. 设，则. 因为与椭圆的另一交点为，所以关于原点对称，即为中点. 所以，所以. . 化简得，即，解得. 可得直线的方程为，即或. 17. 如图，在五面体中，，，两两平行，，，． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若平面，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角. 【小问1详解】 如图，设E为的中点，连接，， 因为D为的中点，所以，， 则，，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由平面，平面，得，根据题意以B为坐标原点， ，所在直线分别为x，y轴，过点B且与平面垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 易知，故，则. 设平面的法向量为，则，即， 取，则. 因为平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的大小为， 则， 则， 故二面角的正弦值为. 18. 设函数(). （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，证明：. 【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解. （2）由，分，，，，由，求解. （3）根据（1）知在上为减函数，得到，即，然后令，得到，再利用不等式的性质求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 若，则， 若，则, 在上单调递减，在上单调递增． ，没有极大值． （2）， 当时，若，则， 若，则， 在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 若，则或， 若，则 在上单调递减，在，上单调递增 当，即时，恒成立， 在上单调递增． 当，即时， 若，则或; 若，则， 在上单调递减，在上单调递增 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增; 当时，在上单调递增; 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在上单调递增; （3）由（1）知在上为减函数， 时，， 令，得 ， 即 ，…, ， 将以上各式左右两边相加得： ， . 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是联系到在上为减函数，再从不等式的结构和对数的运算，想到构造求解. 19. 第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． （1）已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． （2）记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 【答案】（1）（i）分布列见解析，；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）分别计算出取1，2，3对应的概率，列出分布列，求出期望； （ii）用条件概率公式进行求解； （2）法一：根据裂项相消发化简得，结合证不等式； 法二：计算，用平方差公式展开约分，得，结合证不等式； 【小问1详解】 （i）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望. （ii）设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，（，2，3）表示该人第i轮闯关成功， 则，，， ， ， 由条件概率的计算公式可得， 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为. 【小问2详解】 法一：由题意知 ， 令， 则， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 法二：由题意知， 则 ， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $