专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题（含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）7大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 （含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）7大题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 恒成立问题 题型02 能成立（有解）问题 题型03 利用导数证明不等式 题型04 参变分离 题型05 洛必达法则 题型06 端点效应与必要性探路 题型07 恒成立问题中的整数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：恒成立问题 能将“（或）在给定区间上恒成立”转化为函数最值问题（或分离参数后求最值），正确求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、构造函数结合，易错点在于最值点是否在区间内，以及等号的取舍 02：能成立（有解）问题 能将“存在 使 （或）成立”转化为函数最大值非负（或最小值非正），或分离参数后转化为值域问题，求解参数范围 与恒成立对称考查，注意逻辑词转换，易混淆“任意”与“存在”的条件，需强化等价转化训练 03：利用导数证明不等式 能通过构造函数、求导判断单调性或最值，证明与函数相关的不等式（常见如单变量、双变量、数列型不等式） 压轴题常见题型，考查构造能力与代数变形，易错点在于构造函数不恰当或忽略定义域 04：参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域，简化分类讨论 重要解题技巧，简化运算，注意分离后函数定义域及极限情况，以及分离后参数系数的正负对不等号方向的影响 05：洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（ 或 ）的极限，用于确定参数范围或证明不等式 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（函数可导且分母导数不为零），避免盲目使用 06：端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，从而简化分类讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，节省时间，易错点在于只求必要性而忘记验证充分性 07：恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，通过分离参数或直接分析，求解使不等式恒成立（或有解）的整数参数的最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值法结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点处的取舍判断 知识点1.恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点2.能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点3.端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 知识点4.洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1】（24-25高二下·广东珠海·期中）函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间． (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数.当时，，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【变式3】（24-25高二下·黑龙江·期中）已知函数，定义域为． (1)时，证明：． (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)求证：（） 题型二 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是______. 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【变式2】（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 题型三 利用导数证明不等式 解｜题｜技｜巧 一般步骤：将不等式移项构造辅助函数 ，求导分析 的单调性、极值与最值，证明 （或 ）在指定区间上恒成立。若一阶导符号难以直接判断，可继续求二阶导或多次求导。有时需要对原不等式进行放缩、变形或利用已知结论（如 、）辅助证明。 【典例1】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知. (1)若函数，讨论的单调性与极值； (2)证明：. 【典例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有最大值，求证：． 【变式1】（24-25高二下·辽宁·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：，. 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)证明：当时，； (3)证明：当时，有. 题型四 参变分离 解｜题｜技｜巧 参变分离是处理含参恒成立、有解问题的重要技巧。将参数与变量分列不等式两侧，使一侧只含参数，另一侧只含变量（如 或 ）。分离时需注意分母的正负：若分母恒正或恒负可直接乘；若分母变号则需分类讨论。分离后，问题转化为求不含参函数 的最值或值域。 【典例1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求证：恒成立； (2)若恒成立，求的取值范围． 【典例2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 【变式1】（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     【变式2】（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 题型五 洛必达法则 解｜题｜技｜巧 洛必达法则用于求解 或 型的极限，在导数大题中常用于处理分离参数后函数在端点处无定义的情形（如 时极限）。使用步骤：确认极限为未定式，分子分母分别求导，再求导后函数的极限（可重复使用），直到得到确定值。注意：仅当极限存在（或为无穷）时可用，且不能与参数分离的合法性冲突；在高考解答题中建议先分离参数，再用洛必达求临界值，最后用导数严格验证。 【典例1】已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【变式1】，恒成立，求的取值范围 【变式2】设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 题型六 端点效应与必要性探路 解｜题｜技｜巧 对闭区间 上的恒成立问题，先代入端点（如 或 ）得到参数的必要条件，从而缩小参数范围。若端点处函数值为零且导数为零，可能属于“假性端点”，此时需进一步考虑二阶导甚至三阶导（泰勒展开）或利用放缩法。解题流程：必要性探路（取端点得参数范围）→ 在缩小后的范围内证明充分性（往往用导数分析单调性），必要时对参数再细分讨论。 【典例1】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【变式2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 题型七 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 此类问题要求参数为整数，且不等式恒成立。常用策略：先忽略整数条件，通过分离参数或构造函数求出参数的大致范围（通常含根号或对数）；再结合整数特性，利用不等式两端相邻整数的取值进行验证。例如，若求得 ，而 介于两个整数 与 之间，则分别检验 和 是否满足恒成立，从而确定最小整数或最大整数。有时需要利用函数的单调性直接比较整数点处的函数值。 【典例1】（24-25高二下·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当为整数时，若恒成立，求的最小值. 【变式1】（24-25高二下·江苏苏州·月考）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【变式2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 3．（24-25高二下·天津河西·月考）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 4．（24-25高二下·青海西宁·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，，若恒成立，则的最小值为_________． 6．（24-25高二下·天津·月考）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 8．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 9．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 10．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，（）. (1)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； (2)若存在正数x，使成立，求实数a的取值范围； (3)若，证明：对任意的，存在唯一的实数，使得成立. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 （含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）7大题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 恒成立问题 题型02 能成立（有解）问题 题型03 利用导数证明不等式 题型04 参变分离 题型05 洛必达法则 题型06 端点效应与必要性探路 题型07 恒成立问题中的整数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：恒成立问题 能将“（或）在给定区间上恒成立”转化为函数最值问题（或分离参数后求最值），正确求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、构造函数结合，易错点在于最值点是否在区间内，以及等号的取舍 02：能成立（有解）问题 能将“存在 使 （或）成立”转化为函数最大值非负（或最小值非正），或分离参数后转化为值域问题，求解参数范围 与恒成立对称考查，注意逻辑词转换，易混淆“任意”与“存在”的条件，需强化等价转化训练 03：利用导数证明不等式 能通过构造函数、求导判断单调性或最值，证明与函数相关的不等式（常见如单变量、双变量、数列型不等式） 压轴题常见题型，考查构造能力与代数变形，易错点在于构造函数不恰当或忽略定义域 04：参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域，简化分类讨论 重要解题技巧，简化运算，注意分离后函数定义域及极限情况，以及分离后参数系数的正负对不等号方向的影响 05：洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（ 或 ）的极限，用于确定参数范围或证明不等式 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（函数可导且分母导数不为零），避免盲目使用 06：端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，从而简化分类讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，节省时间，易错点在于只求必要性而忘记验证充分性 07：恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，通过分离参数或直接分析，求解使不等式恒成立（或有解）的整数参数的最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值法结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点处的取舍判断 知识点1.恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点2.能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点3.端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 知识点4.洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1】（24-25高二下·广东珠海·期中）函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形恒成立的不等式，分离参数构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】，， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以k的取值范围是. 故选：D 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期中）已知函数． (1)若，求函数的单调区间． (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间是、，减区间是 (2) 【分析】（1）当时，求出的导数，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，根据可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得或， 所以函数的增区间是、，减区间是. （2）因为，则， 当时，可得，由可得或， 所以函数的增区间是、，减区间是. 所以函数的极大值为，且， 所以，解得，此时； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为、， 所以函数的极大值为，且，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高二下·湖北十堰·期中）已知函数.当时，，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，需对导函数再次求导分析的正负，对进行分类讨论即可得出答案. 【详解】由题设得，， 设，， 则， 当即时，，故在上为增函数， 故，即，所以在上为增函数，故； 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上单调递减， 所以，即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍去； 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍去， 综上，. 故选：A. 【变式2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 【变式3】（24-25高二下·黑龙江·期中）已知函数，定义域为． (1)时，证明：． (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)求证：（） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，等价变形所证不等式，再构造函数并利用导数证明不等式. （2）变形不等式，结合给定条件可得，构造函数，利用导数求解恒成立的范围. （3）利用（1）（2）的结论，结合等比数列前和公式求和即可推理得证. 【详解】（1）当时，函数，，不等式， 设，求导得，函数在上单调递减， 因此，所以. （2）当时，不等式 令，显然，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 因此，符合题意； 当时，记， 抛物线的开口向上，对称轴，又， 当时，，从而， 函数在上单调递减，则当时，，不符合题意. 所以. （3）由（1）知：当时，，令，则， 因此， 由（2）知：令，当时，， 当时，，要证不等式左侧成立， 时， ， 因此， 所以. 题型二 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数求解最小值，利用分离参数法可求答案. 【详解】因为，所以， 时，，为减函数，时，，为增函数， 所以时，的最小值为. 若任意，使，则， 所以在上有解，即在上有解， 令，，得， 当时，，为增函数，当时，，为减函数； 因为，，且， 所以，所以. 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 【变式1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 【变式2】（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 题型三 利用导数证明不等式 解｜题｜技｜巧 一般步骤：将不等式移项构造辅助函数 ，求导分析 的单调性、极值与最值，证明 （或 ）在指定区间上恒成立。若一阶导符号难以直接判断，可继续求二阶导或多次求导。有时需要对原不等式进行放缩、变形或利用已知结论（如 、）辅助证明。 【典例1】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知. (1)若函数，讨论的单调性与极值； (2)证明：. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先求出函数的解析式，然后求导分析单调性，确定极值即可； （2）要证，转化为证，再构造函数，利用函数单调性证明即可. 【详解】（1）由题意，得，则. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以的极小值为，无极大值. （2）要证成立，只需证成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即， 由（1）知，时，， 且的最小值点与的最大值点不同， 所以，即，所以. 【典例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有最大值，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数导函数，分，两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大值，依题意即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，．， 则，， 故曲线在点处的切线方程是． （2）函数的定义域为， 又， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，则， 所以时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值是， 要证， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，则．即，得证． 【变式1】（24-25高二下·辽宁·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得答案； （2）当时，令， 利用导数求出的最小值可得答案. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为； （2）当时，令， 则，令，则， 所以在上单调递减，又， 则当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，即. 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设函数. (1)求函数的单调区间及极值； (2)证明：当时，； (3)证明：当时，有. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导分析导函数的正负进而即可； （2）代入可得需证，构造，求导分析单调性与最小值证明即可； （3）由（2）可得，再取，且，可得，再单独证明，将所得不等式累加求和即可. 【详解】（1）的定义域为，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故有极小值. 综上有的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值. （2）要证，即证，即证. 令，则， 因为，故，故在上单调递增. 故，即得证. （3）由（2）可得当时， 令，且， 则，即 故，. 又，故，即. 则. 故，即得证. 题型四 参变分离 解｜题｜技｜巧 参变分离是处理含参恒成立、有解问题的重要技巧。将参数与变量分列不等式两侧，使一侧只含参数，另一侧只含变量（如 或 ）。分离时需注意分母的正负：若分母恒正或恒负可直接乘；若分母变号则需分类讨论。分离后，问题转化为求不含参函数 的最值或值域。 【典例1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求证：恒成立； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数判断的单调性，进而求出其最值，证明不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法得到，再构造，利用导数求解的最大值，再求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 则，且的定义域为， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 得到恒成立. （2）若恒成立，则恒成立， 得到恒成立，易得， 故恒成立，令， 得到恒成立，令，则恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 则，即. 【典例2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)e 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解； （2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解； （3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】（1）由函数 ，可得 ， 令 ，可得 ， 则 的关系，如图下表： 2 (-2,1) (1,2) f(-2)= 极大值 f(1)=e f(2)=0 综上可得，函数 ． （2）由函数 ， 可得 ， 因为 ， 所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有 极小值 极大值 综上可得，函数 恰有个极值点． （3）因为 ，所以 ，不等式 恒成立， 设 ，可得 ， 所以 的关系，如图下表： (-3,-1) (-1,2) 2 h(-3)= 极大值h(-1)=e h(2)= ， ， ， 所以 ，所以实数 的最小值为． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式1】（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）先注意到恒成立，可把问题转化成时，恒成立，分离参数可得：，设函数，利用导数，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以，切线方程为，即. （2）当时，， ①当时，因为恒成立，所以； ②当时，由恒成立，得 令，. 再令， 所以在上单调递增， 所以，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以. 即的取值范围为： 【变式2】（2025·四川达州·二模）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）分情况讨论，分离参数，可把问题转化为，恒成立的问题，设，，利用导数求函数的最小值即可. （3）问题转化为，设，，只需证的最小值大于0即可. 【详解】（1）因为，所以. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 当时，上式恒成立，即； 当时，. 设，， 则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 所以由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 综上可知：的取值范围为：. （3）时，要证，即. 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解，设为，且，. 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即. 所以在上恒成立. 从而原命题成立. 题型五 洛必达法则 解｜题｜技｜巧 洛必达法则用于求解 或 型的极限，在导数大题中常用于处理分离参数后函数在端点处无定义的情形（如 时极限）。使用步骤：确认极限为未定式，分子分母分别求导，再求导后函数的极限（可重复使用），直到得到确定值。注意：仅当极限存在（或为无穷）时可用，且不能与参数分离的合法性冲突；在高考解答题中建议先分离参数，再用洛必达求临界值，最后用导数严格验证。 【典例1】已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案. 【详解】当时，，即， ①当时，，， ②当时，等价于， 即， 令，，则， 记，， 则，因此在上单调递增， 且，所以， 从而在上单调递增， 所以， 由洛必达法则得， 即，. 综上所述，实数a的取值范围为. 【变式1】，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【变式2】设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 题型六 端点效应与必要性探路 解｜题｜技｜巧 对闭区间 上的恒成立问题，先代入端点（如 或 ）得到参数的必要条件，从而缩小参数范围。若端点处函数值为零且导数为零，可能属于“假性端点”，此时需进一步考虑二阶导甚至三阶导（泰勒展开）或利用放缩法。解题流程：必要性探路（取端点得参数范围）→ 在缩小后的范围内证明充分性（往往用导数分析单调性），必要时对参数再细分讨论。 【典例1】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对函数进行求导得到，再根据导数的几何意义，即可得到答案； （2）先根据得到，缩小的取值范围，再利用放缩法证明在恒成立，即可得到答案； 【详解】（1）当时，，， ， 切点为，斜率为， 曲线在点处的切线方程：. （2）恒成立,, , 令，， 在恒成立， 在单调递增，且， ，， 在单调递减，在单调递增， ，恒成立， 实数的取值范围. 【变式1】已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 【变式2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 题型七 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 此类问题要求参数为整数，且不等式恒成立。常用策略：先忽略整数条件，通过分离参数或构造函数求出参数的大致范围（通常含根号或对数）；再结合整数特性，利用不等式两端相邻整数的取值进行验证。例如，若求得 ，而 介于两个整数 与 之间，则分别检验 和 是否满足恒成立，从而确定最小整数或最大整数。有时需要利用函数的单调性直接比较整数点处的函数值。 【典例1】（24-25高二下·安徽·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当为整数时，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增． (3)1． 【分析】（1）当时，对求导，求出，在由导数的几何意义即可得出答案. （2）对求导，分和，讨论与的正负即可得出的单调性； （3）将题意转化为在恒成立，设，求出的最大值即可得出答案. 【详解】（1）当时，，∴， ∵，∴， ∴曲线在处的切线方程为：． （2）的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递减； ②当时，令，得，令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． （3）∵，∴，即 设，则， 设，则， 设，则， 令，得；令，得． ∴时，为增函数，时，为减函数， ∴，即，∴在上为减函数. ∵， ∴，使， ∴时，，从而，为增函数； 时，，从而，为减函数； ∴的最大值为 由得， ∴， ∵，∴， ∴ ∴整数的最小值为1． 【变式1】（24-25高二下·江苏苏州·月考）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【详解】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. 【变式2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)-2 【分析】（1）求导确定切线斜率即可求解； （2）求导得到，对分类讨论，可得单调区间； （3）构造函数，，求导确定函数单调性，求得最值即可求解； 【详解】（1）定义域为，， 当时，，， 则曲线在点处的切线为． （2）因为定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时， x 0 极大值 综上：当时的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）依题知，恒成立，即恒成立， 设， 则， 当时，令，解得 x 0 极大值 则恒成立， 整理得． 设，，则恒成立， 所以在上单调递增，又且， 且，， 故整数a的最大值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意，分离参数得，令，，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】由条件，可得，令，， 则， 故在单调上递增，即的最小值为，则. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】参变分离，构造新函数，求得单调性即可求解． 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立， 取，所以，显然递增，即， 所以在单调递增，所以， 所以， 故答案为：． 3．（24-25高二下·天津河西·月考）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 4．（24-25高二下·青海西宁·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】先分离参数然后构造函数，然后换元得到函数，利用导数求其最小值进而得到的取值范围. 【详解】因为，所以可化为. 令， 设，，则，设， 令，即，则，所以的单调递增区间为； 令，即，则，所以的单调递减区间为； 所以 在上的最小值为，即在上的最小值为 则，解得. 故答案为： 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，，若恒成立，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】当时，不恒成立；当时，由恒成立的条件是，若恒成立，得，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】由已知， ①当时，恒成立， 但不能恒成立，所以不恒成立； ②当时， 因为，所以恒成立的条件是， 此时正负由决定， 即恒成立， 因为与都是单调递增函数， 为使乘积非负，两零点需重合，需， 故， 令，， 所以在上单调递减，， 即. 故答案为：1. 6．（24-25高二下·天津·月考）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为： 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 8．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； (2) 【分析】（1）求出的导函数，对一元二次方程中判别式进行分析讨论，并分析导函数的正负求解； （2）先求出的导函数，再求出的导函数，并分析是增函数，用与0的大小关系进行分类讨论求解. 【详解】（1）由题，， 则， ①当时，，在上恒成立，则的单调递增区间为， ②当时，在上恒成立， 则的单调递增区间为， ③当时，时，， 时，， 时，， 所以的单调递增区间为和， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； （2）， 设，则， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，且， ①当时，，又在区间上单调递增， 所以对任意，都有， 所以在区间上单调递增，所以满足条件； ②当时，，， 所以，使得， 所以当时，单调递减， 即当时，，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围为． 9．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1). (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求出切线方程即可； （2）对参数的取值分类讨论，即可得出在R上的单调性； （3）将不等式等价转化为对任意的恒成立，求导得出当时在上恒成立，由恒成立可知满足题意，再对进行单调性分析得出矛盾即可求得结果. 【详解】（1）当时，函数，求导可得， 则有, 则在处的切线方程为，即. （2）易知， 当时，，故恒成立，在上单调递增； 当时，令，解得, 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可知时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式即为， 即对任意的恒成立， 设，易知， 令， 则，因为，所以, 因此，因此在上单调递增； 又， 当时，即时，，即在上恒成立， 因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意； 当时，，由可得； 此时， 易知当时，， 即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾， 综上可得的取值范围为. 10．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，（）. (1)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； (2)若存在正数x，使成立，求实数a的取值范围； (3)若，证明：对任意的，存在唯一的实数，使得成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）在区间上为减函数，可得在区间上，即， 而后根据的范围求出的范围即可； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论即可； （3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论. 【详解】（1）解：在区间上为减函数，∴在区间上， ∴，令，只需， 显然在区间上为减函数， ∴，∴； （2）解：由题意得（），则， 若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，令，则， 可知在上单调递增，在上单调递减， 从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，a的取值范围是； （3）解：设，，下面分唯一性和存在性两方面来证明： 唯一性：由，知的导数等于， 而，故显然恒为负，从而在上单调递减， 特别地，在上单调递减， 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：先考虑函数，这里．由于， 故当时，当时， 从而在上单调递减，在上单调递增， 从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有 然后回到原题，首先有 . 同时又有 ， ， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得， 综合上述的存在性和唯一性两个方面， 知存在唯一的，使得 【点睛】思路点睛：（1）在区间上为减函数，可得在区间上，即， 而后根据的范围求出的范围即可； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论即可； （3）从唯一性与存在性两方面进行证明，再结合零点的存在性定理得到最后结论. 方法点睛：1、若函数在区间内的导数，则在该区间内单调递增； 若函数在区间内的导数，则在该区间内单调递减； 2、不等式恒成立问题：若要求不等式在某个区间内恒成立，可以转化为求函数在该区间内的最值问题. 关键点点睛：（1）抓住在区间上为减函数，转化为在区间上进行解题； （2）先对进行求导得到，再对进行分类讨论，将存在性问题转化为函数最值问题是关键； （3）从唯一性与存在性两方面去证明，其中理解并运用零点的存在性定理是关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $