专题04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（5考点清单，知识导图+7个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数，，为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若任意，恒成立，求a的取值范围． 【变式1-1】.（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数，a. (1)若，求函数的极值与零点； (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【变式1-2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围； (3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-3】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值点个数 (2)当时，恒成立，求实数的最小值． 【变式1-4】.（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数（为常数）. (1)求证：当时，； (2)讨论函数的单调性； (3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式2-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若有解，求的取值范围． 【变式2-2】.（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【变式2-3】.（2023·陕西榆林·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，且当时，，求的最大值. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线的对称中心； (3)若当时，恒有，求实数的取值范围. 【变式3-1】.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【变式3-2】.（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式3-3】.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒有，求实数的取值范围. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【变式4-1】.（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【变式5-1】.（23-24高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【变式5-2】.（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）设函数. (1)若在定义域上单调，求参数的范围？ (2)若，判断与在处是否有公切线？若存在，则求出其公切线，若不存在，请说明理由. (3)若当时，恒成立.求参数的范围. 【变式6-1】.（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【变式6-2】.（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数与为函数的极值点． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的一个极值点为． (1)求函数的极小值； (2)若函数，当时，，求实数m的取值范围． 【考点题型七】值域法解决双参等式问题（） 【例7】（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）已知. (1)求的解析式； (2)函数，若对任意，总存在，使成立，求的取值. 【变式7-1】.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【变式7-2】.（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【变式7-3】.（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，且不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式（其中为常数）； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知，若不等式对任意恒成立，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南焦作·期末）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽黄山·期中）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数，若，，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 三、填空题 11．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 12．（23-24高二下·天津南开·期中）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 14．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 15．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高三上·安徽安庆·期末）已知函数，，为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可. 【详解】（1）因为，且定义域为， 所以，令，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，得到，令，得到， 故函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）得， 因为对于任意，恒成立， 所以恒成立， 化简得恒成立，故恒成立， 令，则恒成立，， 令，则， 得到在单调递增，即 故，在单调递增，而， 即，故. 【变式1-1】.（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数，a. (1)若，求函数的极值与零点； (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点；零点为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，从而可得函数的单调性，根据极值与零点的定义，可得答案； （2）由参数分离化简不等式，构造函数，利用导数求得函数的最值，可得答案. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得. 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值；所以函数的极小值点是1. 又函数的极小值为， 由于只有一个极值点，所以又是的最小值， 所以函数只有一个零点1； （2），恒有， 设函数，，求导得， 令，，求导得：， 即函数在上单调递增， 有，即函数在上单调递增， 则当时，，即， 所以的取值范围是. 【变式1-2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围； (3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在和单调递增，在单调递减 (2) (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）根据（1）画出的图象，数形结合即可求解； （3）利用分离参数的方法求解恒成立问题即可. 【详解】（1）的定义域为R，， 今得或，令得， 在和单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知为的极大值点，为的极小值点， 的图象如图所示， 由图可知，若关于的方程有三个不同实根，则 （3）时，恒成立， 即在恒成立， 今，则， 等价于 ，且开口向上， 在单调递增． 【变式1-3】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值点个数 (2)当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)极值点个数为 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得解； （2）参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）当时，，定义域为， ． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以在上单调递减， 故的极值点个数为． （2）当时，，不等式可化为在上恒成立， 令，则， 由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故实数的最小值为． 【变式1-4】.（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数（为常数）. (1)求证：当时，； (2)讨论函数的单调性； (3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3)2. 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式. （2）求出导数，再分类讨论求出单调区间. （3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）不等式， 依题意，，恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可； 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，故的取值范围为． 【变式2-1】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若有解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】参变分离可得，设，利用导数求出其最小值后可得的取值范围． 【详解】等价于，设， 则， 当时，，故在为减函数， 当时，，故在为增函数， 故，故. 【变式2-2】.（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间，增区间，极小值，无极大值. (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值. （2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）， 若在处的切线是， 则， 则， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. （2）依题意，①在上有解， ①可化为， 设， ， 由（1）知，当且仅当时函数值为， 所以在区间单调递减； 在区间单调递增； 所以， 所以的取值范围是. 【变式2-3】.（2023·陕西榆林·一模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，且当时，，求的最大值. 【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为 (2)2 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）得出函数定义域，求导得出导数大于小于零即可得出答案； （2）当时，，等价于当时，，令函数，求导得出，无法确定单调性，则再令函数，求导得出，即在上单调递增，根据，设，，则当时，单调递减，当时，单调递增，则，即可得出答案. 【详解】（1）的定义域为， ， 由，得或， 若，则，当时，， 当时，， 故的单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）因为，所以等价于， 令函数，则， 令函数，则， 则在上单调递增. 因为， 所以，即， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 故的最大值为2. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线的对称中心； (3)若当时，恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断或证明函数的对称性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可求； （2）先确定定义域关于对称，再由可得； （3）构造函数令，然后将问题转化为在上恒成立，利用导数分析其单调性，分和两种情况讨论； 【详解】（1） 切线方程为. （2）的定义域为， 其定义域关于对称， 则， 所以曲线的对称中心是. （3）令在上恒成立， 注意到 在上为增函数， . ①当时，即在上为增函数 满足题意； ②当时，时，， 存在，使得时， 在上为减函数， ，与题意矛盾， 综上：. 【变式3-1】.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导函数，求得，进而由点斜式方程可求得切线方程； （2）令，求导，分，两种情况判断是否恒成立，可得结论. 【详解】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 【变式3-2】.（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值. (2). 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数的单调性，进而求出函数极值即可； （2）先把恒成立问题转化为，再构造函数根据导函数分类讨论分，，讨论单调性计算求参. 【详解】（1）若，则，所以， 令，解得，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令，所以， 令，所以 ，当时，，又，所以， 所以在上恒成立， 所以即在区间上单调递增， 所以，所以在区间上单调递增， 所以，符合题意； 当时，令，解得， 则即在区间上单调递减； 所以当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，，不符合题意； 当时，又，所以，所以即在区间上单调递减， 所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意. 综上，的取值范围为. 【变式3-3】.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对任意的恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先求函数的定义域，再利用导数求单调区间； （2）由得，两边同时取自然对数有即，令，只需即可，最后利用导数根据的情况分类讨论即可求解. 【详解】（1）函数定义域为， 所以， 故函数在上单调递增,无递减区间； （2）因为，即， 所以，即， 令， 所以， 当时，，所以成立； 当时，，显然成立； 当时，令， 当时，，在单调递增， 所以不满足题意； 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 【变式4-1】.（23-24高二下·福建泉州·期中）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，由仅有一个整数解，得只有一个整数解，再结合图象即可得解. 【详解】， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，且， 作出的函数图象如图所示：    由仅有一个整数解， 得只有一个整数解， 设，由图象可知： 当时，在上恒成立，不符合题意， 当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1， 所以，即，解得． 故选：D． 综上：实数的取值范围是. 【变式4-2】.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是. (1)求； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值； （2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围. 【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①， ，则，即，代入①式得. 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 故，即. （2）由题意得有解，即有解. 令，则， 若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 【变式5-1】.（23-24高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据点坐标即可得到切线方程； （2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最小值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，所以0， 即切线的斜率，且， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意知， 且的对称轴为直线， 所以当时，. 由（1），设，则， 所以， 当时，； 当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又，所以在区间上只有一个零点， 设为，且当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 所以当时，， 所以，即， 因此，实数的取值范围是. 【变式5-2】.（2024·广西柳州·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答. （2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 而，当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由得，由得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则， 任意，存在，使等价于，恒成立， 则有，成立，令， 则，当时，，当时，， 即有在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，最大值为，则， 所以实数的取值范围是. 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）设函数. (1)若在定义域上单调，求参数的范围？ (2)若，判断与在处是否有公切线？若存在，则求出其公切线，若不存在，请说明理由. (3)若当时，恒成立.求参数的范围. 【答案】(1) (2)存在，切线方程为 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系，转化为恒成立即可求解; （2）由题设求出的值，再分别求出与在处的切点和切线的斜率即可判断求解. （3）令,一方面由题意得成立的必要条件；再证的充分性，将看作以为主元的函数，时，由在上单调性，得为的最小值.设，再通过导数研究其单调性及最值证明在上恒成立即可. 【详解】（1）由得 因为在定义域上单调，所以恒成立. ∴解得 所以的范围是. （2）由题意得 ，，即. 与在处切线斜率相等，且切点为. 与在处有公切线，切线方程为， 即. （3）令，则， 由题意时，恒成立 为成立的必要条件. 下面证明：为成立的充分条件. 把函数看作以变量为主元的函数， 于是设， 当时，可知在上单调递增， 所以有最小值为. 于是设， 下证在上恒成立. . 则. 令 在上单调递增. ，使得. 于是即在上单调递减，在上单调递增. .故. 于是有当时，单调递增； 时，单调递减. 因为，所以的最小值为0. 即恒成立. 综上原命题成立. 所以参数的范围为. 【变式6-1】.（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）对求导，按实数的取值分类讨论，利用函数单调性与导数符号的关系求单调性即可； （2）先将函数代入利用参变分离得到，再构造新函数，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得当时，在上单调递增， 当时，，令解得， 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可得若有极大值点，则，， 此时， 当时，；当时，，故为的极大值点， 故符合. 当时恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，只需即可， ， 令，则恒成立， 故在上单调递减，， 所以恒成立， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，还考查了构造法、参变分离法、分类讨论等思想方法，属于较难题. 【变式6-2】.（24-25高三上·天津河东·期末）已知函数与为函数的极值点． (1)求的值； (2)求在点处的切线方程； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】(1)根据极值点与导数的关系，得，解得答案； (2)根据导数的几何意义得出切线斜率，点斜式得切线方程； (3)由参变分离得，利用导数求出函数的最小值，的答案. 【详解】（1）由题意可为，的定义域为 因为在处取得极值，所以，解， 当时，单调递增；当时，单调递减， 经检验，符合题意, 所以. （2） 所以切线方程为． . （3）若恒成立，则， 由， 因为，所以， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以存在唯一，使得， 即，即 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为，则，，由， 则，所以， 当时，，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 则， 所以实数的取值范围为 【点睛】方法点睛：函数恒成立问题的求解方法： (1)首先参变分离； (2)利用导数求得分离后函数的最值； (3)根据函数的最值得到参数范围. 【变式6-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的一个极值点为． (1)求函数的极小值； (2)若函数，当时，，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据极值点的定义可得，解出a，验证即可； （2）等价于在上恒成立.易知不等式成立；当、时，分离参数可得，利用导数求出的最值即可. 【详解】（1） ，解得， 则， 当或时，单调递增； 当时，单调道减， 故在处取得极小值，极小值为． （2）当时，等价于 在上恒成立， 整理得， 当时，显然成立； 当时，， 令， ， 当时，单调递增，则， 故，即； 当时，，由上知，当时，单调递增； 当时，单调递减，则， 故，即． 综上可得，． 【考点题型七】值域法解决双参等式问题（） 【例7】（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）已知. (1)求的解析式； (2)函数，若对任意，总存在，使成立，求的取值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知f（g（x））求解析式、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、复合函数的值域 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）令，则代入化简，由对勾函数的性质可求出的值域，再利用换元法将化为，进而由二次函数的性质求出的值域，由题意可知的值域是值域的子集，列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）令，得到，即， 所以； （2）令，则，，， 所以， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 的值域为， 当时，，令， 则可化为，， 因为，在单调递增，所以， 即当时，， 因为对任意，总存在，使成立， 所以的值域是值域的子集， 则，解得. 【变式7-1】.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在区间上是减函数，证明见解析 (3) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数性质求解参数并检验； （2）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （3）由题意函数在上的值域为函数在上的值域的子集，利用单调性求解的值域，分类讨论利用二次函数的单调性求解值域，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以. 经检验为奇函数，所以. （2）由（1）可得，下面证明函数在区间上是减函数. 证明：任取，则有 . 再根据，可得，，，， 又，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时，，， 所以，记函数在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则，， 所以在区间内的值域为， 因为，所以，所以，所以， 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则，， 得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为， 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. 【变式7-2】.（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3). 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出函数为奇函数即可； （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分,、、和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， 则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数. 对任意的，，故函数的定义域为， 则，故函数为奇函数，合乎题意， 因此，，. （2）解：函数在上单调递减，证明如下： 任取、且，即，则，， 则， 所以，，故函数在上单调递减. （3）解：若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减， 则当时，，， 所以，记在区间内的值域为. ①当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ②当时，，在上单调递减，且， 则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为 ，所以，该不等式组无解； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. ⑤当时，在上的值域为，此时为值域的子集， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 【变式7-3】.（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，且不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式（其中为常数）； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意判断出是方程的两根，即可求解； （2）对a分类讨论，分别写出不等式的解集； （3）设的值域为的值域为，判断出，列不等式组，求出m的范围. 【详解】（1）因为，所以可化为，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入，得，故， 再由韦达定理得，故. （2）可化为，即， 当时，解得， 当时，不等式为，无解； 当时，解得； 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）因为存在，存在，使得成立， 设的值域为的值域为，则， 由（1）得，对称轴为， 故在上单调递增，所以， ①当时，，不满足题意； ②当时，在上单调递增，所以，所以，解得：； ③当时，在上单调递减，所以，所以，解得：； 综上所述，. 【点睛】方法点睛：常见解不等式的类型： (1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知，若不等式对任意恒成立，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先证明若原不等式恒成立，则必有，再证明当时，原不等式恒成立，即可得到的最大值是. 【详解】①若，则当时，有，从而原不等式对不成立，不满足条件； 这表明若原不等式恒成立，则必有； ②当时，原不等式等价于，下面证明该不等式恒成立： 设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 这就意味着，即. 从而此时原不等式恒成立，满足条件. 综合①②两个方面可知，的最大值是. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先根据条件证明，然后在的情况下证明不等式恒成立，即可得到的取值范围是. 【详解】设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以，故. ①一方面，在条件中令，即得. 假设，则，从而，矛盾. 所以一定有. ②另一方面，若： 首先有. 以及. 将两个不等式相加，就得到，从而. 由于，故，所以对任意，有. 而对任意的，显然也有，所以，从而时条件一定满足. 综合①②两个方面，可知的取值范围是． 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意可得，构造函数，借助导数研究其单调性即可得解. 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 6．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 当时，，当时，， 所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以， 由题得， ∴ 故选：B. 7．（23-24高二上·河南焦作·期末）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立， 令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出. 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则，令， 所以当，单调递增， 当，单调递减， 又，所以， 所以. 故选：C 8．（23-24高二下·安徽黄山·期中）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数判断函数在区间上递增，根据题意问题等价于方程在上至少有两个不等正根，分离参数得，令，函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点，再利用导数研究函数的单调性、极值即可求解. 【详解】解：， 设，则， 当时，，递增，当时，，递减， 故，故在区间上递增， 又∵，故在上单调递增． ∴在上的值域为． 又∵上的值域是，故，， 存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根， 分离参数得，令， 则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点． ，得， 由得，当得， 得在递减，在递增， 又∵当时，，趋近于时，趋近于． ∴题意等价于， ∵，，， 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知函数，若，，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由得到，在定义域范围内利用函数导数性质进行讨论分析即可. 【详解】由，且函数定义域为， 所以有，即， ①当时，有恒成立，故； ②当时，，所以， 令，则，又， 所以，所以在上单调递减， 且，所以； ③当时，，所以， 由，则，又 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 故． 故选：BD. 10．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】ABC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由已知结合常见不等式，，对进行不等式放缩，求解出的范围即可求解． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，即， 设， 则当时在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故当，故 因为， 所以，但显然等号无法同时取得， 所以，即， 又恒成立， 所以． 故选：ABC． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 三、填空题 11．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ． 【答案】4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由题意求导得函数的单调区间，进一步由，且列不等式组即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得，． ①当时，，单调递增； ②当时，，单调递减； ③当时，，单调递增． 所以只需，且即可， 由，可得， 由，可得， 综上可得，． 故答案为：4. 12．（23-24高二下·天津南开·期中）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】因为对，，使不等式成立，所以， 当时，，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，极值点的个数为；当时，极值点的个数为 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）对和分类讨论，即可得到答案； （2）先通过题设条件得到，然后证明满足条件即可； （3）分和进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可. 【详解】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具研究相应函数的单调性. 14．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 【答案】(1)单调递增区间为，； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，解不等式求出单调递增区间； （2）先求出在区间上的最大值为4，最小值为1，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，；时，； 故单调增区间为，； （2）由（1）知，函数在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， ∵，，，， ∴，， 故函数在区间上的最大值为4，最小值为1， ∴， ∴. 15．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$