河南安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025-2026学年下学期高一年级第一次联考数学试卷

安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025~2026学年下学期 高一年级第一次联考数学学科参考答案、提示及评分细则 1~4 CBAD 5~8 DBAC 9.BC 10.BCD 11.ABD 1.【详解已知在锐角△ABC中，(-d)sinB=2S,其中面积S=csin B,(心-a2)sinB=2·acsin B=- acsin B,因为sinB≠0，所以b一a2=ac,即a2+ac=b.由余弦定理，=a2+2一2 accos B,代入b2=a2+ ac得：a2+ac=a2+c2-2 accos Ba→a=c-2 acos B,由正弦定理，a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,代人得：sinA= sin C-2sin Acos B,sin A=sin (-(A+B))-2sin Acos B=sin A=sin(A+B)-2sin Acos Bsin A= sin(B-A),因为△ABC是锐角三角形，所以A,B∈(O,受)，B-A∈(-受，受)，故B-A=A,即B=2A B=2A<受， 因为△ABC是锐角三角形，且B=2A,所以 解得晋<A<平 C=x-A-B<受， b土c=nB+snC=sn2A+sin3A,sin3A=sin(A+2A)=3sinA-4simA,代人得： a sin A sin A bc2sin Acos A+3sin A-4sin A-4cos'A+2cosA-1, a sin A 因为A∈（告，），所以cosA∈（号，号），令=0sA,则f)=4+21-1, 因为区间（号，号）在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而f(）=2+1,(（)=+2,所以∈2+1,5+2)，选项D正确。 12.101327-年14.3 15.(1)解：AM=A+BM=AB+BC-AB+(AC-AB)=A+AC …6分 (2)证明：C成=AN-AC-AB-A花 …8分 【高一年级第一次联考·数学参考答案第1页（共4页）】 26-X-556A C耐·A店=（分A店-AC)·A店=A亦-A店·A心=之1A:-1A·ACs0 =号1A2-A·2引AB·子=号引A2-1Ai…2AB·子=0，…12分 所以C衣⊥AB. 13分 16.解：1)设∠DAC=0,则∠DCA=冬-0， 由正弦定理可知， CD AD sin 0 3分 sim(-0） 即CD sin sin AD —=2,整理得2sim0=3cos0,…5分 sn(-0） os0-sn0 3 又因为sm0叶s0-1,E0,受，可解得sn0=,即血∠DAC- 7 …7分 (2由1D可知，sin0=牙ms0=29 7 因为∠BAC=2∠DAC,所以sin∠BAC=sin20=2sin0osg=45 7少……“……” 9分 向正孩定理可知，二nx适解得CD=4, 又因为CD=2AD,所以AD=2.…11分 因为5ar=·AC·AB·sm∠BAC-29AC·AB, %D=号·AC·AD·sin∠DAC21AC, S度=4S△m,所以2AC·AB=4耳AC,解得AB=2万. 15分 17.解：(1)设圆锥母线长、底面半径分别为l,r, 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，则2十=(2r),解得l=2r,…2分 又o∠APB=,所以sn∠APB=√-O AP历=√1-（士y=厘 …3分 【高一年级第一次联考·数学参考答案第2页（共4页）】 26-X-556A 又因为△PAB的面积为2√15， 所以Sam=PA·PB.sm∠APB=X厘=25，解得=4（负值合去），4分 又l=√2r,所以r=2/2,… …5分 所以圆锥的侧面积S=号×2xrX=x×22X4=8厄元…7分 (2)设圆柱底面半径为x(0<x<2√2)，即OF=O1G=x,…8分 A 由(1)可知∠CPO=45°，则PO=OG=x, 又圆锥的高PO=AO=22,所以OO=PO一PO=2√2-x,即圆柱的高为2√2一x,…10分 所以圆锥内接圆柱的侧面积S=2元x(2反-)≤2x厂十(2E-2 =4 …14分 当且仅当x=2√2一x,即x=2时取等号， 所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为4元.… 15分 18.解：(1)因为(b-a)(sinB+sinA)=c(simB-sinC), 由正弦定理得(b-a)(b十a)=c(b一c),所以b十c2-a2=bc,… 2分 由余弦定理，sA行十4-会=之， 2bc 4分 且A为三角形内角，所以A=受. … 5分 (2)S△ABc= A之7k53月今bc=12, 6分 由余弦定理，a2=b+c2-2 bccos A→b2+c2-bc=13, 7分 所以b2+c2=13+bc=25,(b+c)2=b2+c2+2bc=25+24=49-→b+c=7,…9分 所以△ABC的周长为a十b十c=7+√/13.…10分 (3)因为S△Bc=S△MD+S△ABD, 所以2csin号=b:ADsin-吾+c·ADsin吾，可得AD-, 6千…12分 由余弦定理可知b十c2-2 bccosA=a2,即b2十c2一bc=4, 【高一年级第一次联考·数学参考答案第3页（共4页）】 26-X-556A 整理得6+@2=4+3焱≤+3（生）'，即(6叶c)r≤16， 于是0<b十C≤4，当且仅当b=c时等号成立，…15分 因为AD=3c (空) b+cb十c =5(6叶c)≤5，当且仅当=c时等号成立， 4 所以AD的最大值为.… 17分 18.解：1)设=1-i=2(号-号)=2(cosξ+ism警)》 4分 (2)因为之|=1，故设z=cos0+isin0,… 5分 +1=I cos 20+isin 20-cos 0-isin 0+11 =(cos 20-cos 0+1)2+(sin 20-sin 0)2 =3+2cos 20-2cos 0-2cos Ocos 20-2sin 0sin 20 =√/3+2cos20-4c0s0=V√4c0s20-4cos0+1=|1-2c0s0l,…8s分 故0≤|1一2c0s0≤3，故|之2一之十1的最大值为3，最小值为0.…10分 (3)设之=cos0+isin0,则23=(cos0+isin0)3=cos(0+0+0)+isin(0+0+0)=cos30+isin30,…12分 cos 0+isin 0)3=(cos20-sin20+2isin Ocos 0)(cos 0isin 0) =(cos20-sin20)cos 0-2sin2Ocos 0i[(cos20-sin20)sin 0+2sin Ocos Ocos 0 =(2cos20-1)cos 0-2(1-cos20)cos 0+i[(1-2sin20)sin 0+2sin 0(1-sin2)] =4c0s0-3c0s0+i(3sin0-4sin30),…16分 故sin30=3sin0-4sin30,cos30=4c0s30-3c0s0.…17分 【高一年级第一次联考·数学参考答案第4页（共4页）】 26-X-556A安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025~2026学年下学期 高一年级第一次联考数学学科试卷 时间：120分钟总分：150分 面通的解圆张 注意事项： 州的瑞圆数鬼公 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡（卷）上。写 在本试卷上无效。 3.考试范围：平面向量，解三角形，复数，立体几何前三节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.复数x满足（之十1）·i=1-2i(i为虚数单位)，则之的虚部是 A.-3 B.-3i C.-1 D.-i (E) 2.已知向量a=(1,m),b=(2,一1)，若a∥(a十2b),则实数m的值为 A.-2 B-2 C.2 D吉 3.如图，在倾斜角为15的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆BC,当太阳光线的仰角是45°时， 旗杆在山坡上的影子的长度是10m,则旗杆BC的高为 化过代所圆 A.5√2m 太阳光线 B.5√3m C.5m 破发公是将来的(0两于00)一 B D.6m 4.如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD,其直观图为等腰梯形A'B'CD',若A'B'=6, CD'=4,则下列说法正确的是 A.A'D'=2√2 B.AB=3 C.四边形ABCD的周长为10十√6+√2 D.四边形ABCD的面积为10√2 【高一年级第一次联考·数学第1页（共4页）】 26-X-556A 5.已知向量a,b,且a=(2,2),1a-b1=4,则|b的最大值为 A.8 B.7 C./10+5 D.2√2+4 6.已知复数z满足2z=1+2io23+3(G为虚数单位)，则225= A.1 B.i C.-i D.-1 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S,若a=1,C-平且4S=cosB+ bcos A,则B= A晋 B晋 c D瓷 8.某圆柱的轴截面是面积为12的正方形ABCD,P为圆柱底面圆弧CD的中点，在圆柱内放置 一个球O,则当球O的体积最大时，过PAB的面截球O的截面圆周长为 △ A.15x 12 B.2v15x 5 C.5 D.45x 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题中正确的是 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.六条棱长均相等的四面体是正四面体 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D.长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10.已知复数z,w均不为0，则 A.x2=|x|2 B草品 C.之-w=z-u n-周 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若(-a2)sinB= 2S,则以下说法正确的有 A.a2+ac=b2 B.B=2A CT<A<受 D.+∈(W2+1,5+2) 人806一X-a9 【高一年级第一次联考·数学第2页（共4页）】 26-X-556A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 6日，40值的晚因 12.若复数z=1+3i是关于x的方程x2-2.x十a=0(a∈R)的一个根，则a的值为 13.玉踪是一种内圆外方的简型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称， 如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部是棱长为3cm的正方体的一部 分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm. =8限，Aa 14.在△ABC中，AB=8,AC=6,∠A=60,M为△ABC的外心，若AM=入A店+uAC,A∈ R,则4+3μ= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN 相交于点P (1)请用A言、AC表示向量AM, (2)设AB和AC的夹角为0，若cos0=4,且|AC=2A 求证：CLAB. 个 而，0比不改，c是武后，01 16.(本小题满分15分) 如图，在四边形ABCD中，AC=27,CD=2AD,∠ADC=2. 31 (1)求sin∠DAC的值； (2)若∠BAC=2∠DAC,且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求 AB的长 【高一年级第一次联考·数学第3页（共4页）】 26-X-556A 17.(本小题满分15分) 已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为子，轴截面等腰△PAC的顶角为 90°，若△PAB的面积为2√15. (1)求该圆锥的侧面积；0 01 (2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值. 带三前询式礼立避以，部食三得量向面平： 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b-a)(sinB+sinA)=c(sinB-sinC). (1)求角A的大小； (2)若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长； (3)若a=2,D是边BC上的点，且AD平分∠BAC,求AD的最大值. 阳证量印的明大造，3好道的面平水干直年别一育数山第长食年圆此 长高的日计地前，口01显到斗的强的1出鱼1用 19.(本小题满分17分) 已知复数z=a十bi(a,b∈R)可以表示为三角形式：z=r(cos0十isin),其中r=√a2+, 0是以x轴非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角. 已知z1=r1(cos0+isin0)与x2=r2(cos02+isin02)的乘积运算公式如下：1x2= r1r2[cos(0+02)+isin(0+02)]. (1)若E[0,2x),试将复数x=1-3i写成三角形式，平出量 (2)当|x=1时，求|z2-之十1|的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin30=3sin0-4sin30,cos30=4cos0- 3cos 0. v+司V+0时长周M2·出四 01试月面的四d Aa38-a 【高一年级第一次联考·数学第4页（共4页）】 26-X-556A