专题16成都2026年中考数学题型专项复习-几何综合运用B26

几何综合运用 目录 典例详解 2 类型一、三角形性质综合运用 2 类型二、平行四边形性质综合运用 13 类型三、矩形存性质综合运用 25 类型四、菱形性质综合运用 42 类型五、正方形性质综合运用 54 题型专练 69 典例详解 类型一、三角形性质综合运用 例1已知，中，∠B=90°，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）． (1)求的值． (2)当，且时，当的面积为8，求的面积． (3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积． 【变式1-1】在等腰直角中，点，点分别为线段，上的动点，连接． (1)如图，当点为中点时，若，，求的长； (2)如图，将绕着点逆时针旋转得到．分别连接，．延长至点，交于点．若，时，求证：； (3)如图，，，，点为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【变式1-2】在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 类型二、平行四边形性质综合运用 例2在平行四边形中，，点是对角线上一动点（点不与点，点重合），点是边上一动点（点不与点，点重合），且，连接，． (1)将沿对角线翻折后，发现点与点重合，连接，且与交于点，如图所示，求证：； (2)如图2所示，在（1）的条件下，当点，点移动到某个位置时，连接，若，点在线段上，且．求证：是线段中点； (3)如图3所示，在（1）的条件下，分别取，的中点，，连接交于点，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”． (1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”； (2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项积点”； ②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长． 【变式2-2】综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 类型三、矩形存性质综合运用 例3【情景导入】 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化． 在矩形中，连接，，；点是边边上的一点，且（为正整数），连接交于点，为边上一动点，过点作的垂线交直线于点，该小组对此展开如下探究： 【任务分层】 (1)任务一：基础研究 如图1，当时，该小组发现，如果过点作矩形和边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值_____． (2)任务二：综合探究 ①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值_____．（用含的代数式表示） ②当时，以，为边作矩形，若，求的长． (3)任务三：创新应用 如图4，以，为边作矩形，连接，当点从点运动到点时，求对角线扫过的面积．（用含的代数式表示） 【变式3-1】【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．      （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【变式3-2】综合与实践 问题情境：如图1，在矩形中，，．将矩形绕边的中点E逆时针旋转角度得到矩形（点A，B，C，D的对应点分别是点，，，）． 操作发现： （1）连接，，，，则四边形的形状是______； 问题探究： （2）如图2，连接，，试判断与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，与BC交于点F，连接BD，当点落在线段BD上时． ①求的长度； ②直接写出的长度． 类型四、菱形性质综合运用 例4已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接和，且． 【问题背景】（1）如图1，若，求证：四边形是菱形； 【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点和交于点，求证：； 【问题迁移】（3）如图3，连接和，点是的中点，连接和，若，求线段的长． 【变式4-1】问题背景：如图，在菱形中，，是一条对角线，点M为直线上一个动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，当点C′在线段的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图2，若点M与点B重合，连接交于点O，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M在点C右侧，如图3，连接，若，，请直接写出的长． 【变式4-2】【问题背景】如图1，在菱形中，，．在边取中点P，点Q是边上的一个动点，连接，以为一边作菱形，使得点N落在直线上． 【知识技能】（1）连接，探究与的位置关系，并说明理由； 【数学理解】（2）如图2，当四边形是正方形时，求正方形的面积； 【拓展探索】（3）如图3，连接，延长与直线分别交于点E，F．若点B恰好是线段的黄金分割点，求此时的长度． 类型五、正方形性质综合运用 例5.如图①，在正方形中，点为中点，连接，交正方形对角线于点．点为正方形边上的点，连接并延长，交于点． (1)如图①，若，，则______． (2)如图②，若，试判断线段和之间存在怎样的关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，点为的角平分线所在直线上的点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接并延长，交于点．若，，请直接写出此时的面积． 【变式5-1】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF． (1)观察猜想 当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______． (2)探究证明 当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． (3)解决问题 当BD时，请直接写出线段AE的长． 【变式5-2】如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O． (1)当时， ①当点G与点A重合时，如图1，求证：； ②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：． (2)如图3，当时，若，求的长． 题型专练 1. 如图，在中，，，，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图，线段与线段相交于点，当点是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点与点重合时，线段与线段相交于点，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点，是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 2. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长； (2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值． 3. 已知，菱形中，，，点P在上，连接，将沿翻折，得到，连接，延长交于点E． (1)如图1，当点P为的中点时，连接并延长交于点G，求的长； (2)在图2中，当平分时，判断与位置关系； (3)当点P在上移动过程中，是否存在的长是长的一半情况？如果存在，求此时的长：如果不存在，说明理由． 4. 综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 5. 综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 6. 在平行四边形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，若，，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点为的中点，求的长． 7. 如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，． (1)求证：． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，连结． ①当与的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值． 8. 如图，在中，，点E是斜边上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 9. 在正方形纸片中，取边中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，若的度数是个定值．请说出度数并证明； （2）如图2、图3，连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请直接写出这个特殊关系． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．当，时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求的长． 10. 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $几何综合运用 目录 典例详解… 2 类型一、三角形性质综合运用 2 类型二、平行四边形性质综合运用…。 13 类型三、矩形存性质综合运用… 25 类型四、菱形性质综合运用… 42 类型五、正方形性质综合运用 54 题型专练… 69 1 典例详解 类型一、三角形性质综合运用 例1已，R△4C中，∠B=90,A8=12,8C=6,点D为射线B上一点，0-， 过点D作ED⊥AB,交射线AC于点E.将ADE绕点A顺时针旋转得到△AFG,其中旋 转角∠FAB=a(0<a<360°). E B D B 图1 图2 备用图 1求匹的值。 SABF 2)当k= ,且0<a<180°时，当△CFG的面积为8，求△ACF的面积， 3)若点N为直线AB上一点，且在ADE旋转过程中，FN+GN的最小值为3.求k的值， 并求当B、F、G三点共线时△ACF的面积. 【答案】a明 (2)24 B)k=方当B、R、G三点共线时△CPG的面积为18V6-9暖185+9 【分析】(1)由勾股定理求得AC=√AB2+BC2=65,先证△ADE∽△ABC,再证 △ACG∽△ABF,即可得答案； (2)过C作CI⊥GF延长线于I;过C作CH GF,交AF延长线于H,证四边形CHFI为 矩形，求得CH=√AC2-AH?,即可解答； (3)当F、G两点分别在直线AB两侧，且F、N、G共线时，FN+GN的值最小，分F居 中时和G居中时两种情况讨论即可 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=6√5， ED⊥AB, ∠ADE=90°， :∠B=90°， .∠B=∠ADE, 又：∠EAD=∠CAB, .△ADE∽△ABC, AE AD AC AB' :ADE绕点A旋转至△AFG, :AG=AE,AF AD,ZGAF=ZEAD, AG AF LGAC=ZGAF-LCAF LCAB-ZCAF=ZFAB, AC AB ∴.△ACGD△ABF, AC 65 AB 12 (2)解：过C作CI⊥GF延长线于I;过C作CH‖GF,交AF延长线于H, H G E ■ D 由(1)可知△AEDn△ACB, DE AD BC AB 2 DE-28C=4,AD-24B-8, 3 :ADE旋转至△AFG, ∴.FG=DE=4,AF=AD=8, xFGxCI-8. :S.cPG=2 C1=2x8 4, 4 :LHFI=LAFG=90°，CH⊥FH,CI⊥FI, :.四边形CHF1为矩形， :HF=CI=4, 在RtAAHC中，AH=AF+FH=12, CH=√AC2-AH2=6, S40r=2X4F×CH=24: (3)解：：当F、G两点分别在直线AB两侧，且F、N、G共线时，FN+GN的值最小， 此时FG=3, :DE=FG=3, :△ABC∽△ADE, .k=AD=AE_DE 1 AB AC BC2' 1D-48=6,46-4C=35, ①当B、F、G共线，F居中时， 过C作CM垂直BG于M, G M B D 在RtABFA中，BF=√AB2-AF2=6√5， ∠ABF+∠CBM=90°，∠ABF+∠BAF=90°， .∠BAF=∠CBM, 又：LAFB=LBMC=90°， .△BFAn△CMB, BMBC1 AF AB2 BM=二×AF=3, 2 :MF BF BM =63-3, S.cr-xAFxFM-183-9. ②当B、F、G共线，G居中时， 同①，S4Cr=×AF×MF=18V5+9, 2 1 综上所述，k=2当B、RG三点共线时△4CF的面积为185-9或185+9. 【点晴】本题考查勾股定理，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质， 分类讨论，数形结合是解题的关键. 【变式1-1】在等腰直角ABC中，点D,点F分别为线段AC,AB上的动点，连接DF. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F为AB中点时，若BC=4V2,CD=1,求DF的长； (2)如图2，将△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到△ABM.分别连接MF,MD.延长MF至 点N,交AC于点E,若MN∥BC,DN=MD时，求证：EN=√2CE; (3)如图3，BF=1,BC=4N2,BD⊥AC,点G为线段BD上一点，连接FG,将线段FG绕 点F逆时针旋转90°得到线段FH,连接HG.当AH+HD的值最小时，请直接写出△AFG的 面积 【答案】(1)√29 (2)见解析 3)8-V2 2 【分析】(1)过点D作DK⊥AB于K,作DL⊥BC于L,由等腰三角形的性质可得 5 AB=BC=42,由矩形的性质可得BK=DL,DK=BL,再利用勾股定理即可得解； (2)过点E作EJ⊥BC于J,过点D作DP⊥MN于P,作DQ⊥BC于Q,过点N作 NT⊥BC于T,连接CN,先证明△AEF是等腰直角三角形，由旋转可得 LBAM=LBCD=45°，进而证得aAEM、△CEJ,CNT、△CNE均为等腰直角三角形， 然后根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； (3)过点F作FM⊥AB交AC于点M,在FM上截取FK=FB=1,连接HK,证明 △BFG≌△KFH(SAS),得出LBGF=∠KHF,进而得出HK⊥DT,作D关于HK的对称点 T,连接BT,则HT=HD,作A关于HK的对称点N,则AH=NH,当A,H,T三点 共线时，此时AH+HD取得最小值，最小值为AT的长，当DT经过点K时，则 ∠HKG=90°，TD⊥AC,证明△AHF≌△MGF(SAS),△HTK≌aDMG(AAS),于是得出 DM=KT,DG=HK,则BG=HK=GD,利用勾股定理求得BD,进而得出 BG=。BD=2,过点G作GS⊥AB于S,得出G是BD的中点，最后根据三角形的面积公 式即可求解. 【详解】(1)解：如图1，过点D作DK⊥AB于K,作DL⊥BC于L, :ABC是等腰直角三角形，LB=90°，AB=BC=4V2,∠C=45°， 图1 AC=2BC=8, :点F为AB中点， -号-2w5, :CD=1,∠CLD=90°， CL-DL= 】 2 六BL=BC-CL=4W5-5_72 22 :∠B=∠BKD=LBLD=90°， :四边形BKDL是矩形， :BK =DL,DK=BL, 6 FK-BF-BK=2-3 2 DF=DK2+FK2 =V29; (2)证明：如图2，过点E作EJ⊥BC于J,过点D作DP⊥MN于P,作DQ⊥BC于Q, 过点N作NT⊥BC于T,连接CN, :MN∥BC, B J 图2 LAFE=∠ABC=90°， .△AEF是等腰直角三角形， 由旋转得LBAM=LBCD=45°， .∠EAM=∠BAC+∠BAM=45°+45°=90°， ∴：△AEM是等腰直角三角形， :MF=EF, :DN=MD,DP⊥MN, :PM PN :MN∥BC,FB⊥BC,EJ⊥BC,NT⊥BC, .FB=EJ NT, AM =CD=AE,AF=MF=EF=CO, :AF+BF=AB=BC=BO+CO=BJ+CJ=PF+MF=PM=PN=OT=CO+CT, .BF=CJ=CT=EJ=NT, :△CEJ,CNT均为等腰直角三角形 .∠NCT=LECJ=45°，CE=CN=√2EJ, .∠ECN=90°， ·aCNE是等腰直角三角形， :EN =2CE (3)解：如图，过点F作FM⊥AB交AC于点M,在FM上截取FK=FB=I,连接HK, 7 M ∠HFG=∠KFB=90°， .∠HFG+∠GFK=∠KFB+LGFK,即LBFG=LKFH, 在△BFG和△KFH中， FK=FB ∠BFG=∠KFH, FG=FH .△BFG≌△KFH(SAS), .∠BGF=∠KHF, 设LBGF=LKHF=a, :.∠KHG=∠FHG-∠FHK=45°-a,∠HGK=45°+a, .∠KHG+∠HGB=90°， .KH⊥DT, 如图，作D关于HK的对称点T,连接BT,则HT=HD,作A关于HK的对称点N,则 AH =NH, 刀 .AH+HD=NH+HD≥ND, G M B T ·.AT=ND, :四边形ANTD是矩形， .TD⊥AC, .AH+HD=AH+HD≥AT, 如图，当A,H,T三点共线时，此时AH+HD取得最小值，最小值为AT的长，此时DT 经过点K, N.< ∠HKG=90°，即TD⊥AC, G M :K是DT的中点，HK⊥DT, :AH =HT, :AF=FM,HF=GF,∠HFA=90°-LAFG=90°-LAFG=∠GFM, △AHF≌aMGF(SAS), .AH=GM,∠HAF=∠GMF, HT=GM, 设∠HAF=∠GMF=B, ∠ATD=45°-B,∠DMG=45°-B, .∠HTK=∠DMG, 在△HTK和aDMG中， ∠GDM=∠HKT ∠HTK=∠DMG, HT=GM :△HTK≌DMG(AAS), .DM=KT,DG=HK, :△BFG≌△KFH, :BG=HK =GD,BC=42, ÷BD=5BC=4, 2 6BG=5BD=2, 如图，过点G作GS⊥AB于S, 9 ∴.GS= -BG=2, G B 5m=24f×GS=)×4n2-xV5-8-2 2 2 2 【点晴】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的 性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识点， 熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键。 【变式1-2】在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC边上一动点，连接AD,将 AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE,连接AE. D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，AH⊥BC,点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G,若AB=4,求AE的长 度； (2)如图2，DE与AB交于点F,连接BE,在BA延长线上有一点P,∠PCA=∠EAB,求证： AB=AP+2BD: 3)如图3，DE与AB交于点F,且AB平分∠EAD,点M为线段AF上一点，点N为线段 AD上一点，连接DM,MN,点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至 △BDK所在平面内得到△BOK,连接DQ,在M,N运动过程中，当DM+MN取得最小值， 且∠DK0=45°时，请直接写出D的值. BC 【答案】(1)25 (2)证明见详解 3)2-V2 10