专题1 填空几何综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

数 学 陕西 重难题型册 1 二、陕西重难题型突破 专题一　填空几何综合题 (2025陕西14题考法) 类型1　线段问题(8年2考) 1. (2023陕西13题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN. 若PM＋PN＝4，则线段PC的长 为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，过点P分别作PF⊥DC于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AB于点H，∴四边形PFCG，PHBG为矩形.∵DE＝CD＝AB＝3，∠D＝90°，∴∠ECD＝45°，∴∠ECB＝45°，∴PG＝ CG，∴PG＝PF. ∵PM≥PH，PN≥PG，∴PM＋PN≥PH＋PG＝HF＝BC＝4.∵PM＋PN＝4，∴PM与PH重合，PN与PG重合.∵BM＝BN，∴四边形PHBG为正方形，∴PH＝PG＝2，∴GC＝PG＝2，∴PC＝2 . 第1题解图 2. (2025延安富县校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6， E，F分别是AB，BC的中点，连接DE，点G在线段DE上，若∠FGE＝ 45°，则FG的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接EF，DF，过点F作FH⊥DE于点H. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BE＝2，BF＝FC＝3，∴DE＝ ＝2 .∵S△DEF＝S矩形ABCD－S△ADE－S△DCF－S△BEF，∴ DE·FH＝AB·BC－ AD·AE－ CF·CD－ BE·BF，∴ ×2 FH＝4×6－ ×6×2－ ×3×4－ ×2×3，∴FH＝ .∵∠FGE＝45°，FH⊥DE，∴GH＝FH＝ ，∴FG＝ ＝ . 第2题解图 3. (2025陕师大附中模拟)如图，已知AB＝AC，∠BCD＝90°，∠ADB ＝2∠DBC，若AD＝2，则BD的长为 ⁠. 4　 【解析】如解图，延长BA，CD交于点N，延长DC至点M，使得CM＝CD，连接BM，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠BCD＝90°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，∠ABC＋∠AND＝90°，∴∠ACD＝∠AND，∴AC＝AN，∴AB＝AN，∴BN＝AB＋AN＝2AN， ∴ ＝ ，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥DM，又∵CM＝CD，∴BC是DM的垂直平分线，∴BM＝BD，∴∠DBC＝∠MBC，∴∠DBM＝∠DBC＋∠MBC＝2∠DBC，又∵∠ADB＝2∠DBC，∴∠ADB＝ ∠DBM，∴AD∥BM，∴△NAD∽△NBM，∴ ＝ ＝ ， ∴BM＝2AD＝2×2＝4，∴BD＝BM＝4. 第3题解图 4. (2025榆林榆阳区校级模拟)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，点P是EF的中点，连接OP，若BC＝4，AB＝2，则OP的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接BE，OE，取BE的中点G，连接OG，由题意可知∠BCD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∴BD＝ ＝2 ，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝45°＝∠DEC，∴DE＝CD＝2，∴AE＝AD－DE＝2，易知OE＝ AB＝1，OE∥AB，同理可得OG＝ DE＝1，OG∥DE，∴OG＝OE，OE⊥OG，∴∠OGE＝∠OEG＝45°，∴∠OGB＝∠OEP＝135°，同理可得∠AEB＝∠ABE＝45°，又∵∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠FEB＝90°，∠BFE＝∠ABE＝45°， ∴EF＝EB，∵P为EF的中点，G为BE的中点， ∴BG＝PE，∴△OBG≌△OPE(SAS)， ∴OP＝OB＝ BD＝ . 第题解图 5. (2025陕师大附中模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝ 90°，O是斜边AC的中点，D为点O上方一点，且OD＝5 ，BD＝ 8 ，∠BDC＝45°，则线段CD的长为 ⁠. 14　 【解析】如解图，作△ABC的外接圆，过点B作BE⊥CD于点E，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∴AB＝CB，∠A＝∠ACB＝45°，∵O是Rt△ABC斜边AC的中点，∴OA＝OB＝OC，∴点O是 △ABC的外接圆的圆心，∵∠BDC＝45°，∴点D在△ABC的外接圆上，∴OA＝OB＝OC＝OD＝5 ，∴AC＝2OA＝10 ，在Rt△ABC中，AB＝BC＝ AC＝10，∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，在Rt△BDE中，BD＝ BE，∴DE＝BE＝ BD＝8，在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝ ＝6，∴CD＝DE＋CE＝14. 第5题解图 6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若CE＝6，则AD的长是 ⁠. 3 　 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EH⊥BC于点H，HE的延长线交AD的延长线于点G，则∠AFH＝∠GHF＝90°. ∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠G＝90°，∴四边形AFHG为矩形.∵△ABE为等腰直角三角形，且AB＝AE，∴∠BAE＝90°，∴∠BAF＋∠FAE＝ 90°.∵∠FAG＝90°，∴∠EAG＋∠FAE＝90°，∴∠BAF＝∠EAG. ∵∠AFH＝90°，∴∠AFB＝∠G＝90°.在△ABF和△AEG中， ∴△ABF≌△AEG(AAS)，∴AF＝AG， ∴四边形AFHG为正方形，∴AG＝GH. ∵AD∥BC，∠C＝45°，∴∠EDG＝∠C＝45°.又∵EH⊥BC，∠G＝90°，∴△DGE和△HCE均为等腰直角三角形，∴GD＝GE，HC＝HE，∴AG－DG＝GH－GE，∴AD＝EH. 在Rt△HCE中，CE＝6，∠C＝45°，∴EH＝ CE＝3 ，∴AD＝3 . 7. 如图，已知P是平行四边形ABCD的边BC上一点，将△ABP沿直线AP 折叠，点B落在平行四边形ABCD内的点E处，且EA＝ED，如果AB＝5，AD＝8，∠B的正弦值为 ，那么BP的长为 　 . 　 【解析】如解图，过点C作CF⊥AD于点F，过点E作MN⊥AD于点N，交BC于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴MN⊥BC，CF⊥BC，∴ 四边形MNFC是矩形，∴CF＝MN，NF＝MC，∵ sin B＝ sin ∠CDF＝ ＝ ，∴MN＝CF＝4，∴DF＝ ＝3，∵将△ABP沿直线AP折叠，∴AE＝AB＝5，PE＝BP，∵ED＝EA＝5，NE⊥AD，∴AN＝DN＝4，∴MC＝NF＝1，NE＝ ＝3，∴ME＝MN－NE＝1，∵BP＋PM＋MC＝BC＝8，∴BP＋PM＝7，∵BP2＝ PE2＝EM2＋PM2＝1＋(7－BP)2，∴BP＝ . 类型2　线段最值问题(8年1考) 8. (2025宝鸡金台区校级模拟)如图，M为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，N为边AD上的一个动点，AM的垂直平分线分别交AB，AM于点E，F，∠BAD＝60°，连接MN. 若MN长的最小值为4，则AE的长为 ⁠. 　 【解析】∵四边形ABCD是菱形且∠BAD＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°，∵M为菱形ABCD的对角线AC上的一个定 点，N为边AD上的一个动点，且MN长的最小值为4，∴MN⊥AD，即 ∠ANM＝90°，∴AM＝2MN＝2×4＝8，∵EF垂直平分AM，∴AF ＝ AM＝4，∠AFE＝90°，∴AE＝ ＝ ＝ . 9. (2021陕西13题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，☉O的半径为1.若 ☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切)，则点A到☉O 上的点的距离的最大值为 ⁠. 3 ＋1　 【解析】如解图，当☉O分别与CB，CD相切时，连接AC，交☉O于P，Q两点，则点A到☉O上的点的距离最大值为AQ的长，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD. ∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上.∵AC＝ BC＝4 ，OC＝ OE＝ ，∴AQ＝OA＋OQ＝AC－OC＋OQ＝4 － ＋1＝3 ＋1，即点A到☉O上的点的距离的最大值为3 ＋1. 第9题解图 10. (2025渭南临渭区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，P是线段BC上一动点，M是线段AP上一点，且∠ADM＝∠BAP，连接BM，则线段BM长的最小值为 ⁠. －5　 【解析】∵∠ADM＝∠BAP，∠BAP＋∠DAP＝90°，∴∠DAP＋∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，∴点M在以AD为直径的圆上运动，如解图，取AD的中点O，连接OB，交☉O于点M'，此时BM有最小值，最小值为BM'的长，∵AD＝BC＝10，O是AD的中点，∴OM'＝AO＝DO＝5，∴BO＝ ＝ ，∴线段BM长的最小值为OB－OM'＝ －5. 第10题解图 11. (2025交大附中模拟)如图，在正方形ABCD中，AB＝8 ，点E为边 AD上一点，连接BE，点G在BE上，以GE为边作等边三角形EFG，点F 落在CD上，M为GF的中点，连接CM，则CM的最小值为 ⁠. 4 　 【解析】如解图，连接EM，作∠CDN＝30°，∵△EFG为等边三角形，点F落在CD上，M 为GF的中点，∴EM⊥GF，∴∠EMF＝90°，∠FEM＝ ∠GEF＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝8 ，∠EDF＝90°，∴E，D，F，M四点共圆，∴∠MDF＝∠MEF＝30°，∴当点E在AD上运动时，点M在DN上运动，当CM⊥DN时，CM最小，∵∠CDN＝30°，∴CM的最小值为 CD＝ ×8 ＝4 . 12. (2024交大附中模拟)如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，D为边BC上一点，过点B作BC的垂线并截取BE＝CD，连接DE，则△BDE周长的最小值为 ⁠. 4 ＋4　 【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∴BC＝ ＝4 ， ∵BE＝CD，∴△BDE的周长为BD＋BE＋DE＝BD＋CD＋DE＝BC ＋DE＝4 ＋DE，∴DE最小时，△BDE的周长最小.设BE＝x，则 CD＝x，BD＝BC－CD＝4 －x，∵BE⊥BC，∴△BDE是直角三 角形，∴DE＝ ＝ ＝ ＝ ，∴当x＝2 时，DE有最小值4，∴△BDE周长的 最小值为4 ＋4. 13. (2025铁一中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，连接AD，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E. 若CD＝1，则AE的最大值为 ⁠. 2 ＋1　 【解析】∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，如解图，点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运动，∵CA＝CB＝3，∴AB＝ CA＝3 ，∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当 cos ∠BAE最小时，AE最小.当AE与☉C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠BAE最小，AE最大，∴AD＝ ＝2 .连接CE. ∵ ＝ ，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝2 ＋1，即AE的最大值为2 ＋1. 14. 如图，正方形ABCD的边长为2，G是以AB为直径的半圆上的一个动点，F是边CD上的一个动点，点E是AD的中点，则EF＋FG的最小值 为 ⁠. －1　 【解析】如解图，设半圆的圆心为点O，作点E关于CD的对称点E'，连接E'O，交CD于点F，交半圆O于点G，此时EF＋FG的值最小.∵EF＝E'F，∴EF＋FG＝E'F＋FG＝E'G，∴EF＋FG的最小值为E'O－GO. ∵正方形ABCD的边长为2，∴AO＝GO＝1.∵E是AD的中点，∴DE'＝DE＝AE＝1，∴E'A＝3.在Rt△AE'O中，E'O＝ ＝ ＝ ，∴E'O－GO＝ －1，∴EF＋FG的最小值为 －1. 类型3　面积问题(8年2考) 15. (2025铁一中模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，作EG⊥BC于点G，若EG＋EF＝4，则菱形ABCD的面积为 ⁠. 16 　 【解析】如解图，连接BE，过点A作AH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S△ABC＝ BC·AH＝ AB·EF＋ BC·EG，∴AH＝EF＋EG＝4，∵∠B＝45°，AH⊥BC，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝ AH＝4 ，∴S菱形ABCD＝4 ×4＝16 . 第15题解图 16. (2025咸阳永寿县模拟)如图，点O为菱形ABCD的对称中心，AB＝4，∠B＝60°，DE＝ AD，连接EO并延长交边BC于点F，则四边形OCDE的面积为 ⁠. 　 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝60°，AD＝CD＝AB＝4，AO＝OC＝ AC，∴△ACD为等边三角形，DE＝1，∴AC＝4，AE＝AD－DE＝3，∠CAD＝60°.如解图，过点C作CG⊥AD于点G，过点O作OH⊥AD于点H，则∠AOH＝30°，AG＝ AD＝2，∴CG＝ ＝2 ，OH＝ OA＝ ，∴S四边形OCDE＝S△ACD－S△AOE＝ AD·CG－ AE·OH＝ . 第16题解图 17. [数学文化](2025交大附中模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”.著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题.在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用“出入相补”原理，由矩形面积导出的.如图中的三角形下盈上虚，以下补上.如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 ⁠. 5　 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，∵四边形EFGH是矩形，且边EH在BC上，∴∠LHC＝∠ADC＝90°，∠IEB＝∠ADB＝90°，∴LH∥AD，IE∥AD，∴△BLH∽△BAD，△CIE∽△CAD，由题意得S△BLH＝S△ALG，S△CIE＝S△AIF，LB＝LA＝ AB，IC＝IA＝ AC，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝()2＝()2＝ ， ＝()2＝()2＝ ，∴S△BLH＝ S△BAD，S△CIE＝ S△CAD，∴S△BLH＋S△CIE＝ S△ABC，∵S△ABC＝ S矩形EFGH＝20，∴S阴影＝S△ALG＋S△AIF＝S△BLH＋S△CIE＝ ×20＝5. 18. (2024陕西13题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF. 若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 ⁠. 60　 【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠CBF，∴∠ABC＝∠CBF，∴BC平分∠ABF. 如解图，过点C分别作 CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM＝CN. ∵S△ACE＝ AE·CM，S△CBF＝ BF·CN，且BF＝AE，∴S△CBF＝S△ACE，∴S四边形EBFC＝S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△ABC. ∵AC＝13，∴AB＝13，设AM＝x，则BM＝13－x，由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，∴132－x2＝102－(13－x)2，解得x＝ ，∴CM＝ ＝ ，∴S△ABC＝ AB·CM＝60，∴四边形EBFC的面积为60. 19. (2025高新一中模拟)如图，在四边形ABCD中，BC＝11，∠B＋∠C＝60°，E为BC上一点，且△AED为等边三角形，若BE＝4，则图中阴影部分面积之和为 ⁠. 7 　 【解析】由题意得∠BAE＋∠EDC＝360°－∠B－∠C－∠EAD－∠ADE＝180°，∵BC＝11，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝7，如解图，将△BAE绕点E顺时针旋转60°得△FDE，过点F作FH⊥BE于点H，∴△BAE≌ △FDE，∴S△BAE＝S△FDE，EF＝BE＝4，∴S阴影＝S△ABE＋S△DCE＝S△FDE＋S△DCE＝S△CEF，∵∠B＋∠C＝60°，∴∠DFE＋∠C＝60°，∵∠FEH是△CEF的外角，∴∠FEH＝∠DFE＋∠C＝60°，∵FH⊥ BC，∴在Rt△EFH中，EF＝4，∠EFH＝90°－∠FEH＝30°，∴EH＝ EF＝ ×4＝2，由勾股定理得FH＝ ＝ ＝2 ，∴S△CEF＝ CE·FH＝ ×7×2 ＝7 . ∴S阴影＝S△CEF＝7 . 20. (2025交大附中模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB上一点，F是AD上一点，连接EF，CF，∠CFE＝60°，若BE＋DF＝6，则菱形ABCD的面积为 ⁠. 18 　 【解析】如解图，过点C作CH⊥AD于点H，连接AC，EC，作△EAC的外接圆☉O，∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠EAC＝∠D＝60°，又∵∠CFE＝60°，∴∠EAC＝∠CFE＝60°，∴点F在△EAC的外接圆☉O上，∴四边形AECF是☉O的内接四边形，∴∠AEC＝∠DFC. 在△AEC和△DFC中， ，∴△AEC≌△DFC (AAS)，∴AE＝DF，∴AB＝BE＋AE＝BE＋DF＝6，∴CD＝AD＝AB＝6，在Rt△CDH中，∠D＝60°，∴CH＝ CD＝3 ，∴S菱形ABCD＝AD·CH＝18 . 第20题解图 21. (2025陕师大附中模拟)如图，在菱形ABCD中，连接BD，O为BD的中点，P为OD的中点，AB＝6，OD＝4.若E，F分别为边AB，BC上的动点，且满足AE＋CF＝2，则四边形PEBF的面积为 ⁠. 10 　 【解析】如解图，连接AC，过点P分别作PG⊥AB于点G，PH⊥BC于点H，过点D作DT⊥BC于点T，由题意知O是AC，BD的交点，∴BD＝2OD＝8，AC＝2OA，AC⊥BD，在Rt△AOD中，由勾股定理得OA＝ ＝2 ，∴AC＝4 ，∵S菱形ABCD＝BC·DT＝ AC·BD，∴DT＝ ＝ ，又∵P为OD的中点，∴PD＝ OD＝2，∴BP＝BD－PD＝6，∵PH⊥BC，DT⊥BC，∴PH∥DT， ∴△BPH∽△BDT，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴PH＝2 ，由对称性可得PG＝PH＝2 ，∵AB＋BC＝12，AE＋CF＝2，∴BE＋BF＝AB＋BC－AE－CF＝10，∴S四边形PEBF＝S△PEB＋S△PFB ＝ PG·BE＋ PH·BF＝ PH·(BE＋BF) ＝ ×2 ×10＝10 . 21题解图 类型4　面积最值问题(8年1考) 22. 如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，将它绕着边AB的中点O旋转一定角度，得到△A1B1C1，连接BA1，BC1，则△BA1C1面积的最大值 为 ⁠. 4＋2 　 【解析】由题意得△ABC和△A1B1C1是一对全等的等边三角形，∴OA1＝OA＝OB＝OB1＝ AB＝2，如解图，A1在以O为圆心，2为半径的☉O上运动，记A1C1与☉O的另一个交点为N，设△BA1C1的边A1C1上的高为h，则 ＝ A1C1·h，当A1N最小时，h最大，此时AB⊥A1C1，记垂足为M，即BM＝h，∵∠C1A1B1＝60°，∴OM＝ A1O＝ ，∴h＝BM＝2＋ ，∴△BA1C1面积的最大值为 A1C1·BM＝ ×4×(2＋ )＝4＋2 . 第22题解图 23. 如图，E，F分别为正方形ABCD的边AD，BC上两个动点，且AB＝ 8，BF＝2AE，连接EF，过点D作DM⊥EF于点M，连接AM，则△ADM面积的最大值为 ⁠. 16 －16　 【解析】如解图，延长BA，FE交于点N，连接DN，设DN的中点为O，连接OM. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△AEN∽△BFN，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AN＝8，∴AN＝AB，∴DN＝ AN＝8 ，∵∠DMN＝90°，∴OM＝ DN＝4 ，过点O作OQ⊥AD于点Q，过点M作MP⊥AD于点P. ∴OQ＝ AN＝4， MP＋OQ≤OM，∴MP的最大值为4 －4， ∴△ADM面积的最大值为 AD·MP＝16 －16. 第23题解图 24. 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE∶EB＝3∶1.连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，四边形AHCD面积的最小值是 ⁠. 32　 【解析】如解图，连接AC，作EM⊥AC于点M，在Rt△ABC中，AC＝ ＝10，∵AE∶EB＝3∶1，AB＝8，∴AE＝6，EB＝2，∵∠EAM＝∠BAC，∠AME＝∠B＝90°，∴△AME∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EM＝ ，∵ ＝S△ACH＋S△ACD，S△ACD＝ AD·CD＝ ×6×8＝24，∴当△ACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，∵当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，最小值为EM－EH＝EM－EB＝ －2＝ ，∴S△ACH的最小值为 AC·HM＝ ×10× ＝8，∴四边形AHCD的面积最小值为24＋8＝32. 25. (2025陕西14题3分)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°.动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边三角形MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大时，DN的长为 ⁠. 5　 【解析】如解图，连接AP，并延长交BC于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等边三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，S△MNP＝ MP2，∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP(SSS)，∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP＝ AM，AP＝2AM，∴MP＝ AP，∴S△MNP＝ AP2，∴当AP最大时，△MNP的面积最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AH＝AB＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP，∴点P在AH上运动，∵点P始终在▱ABCD的内部或边上，∴AP的最大值为AH的长，即AP＝6时，S△MNP有最大值，此时AM＝AN＝3，∴DN＝AD－AN＝8－3＝5. 26. (2025咸阳乾县校级模拟)如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC＝ .E，F，G分别为BD，AB，AD上的点，连接EF，EG. 若EF＋EG＝12，则菱形ABCD面积的最大值为 ⁠. 180　 【解析】如解图，在CD上截取DM＝DG，连接ME，过点F作FN⊥CD于点N，过点A作AH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EDG＝∠EDM，AB＝BC＝CD，∵DE＝DE，∴△DEM≌△DEG(SAS)， ∴EM＝EG，∵EF＋EG＝12，∴EF＋EM＝12，∴FN≤EF＋EM＝12，∵S菱形ABCD＝BC·AH＝CD·FN，∴AH＝FN，∴AH≤12.∵tan∠ABC＝ ＝ ，∴令AH＝4x，BH＝3x，∴AB＝ ＝5x，∴ ＝ ，∴AB＝ AH， ∴BC＝ AH，∴S菱形ABCD＝BC·AH＝ AH2， ∵AH≤12，∴S菱形ABCD的最大值为 ×122＝180. 27. (2025西工大附中模拟)如图，四边形ABCD中，AD＝DC＝3，对角线 AC平分∠DAB，且AC⊥BC，则四边形ABCD面积的最大值为 ⁠. 　 【解析】如解图，延长AD和BC交于点E，过点C作CH⊥DE于点H，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝∠CAE，∵AC⊥BC，∴∠BCA＝∠ACE＝90°，∴∠B＝∠E，∴AB＝AE，∵AC⊥BE，∴BC＝CE，∴S△ABC＝S△ACE，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠E＋∠DAC＝∠DCE＋∠DCA＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴DC＝DE，∴AD＝DE，∴S△ACE＝2S△ADC，∴S四边形ABCD＝3S△ADC，∵S△ADC＝ AD·CH，CH≤CD＝3，∴S△ADC的最大值为 AD·CH＝ ×3×3＝ ， ∴四边形ABCD面积的最大值为 . 28. (2025西安雁塔区校级模拟)如图，E为正方形ABCD内部一点，∠AEB＝90°，AB＝10，F为EB边上一点，且AE＝BF，连接DF，AF，则△ADF面积的最小值为 ⁠. 25　 【解析】如解图1，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC， ∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝90°，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∵AE＝BF，AB＝BC，∴△ABE≌ △BCF(SAS)，∴∠BFC＝∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的圆上.如解图2，当A，E，C三点共线时，△ADF的面积最小，此时F与E重合，∵AB＝AD＝10，∠BAD＝90°，∴S△BAD＝ ×10×10＝50，∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝BE， ∴S△ADF＝ ×50＝25， 即△ADF面积的最小值为25. 类型5　面积平分问题(8年1考) 29. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，若线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为 ⁠. 4 ＋2 　 【解析】如解图，作点E关于CD的对称点M，EM交CD于点N，过点M分别作KT⊥BC，AD的延长线于点T，K，连接FM交DC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠ABC＝60°，AB＝8，∴BH＝4，AH＝4 ，∵AE＝2，∴DE＝6，∵∠EDN＝60°，∠END＝90°，∴∠DEN＝30°，DN＝3，EN＝3 ，∴EM＝2EN＝6 ，在Rt△EMK中，KM＝ EM＝3 ，∴EK＝ KM＝9，∴MT＝KT－KM＝AH－KM＝ ，∵线段EF平分菱形ABCD的面积，∴EF过菱形ABCD的对称中心，由菱形的对称性知CF＝AE＝2，∴HF＝BC－BH－CF＝8－4－2＝2，∴HF＝AE，∵HF∥AE，∠AHF＝90°，∴四边形AEFH是矩形，EF＝AH＝4 ，∴∠EFH＝∠EFT＝90°，∴四边形EFTK是矩形，∴FT＝EK＝9，∴FM＝ ＝2 ，∵EF＋FG＋EG＝EF＋FG＋GM，∴当M，G，F三点共线时，△EFG的周长最小， 此时△EFG周长的最小值即为EF＋FM＝4 ＋2 . 30. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，M，N分别为CD，AB 边上的点，MN过矩形ABCD的对称中心O，且CM＝4DM. 若点G，H 分别在AD，BC边上，且GH，MN将矩形ABCD的面积四等分，则AG的 长为 ⁠. 　 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝20，AD＝BC＝12，∵CM＝4DM，∴DM＝4，CM＝16，如解图，连接GM，MH，HN，NG，设AG＝x，则DG＝12－x，∵点O是矩形ABCD的对称中心，∴OG＝OH，OM＝ON，CH＝AG＝x，∴四边形MGNH为平行四边形，∴S△GOM＝S△HOM，∵GH，MN将矩形ABCD的面积四等分，∴S△GDM＝S△MCH， 即 ×4×(12－x)＝ ×16x，解得x＝ ，∴AG＝ . 31. (2025西工大附中模拟)如图，在▱ABCD中，∠ACB＝α(0°＜α＜90°)，E，F分别为边AD，BC上的点，连接EF，若EF⊥AD于点E，且EF平分▱ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点P，连接PF，则 sin∠EFP的最大值为 ⁠. 　 【解析】如解图，设EF与AC相交于点O'，∵EF平分▱ABCD的面积，∴O'为AC的中点，∴O'A＝O'C，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠AO'E＝∠CO'F，∴△AO'E≌△CO'F(ASA)，∴O'E＝O'F，∵EP⊥AC于点P，∴点P在以EO'为直径的圆上，当PF与☉O相切时，∠EFP最大，∴ sin ∠EFP的值最大，连接OP，∴∠OPF＝90°，设OP为1，则O'O＝1，O'F＝O'E＝2，∴OF＝1＋2＝3，∴ sin ∠EFP＝ . 32. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，E，F分别是BC，AD上的点，且3BE＝AF，连接EF，当EF平分菱形ABCD的面积时，EF的长为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，过点D，F分别作DG⊥BC，FH⊥BC交BC的延长线于点G，H，连接AC，O为AC的中点，由题意知AD＝CD＝BC＝AB＝4，AD∥BC，∴DG⊥AD，FH⊥AD，∴四边形DFHG是矩形，∴HG＝DF，FH＝DG，∵EF平分菱形ABCD的面积，∴EF过点O，且OE＝OF，∠AOF＝∠COE，OA＝OC，∴△AFO≌△CEO(SAS)，∴AF＝CE，∵3BE＝AF，∴BE＝DF＝ AD＝1，∴HG＝DF＝1，EC＝3，∵∠BCD＝120°，∴∠DCG＝60°，∴DG＝2 ，CG＝2，∴CH＝1，FH＝2 ，∴EH＝4，∴在Rt△EFH中，EF＝ ＝2 . 第32题图 33. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝ ，CB＝CD＝ ，∠DAB ＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则线段DE的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝ ，CB＝CD＝ ，∴点A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝ ＝2， S△ABD＝ AB·AD＝1，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝ ＝2，∴S△BCD＝ BD·OC＝2，∴S四边形ABCD＝1＋2＝3，∵S△BCD＝ BC·DM＝2，∴DM＝ ＝ ，∴BM＝ ＝ ，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝ ，S△BDE＝ ，∴BE∶CE＝1∶3，∴BE＝ ，∴EM＝BM－BE＝ ，∴DE＝ ＝ . 34. (2025交大附中模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，∠B ＝60°，∠D＝120°，若E为四边形ABCD的边BC上一点，当四边形 ABCD面积最大时，则过点A且平分四边形ABCD面积的分割线段AE的长 为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝BC＝2 ，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝2 ，BF＝ BC＝ ，∴AF＝3.当AD＝CD，即点D在D'处时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D'作D'G⊥AC于点G，则AG＝ AC＝ ，∵∠AD'C＝∠D＝120°，∴∠D'AG＝30°，∴D'G＝1，∴S△AD'C＝ AC·D'G＝ ，∴S△ABE＝ BE·AF＝ BE×3＝ BE，S△AEC＝ EC·AF＝ (BC－BE)×3＝ (2 －BE)，∵AE平分四边形ABCD的面积，∴S△ABE＝S△AEC＋S△AD'C，∴ BE＝ (2 －BE)＋ ，解得BE＝ ，∴EF＝BE－BF＝ － ＝ ，在Rt△AFE中， AE＝ ＝ . 35. 多解法(2025西工大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在 边AD，BC上，线段EF平分矩形ABCD的面积，连接AF，P为AF中 点，连接DP，交EF于点Q，若DE＝2，CD＝4，FQ＝3EQ，则△PQF 的面积为 ⁠. 3　 【解析】方法一：如解图1，连接AC交EF于点O，连接PO，PE，∵线 段EF平分矩形ABCD的面积，∴EF经过矩形ABCD的对称中心，即AC 的中点O，∴OE＝OF，又∵P为AF中点，∴OP∥AE，∵FQ＝ 3EQ，EO＝OF，设OF＝OE＝2k，则FQ＋QE＝EF＝4k，∴FQ＝ 3k，QE＝k，∴QE＝OQ，∵OP∥AE，∴∠QDE＝∠QPO， ∠QED＝∠QOP，∴△QDE≌△QPO(AAS)，∴OP＝DE＝2，∴AE ＝FC＝2PO＝4，∴S△AOP＝S△POE＝2S△POQ＝S△POF，∴S△PQF＝ S△POF＋S△POQ＝S△AOP＋ S△AOP＝ S△AOP＝ S△AOF＝ × S△ACF＝ × × ×4×4＝3. 方法二：如解图2，延长DP交CB延长线于点G，连接DF，∵EF平分矩 形ABCD的面积，∴BF＝DE＝2，∵AD∥BC，FQ＝3EQ，P是AF 的中点，∴GF＝3DE＝6，GQ＝3DQ，DP＝GP，∴PQ＝DQ，AD ＝GF＝6，∴S△PQF＝ S△DPF＝ S△ADF＝ ＝ ×6×4＝3. 73 $