专题1 填空几何综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

二、陕西重难题型突破 专题一填空几何综合题 (2025陕西14题考法) 类型1线段问题(8年2考) 1.(2023陕西13题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3, M,N分别是边AB,BC上的动点，且BM=BW,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若 PM+PN=4,则线段PC的长为 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025延安富县校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,F分别是AB,BC的中 点，连接DE,点G在线段DE上，若∠FGE=45°，则FG的长为 3.（2025陕师大附中模拟)如图，已知AB=AC,∠BCD=90°，∠ADB=2∠DBC,若AD=2,则 BD的长为 4.(2025榆林榆阳区校级模拟)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∠BCD的 平分线交AD于点E,交BA的延长线于点F,点P是EF的中点，连接OP,若BC=4,AB= 2,则OP的长为 B 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.(2025陕师大附中模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，0是斜边AC的中 点，D为点0上方一点，且OD=5√2，BD=8√2，∠BDC=45°，则线段CD的长为 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE,顶点E 恰好落在CD边上，若CE=6,则AD的长是 7.如图，已知P是平行四边形ABCD的边BC上一点，将△ABP沿直线AP折叠，点B落在平 行四边形ABCD内的点E处，且EA=ED,如果AB=5,AD=8,LB的正弦值为那么B配 的长为 35 类型2线段最值问题(8年1考) 8.(2025宝鸡金台区校级模拟)如图，M为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，N为边 AD上的一个动点，AM的垂直平分线分别交AB,AM于点E,F,∠BAD=60°，连接MN.若 MW长的最小值为4，则AE的长为 0 第8题图 第9题图 第10题图 9.（2021陕西13题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙0的半径为1.若⊙0在正方形 ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值 为 10.(2025渭南临渭区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,P是线段BC上一动点， M是线段AP上一点，且∠ADM=∠BAP,连接BM,则线段BM长的最小值为 11.(2025交大附中模拟)如图，在正方形ABCD中，AB=8√3，点E为边AD上一点，连接 BE,点G在BE上，以GE为边作等边三角形EFG,点F落在CD上，M为GF的中点，连 接CM,则CM的最小值为 第11题图 第12题图 12.(2024交大附中模拟)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4,D为边BC上一点，过点B作BC 的垂线并截取BE=CD,连接DE,则△BDE周长的最小值为 13.(2025铁一中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平 面内旋转，连接AD,过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值 为 第13题图 第14题图 14.如图，正方形ABCD的边长为2，G是以AB为直径的半圆上的一个动点，F是边CD上的 一个动点，点E是AD的中点，则EF+FG的最小值为 36 类型3面积问题(8年2考) 15.(2025铁一中模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，E为对角线AC上一点，作EF⊥AB 于点F,作EG⊥BC于点G,若EG+EF=4,则菱形ABCD的面积为 B F 第15题图 第16题图 第17题图 16.(2025咸阳永寿县模拟)如图，点O为菱形ABCD的对称中心，AB=4,∠B=60°，DE= 4AD,连接E0并延长交边BC于点F,则四边形OCDE的面积为 17.[数学文化](2025交大附中模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”.著名 的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问 题.在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形 的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用“出入相补”原理，由矩形面积导出 的.如图中的三角形下盈上虚，以下补上.如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分 的面积是 18.(2024陕西13题3分)如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的 右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 E B 第18题图 第19题图 19.(2025高新一中模拟)如图，在四边形ABCD中，BC=11,∠B+∠C=60°，E为BC上一点， 且△AED为等边三角形，若BE=4,则图中阴影部分面积之和为 20.(2025交大附中模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是AB上一点，F是AD上一 点，连接EF,CF,∠CFE=60°，若BE+DF=6,则菱形ABCD的面积为 B FC 第20题图 第21题图 21.(2025陕师大附中模拟)如图，在菱形ABCD中，连接BD,O为BD的中点，P为OD的中 点，AB=6,OD=4.若E,F分别为边AB,BC上的动点，且满足AE+CF=2,则四边形PEBF 的面积为 37 类型4面积最值问题(8年1考) 22.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，将它绕着边AB的中点O旋转一定角度，得 到△A1B1C1,连接BA1,BC1,则△BAC1面积的最大值为 第22题图 第23题图 23.如图，E,F分别为正方形ABCD的边AD,BC上两个动点，且AB=8,BF=2AE,连接EF, 过点D作DM⊥EF于点M,连接AM,则△ADM面积的最大值为 24.如图，点E,F分别在矩形ABCD的边AB,BC上，连接EF,将△BEF沿直线EF翻折得到 △HEF,AB=8,BC=6,AE:EB=3:1.连接AH,HC,当点F在线段BC上运动时，四边形 AHCD面积的最小值是 B 第24题图 第25题图 25.(2025陕西14题3分)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边 AB,AD上，且AM=AN,以MN为边作等边三角形MNP,使点P始终在口ABCD的内部或 边上.当△MWP的面积最大时，DN的长为 4 26.(2025咸阳乾县校级模拟)如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC= 3E,F,G分别为BD,AB, AD上的点，连接EF,EG.若EF+EG=12,则菱形ABCD面积的最大值为 B C 第26题图 第27题图 27.(2025西工大附中模拟)如图，四边形ABCD中，AD=DC=3,对角线AC平分∠DAB,且 AC⊥BC,则四边形ABCD面积的最大值为 28.(2025西安雁塔区校级模拟)如图，E为正方形ABCD内部一点，∠AEB=90°，AB=10,F 为EB边上一点，且AE=BF,连接DF,AF,则△ADF面积的最小值为 38 类型5面积平分问题(8年1考) 29.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8,E为AD边上一点，且AE=2,在BC边上存在 一点F,CD边上存在一点G,若线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值 为 G B N B A 第29题图 第30题图 30.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=12,M,N分别为CD,AB边上的点，MN过矩形ABCD 的对称中心O,且CM=4DM.若点G,H分别在AD,BC边上，且GH,MN将矩形ABCD的 面积四等分，则AG的长为 31.（2025西工大附中模拟)如图，在□ABCD中，∠ACB=a(0°<a<90),E,F分别为边AD, BC上的点，连接EF,若EF⊥AD于点E,且EF平分口ABCD的面积，过E作EP⊥AC于 点P,连接PF,则sin∠EFP的最大值为 C 第31题图 第32题图 32.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠C=120°，E,F分别是BC,AD上的点，且3BE=AF,连接 EF,当EF平分菱形ABCD的面积时，EF的长为 33.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=√2，CB=CD=√5，∠DAB=90°，若线段DE平分四边 形ABCD的面积，则线段DE的长为 B 第33题图 第34题图 34.(2025交大附中模拟)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2√3，∠B=60°，∠D=120°，若 E为四边形ABCD的边BC上一点，当四边形ABCD面积最大时，则过点A且平分四边形 ABCD面积的分割线段AE的长为 35.多解法(2025西工大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，线 段EF平分矩形ABCD的面积，连接AF,P为AF中点，连接DP,交EF于点Q,若DE=2, CD=4,FQ=3EQ,则△PQF的面积为 39△EBD,. SArD=(BD)= 5,则Sae BD2 5 ·S△ABc= √5BD 5 ,即当BD取得最大值时，S△e取得最大值. ∠BDA=∠C,∠ABC=90°，由圆周角定理可知，A,B,C, D四点共圆，.点D在以AC为直径的圆上，.BD≤AC=3. 即BD的最大值为3SA的最大值为95 3.20V5【解析】如解图，取MN的中 点F,过点F作FE⊥OB于点E,以 MN为直径作⊙F.:MW=2OM= 40m,F是MN的中点，.MF= PE B FN=20m,0F=40m:∠AOB=30°，EF⊥OB,∴.EF= 20m,OE=20w5m,.EF=MF.:EF⊥OB,EF为⊙F的 半径，.OB是⊙F的切线，切点为E,.当点P与点E重合 时，观景视角∠MPN的度数最大，此时OP=0E=205m 4.√7-1【解析】.△AMN沿MN所在直线翻折得到 △A'MW,MA'=MA=1,.点A'的轨迹是以点M为圆 心，MA为半径的圆弧.如解图，过点M作MF⊥DC,交 CD的延长线于点F.:MA'是定值，A'C的长度取最小值 时，A'在MC上..在边长为2的菱形ABCD中，∠A= 60°，M为AD中点，∴.2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°. ∠FMD=30,F=)MD= 2 F2,FM=D·s30= 2 5 CF=CD+FD=2.MC-F+CP.A'C=MC- MA'=√7-1，即A'C长度的最小值为√7-1. B 第4题解图 第5题解图 5.√3-1【解析】∠BAD=∠BCD=90°，∴A,B,C,D四 点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O,则圆心为点 O,如解图，连接OA,0C,取A0的中点F,连接EF,DF ∠ACD=30°，∠A0D=60°.0A=0D,△A0D为 等边三角形，.AD=OA=2,∠AFD=90°，.DF=√3.·E. F分别是AC,OA的中点，.EF是△AOC的中位线， BF=0C=1.在△DEF中，DF-P≤DE六当D.E,F 三点共线时，DE取得最小值，最小值为√3-1. 6.20√3【解析】如解图，延长AD到点E,使得DE=AD,连 接EC,延长AC到点F,使得CF=CE,连接EF.BD= DC,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴.△ADB≌△EDC(SAS). ∴.AB=CE,∠B=∠DCE,∴.AB∥CE,∴.∠ECF=∠BAC= 60°.CE=CF,△ECF是等边三角形..LF=60. AD=DE=15cm,AE=30cm..点F的运动轨迹是优 30 弧AFE.AB+AC=AC+CE=AC+CF=AF,.当AF为圆的 直径时，AB+AC的值最大，此时∠AEF=90°.又·∠F= 60°，.∠EAF=30°，AF=2EF,.AE2+EF2=AF2,即 302+EF2=(2EF)2,解得EF=105cm,.AF=20V5cm, 即AB+AC的最大值为20V5cm. A 第6题解图 第7题解图 7.3【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH⊥AB于点 H.PQ切⊙C于点Q,.CQ⊥PQ.在Rt△CPQ中，PQ= √Cp2-CQ=√CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取 最小值，此时，点P与点H重合△ABC为等边三角 形，.∠B=60°，.CP的最小值为CH=BC·sinB=25, PQ的最小值为√(23)-3=3. 二、陕西重难题型突破 专题一填空几何综合题 L.22【解析】如解图，过点P分别作PF⊥DC于点F, PG⊥BC于点G,PH⊥AB于点H,∴.四边形PFCG,PHBG 为矩形.DE=CD=AB=3,∠D=90°，∠ECD=45°， .∠ECB=45°，.PG=CG,.PG=PF.·PM≥PH,PN≥ PG,∴.PM+PW≥PH+PG=HF=BC=4..·PM+PN=4. .PM与PH重合，PN与PG重合.BM=BN,·.四边形 PHBG为正方形，∴.PH=PG=2,∴.GC=PG=2,.PC= 22 A E D H M B NG B 第1题解图 第2题解图 2.95 5 【解析】如解图，连接EF,DF,过点F作FH⊥DE于 点H.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,F分别是AB,BC 的中点，.AE=BE=2,BF=FC=3,DE=√AE+AD= 2√i0.:Sar=Se形w-San-Sa0r-Saip,2DE· FH=AB·BC- 2AD·AB- 2CF·cD- 1 2BE·BE2X 2而I=4x6分x6x2-号x3x4宁*2x3Fm- 9:∠FGE=45,FH⊥DB,GH=Fm=9D, 10 10, FG=FIP+GIF95 5 3.4【解析】如解图，延长BA,CD交于点N,延长DC至点 M,使得CM=CD,连接BM,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. .∠BCD=90°，∴.∠ACB+∠ACD=90°，∠ABC+∠AND= 90°，.∠ACD=∠AND,.AC=AN,.AB=AN,.BN=AB+ 4N=24然分∠BD=90c1nm,又 CM=CD,.BC是DM的垂直平分线，.BM=BD, ·.∠DBC=∠MBC,∴.∠DBM=∠DBC+∠MBC=2∠DBC. 又∠ADB=2∠DBC,∴.∠ADB=∠DBM,AD∥BM, ANADANBM.B=BN=2 BM=2AD=2x2= 4,∴.BD=BM=4. B 第3题解图 第4题解图 4.√5【解析】如解图，连接BE,OE,取BE的中点G,连接 OG,由题意可知∠BCD=∠ADC=∠ABC=∠BAD=90° CD=AB=2,AD=BC=4,.BD=√2+4=25，CE平 分∠BCD,∠BCE=∠DCE=45°=∠DEC,.DE=CD= 2,AE=AD-DE=2,易知0E= AB=1,OEAB,同理可 2 0GDE-10G//DE0GOE.0EL0G..G- ∠0EG=45°，.∴.∠OGB=∠OEP=135°，同理可得∠AEB ∠ABE=45°，又.∠AEF=∠DEC=45°，.∠FEB=90°， ∠BFE=∠ABE=45°，∴.EF=EB,P为EF的中点，G为 BE的中点，∴.BG=PE,.△OBG≌△OPE(SAS),.OP= 0B=之BD=5. 5.14【解析】如解图，作△ABC的 外接圆，过点B作BE⊥CD于点 E,在等腰直角三角形ABC中， ∠ABC=90°，∴AB=CB,∠A= ∠ACB=45°，：0是Rt△ABC斜 边AC的中点，.0A=OB=0C, B .点O是△ABC的外接圆的圆 心，∠BDC=45°，.点D在△ABC的外接圆上，.OA= 0B=0C=0D=52,.AC=2OA=102,.在Rt△ABC中 4B=BC=2AC=10,BE L CD,LBDC=45°，△BDB 是等腰直角三角形，.BE=DE,在Rt△BDE中，BD= 2BEDB=BB=5D=8,在Rt△BCE中，由勾股定 2 理，得CE=√BC2-BE2=6,∴.CD=DE+CE=14. 6.32【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F,过点E 作EH⊥BC于点H,HE的延长线交AD的延长线于点G, 则∠AFH=∠GHF=90°..'AD∥BC,∴.∠FAG=∠G=90°， ∴.四边形AFHG为矩形..·△ABE为等腰直角三角形，且 AB=AE,∠BAE=90°，.∠BAF+∠FAE=90°.∠FAG= 90°，·.∠EAG+∠FAE=90°，.∠BAF=∠EAG..·∠AFH= 90°，·.∠AFB=∠G=90°.在△ABF和△AEG中， I∠AFB=∠G, ∠BAF=∠EAG,.△ABF≌△AEG(AAS),.AF=AG, AB=AE, .四边形AFHG为正方形，·.AG=GH.·AD∥BC,∠C= 45°，∴.∠EDG=∠C=45°.又.EH⊥BC,∠G=90°， .△DGE和△HCE均为等腰直角三角形，.GD=GE,HC= HE,∴.AG-DG=GH-GE,.AD=EH.在Rt△HCE中，CE= 6.C=450Bn=2cf=35403E DG E E B4 B F H 第6题解图 第7题解图 7. 25 【解析】如解图，过点C作CF⊥AD于点下，过点E 作MN⊥AD于点N,交BC于点M,.四边形ABCD是平 行四边形，∴.CD=AB=5,BC=AD=8,∠B=∠ADC,AD∥ BC.MN⊥BC,CF⊥BC,.四边形MNFC是矩形，.CF= MN,NF-MC.sinB=sin L CDF=CF=4 CD5 MN=CF= 4,.DF=√CD-CF产=3，将△ABP沿直线AP折叠， ∴.AE=AB=5,PE=BP,ED=EA=5,NE⊥AD,.AN= DN=4,..MC=NF=1,NE=VAE-AN=3,..ME=MN- NE=1,.BP+PM+MC=BC=8,..BP+PM=7,BP2= PE=E+P=1+(7-BP)2BP=2 7 8. 85 【解析】：四边形ABCD是菱形且∠BAD=60°， 3 ∠DAC=∠BHC=子∠BMD=子×60=302，：M为菱形 ABCD的对角线AC上的一个定点，N为边AD上的一个 动点，且MW长的最小值为4，.MW⊥AD,即∠AWM= 90°，.AM=2MN=2×4=8,EF垂直平分AM,∴.AF= =4.ZAFE-90.AF-44 cos EAF cos30°3 9.32+1【解析】如解图，当⊙0分别与CB,CD相切时， 连接AC,交⊙0于P,Q两点，则点A到⊙0上的点的距 离最大值为AQ的长，过点O作OE⊥BC于点E,OF⊥CD 于点F,∴.OE=OF=1,∴OC平分∠BCD.四边形ABCD 为正方形，.点0在AC上.：AC=√2BC=42,0C= 31 √20E=√2，.AQ=0A+0Q=AC-0C+0Q=42-√2+1= 3√2+1，即点A到⊙0上的点的距离的最大值为3√2+1. D 0 B B E P O 第9题解图 第10题解图 10.4I-5【解析】.：∠ADM=∠BAP,∠BAP+∠DAP= 90°，.∠DAP+∠ADM=90°，.∠AMD=90°，.点M在 以AD为直径的圆上运动，如解图，取AD的中点O,连 接OB,交⊙O于点M',此时BM有最小值，最小值为 BM'的长，AD=BC=10,0是AD的中点，.OM'=A0= D0=5,.B0=√AB+AO=√4T,.线段BM长的最小 值为0B-0M'=√41-5. 11.4√3【解析】如解图，连接EM,作∠CDN=30°，：△EFG 为等边三角形，点F落在CD上，M为GF的中点，∴.EM1 GF,.∠EMF=90°，∠FEM= 2∠GEF=30°，·四边形 ABCD是正方形，∴.CD=AB=8√3，∠EDF=90°，.E,D F,M四点共圆，.∠MDF=∠MEF=30°，当点E在 AD上运动时，点M在DN上运动，当CM⊥DN时，CM 最小，∠CDN=30CW的最小值为号CD=之× 85=45. 第11题解图 第13题解图 12.42+4【解析】在Rt△ABC中，AB=AC=4,.BC= √AB+AC=4V2,:BE=CD,.△BDE的周长为BD+ BE+DE=BD+CD+DE=BC+DE=4√2+DE,.DE最小 时，△BDE的周长最小.设BE=x,则CD=x,BD=BC CD=4W2-x,.BE⊥BC,.△BDE是直角三角形，.DE= √BD+BE=√(42-x)2+x=√2x2-82x+32= √2(x-22)2+16,.当x=22时，DE有最小值4， ∴.△BDE周长的最小值为4√2+4. 13.2√2+1【解析】：BE⊥AE,.∠BEA=90°，如解图，点 E是在以AB为直径的圆上运动，：CD=1,且CD是绕 点C旋转，点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运 动，CA=CB=3,∴AB=2CA=32,当cos∠BAE最 32 大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小.当AE与 ⊙C相切于点D,且点D在△ABC内部时，∠ADC= ∠CDE=90°，∠B4E最小，AE最大，.AD=√AC-CD= 22.连接CE.AC=AC,.∠CEA=∠CBA=45°，.DE=CD =1,此时AE=2√2+1，即AE的最大值为22+1. 14.√0-1【解析】如解图，设半圆的E 圆心为点O,作点E关于CD的对称 D 点E',连接E'O,交CD于点F,交半 圆O于点G,此时EF+FG的值最小. .EF=E'F,..EF+FG=E'F+FG= E'G,.EF+FG的最小值为E'O-GO. 0 ·正方形ABCD的边长为2，.AO=G0=1.:E是AD 的中点，.DE'=DE=AE=1,.EA=3.在Rt△AE'0中， E'0=√E4+A0=√3+下=√10，.E'0-G0=√10- 1,.EF+FG的最小值为√10-1. 15.162【解析】如解图，连接BE,过点A作AH⊥BC于点 H,四边形ABCD是菱形AB=BC,Sac=2BC· AH=2AB·EF+)BC·EGAH=EF+EG=4,∠B= 2 45°，AH⊥BC,.△ABH是等腰直角三角形，∴.BC=AB= V2AH=42,.S装形BD=4V2×4=162. AHGE D B< HG℃ BF 第15题解图 第16题解图 1653 2 【解析】：四边形ABCD是菱形，∠D=∠B= 60,0=6D=极=4,40=0C=4C,△1CD为等边 三角形，DE=1,∴.AC=4,AE=AD-DE=3,∠CAD=60. 如解图，过点C作CG⊥AD于点G,过点O作OH⊥AD 于点4，则∠A0H=30,4G=40=2,CG= Vc-4G-25,0=50A=5sns=5o 5e=70.0c8.0m= 2 17.5【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D,:四边形 EFGH是矩形，且边EH在BC上，.∠LHIC=∠ADC= 90°，∠IEB=∠ADB=90°，∴.ILH∥AD,IE∥AD,∴.△BLH∽ △BAD,△CIE∽△CAD,由题意得SABH=S△G,S△CE= 5n=i-0--c00 1 1 4,.S△H=4S△aD,S△CE=4S△cD,S△Bn+S△cE= 1 SAMr20=G+ur= Saut5as=4×20=5 G B 第17题解图 第18题解图 18.60【解析】.AB=AC,.∠ABC=∠ACB..BF∥AC, ∴.LACB=∠CBF,.∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF 如解图，过点C分别作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点 N,则CW=CNSa=) 4·CI、s公ck三2不 CN,且BF=AE,.SACBF=S△ACE,.Smǜ形EBre=S△GBr+ SAce=SAGE+S△c=S△cAC=13,.AB=13,设AM=x, 则BM=13-x,由勾股定理，得CM=AC2-AMP=BC- Br13-x=102-(13-x),解得x= 13,C= √13(-05u=na1=60四边 形EBFC的面积为6O. 19.7,√5【解析】由题意得∠BAE+∠EDC=360°-LB-∠C -∠EAD-∠ADE=180°，.BC=11,BE=4..CE=BC- BE=7,如解图，将△BAE绕点E顺时针旋转60°得 △FDE,过点F作FH⊥BE于点H,∴.△BAE≌△FDE, .SABE=S△FDE,EF=BE=4,.S影=S△ABE+S△s=S△FDE +S△D=S△cs,:∠B+∠C=60°，.∠DFE+∠C=60°， :∠FEH是△CEF的外角，.∠FEH=∠DFE+∠C= 60°，·FH⊥BC,.在Rt△EFH中，EF=4,∠EFH=90°- I=0=E= 2×4=2,由勾股定理得F阳= √EF2-Ef=√4-2=25，.SACEF 2CE·FH= 7X23=13...S=SACEF =73. H E 20.183【解析】如解图，过点C作CH LAD于点H,连接 AC,EC,作△EAC的外接圆⊙O,:四边形ABCD是菱 形，且∠B=60°，.AB=BC=AD=CD,∠D=∠B=60°， .∴.△ABC和△ADC都是等边三角形，∴.∠EAC=∠D 60°，又∠CFE=60°，∴.∠EAC=∠CFE=60°，点F 在△EAC的外接圆⊙O上，.四边形AECF是⊙O的内 接四边形，.LAEC=∠DFC.在△AEC和△DFC中， I∠EAC=∠D, ∠AEC=∠DFC,.△AEC≌△DFC(AAS),.AE=DF, AC=DC. .AB=BE+AE=BE+DF=6,·.CD=AD=AB=6,在 m△CDN中，∠D=60,CH=5 CD=35S装形n= AD·CH=185. D FH E G B HET 第20题解图 第21题解图 21.105【解析】如解图，连接AC,过点P分别作PG⊥AB 于点G,PH⊥BC于点H,过点D作DT⊥BC于点T,由 题意知0是AC,BD的交点，.BD=20D=8,AC=20A, AC⊥BD,在Rt△AOD中，由勾股定理得OA= √AD-0D=25,AC=45,:S装形cD=BC·DT= 言4c,mm2458 1 6 3,又P为0的中 D0D2.B-PD6.PHLC DTL BC.PH/DD.d△BPH∽△BDT,07=BD,即 厂858PH=25,由对称性可得PG=PH=25, 3 .·AB+BC=12,AE+CF=2,∴.BE+BF=AB+BC-AE-CF= 10Se8mw=Sa+Sm-PG.E+2m,BF- m.(BEBP)-子25x10=105. 22. 4+25【解析】由题意得△ABC和△A,B,C,是一对全 等的等边三角形01，=0A=0B=0B=之B=2,如 解图，A,在以0为圆心，2为半径的⊙0上运动，记 A,C,与⊙0的另一个交点为N,设△BA,C,的边A,C, 上的高为6，则S4子G么，当4，N最小时6最 大，此时AB⊥A,C,记垂足为M,即BM=h,:∠C,A,B,= 60°0M= 2A0=5,心h=BM=2+V5,△B,C, 面积的最大值为了4G·BM=分×4x(2+月)=4+ 2W5. 0 B 33 23.162-16【解析】如解图，延长BA,FE交于点N,连接 DN,设DN的中点为O,连接OM.:四边形ABCD是正 、方形AD/BC△AEN△BY即， 8+AN AN=8.AN=AB DN=AN=8DMN= 900M=DN=45,过点0作001A0于点Q,过 点M作MP1AD于点PO0=74N=4,MP+O0≤ OM,∴.MP的最大值为4√2-4，∴.△ADM面积的最大值 为74D.Mp=16万-16 N D D M B C B 第23题解图 第24题解图 24.32【解析】如解图，连接AC,作EM⊥AC于点M,在 Rt△ABC中，AC=√AB+BC=√8+6=10，：AE:EB= 3:1,AB=8,∴.AE=6,EB=2,·∠EAM=∠BAC,∠AME= ∠B=90△4E△，长0阳合兴 10=6 EM18」 1 S=S+SAc Sc=AD CD=分×6x8=24当△4CH的面积最小时，四边形 AHCD的面积最小，·当EH与EM重合时，点H到直线 AC的距离最小，最小值为EM-EH=EM-EB=18-2= 5 了Saa的最小值为24C:W=×10x9-8, 8 5 .四边形AHCD的面积最小值为24+8=32. 25.5【解析】如解图，连接AP,并延长交BC于点H,四 边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，.∠BAD=120°， .·△MNP是等边三角形，∴.MP=PN,∠PMN=∠PNM= 60,Saw=3 MP2,.·AM=AN,AP=AP.△AMP≌ 4 △ANP(SSS),.∠BAP=∠DAP=60°，∠APM=∠APN= 30°，.∠AMP=90°，.MP=√3AM,AP=2AM,∴.MP= 3 P,.S△MNp= 33 AP2,.当AP最大时，△MNP的面 2 16 积最大，.∠B=∠BAH=60°，∴.△ABH是等边三角形， ∴.AH=AB=6,.AM=AN,MP=NP,∴.点P在AH上运 动，：点P始终在口ABCD的内部或边上，AP的最大 值为AH的长，即AP=6时，SAMP有最大值，此时AM= 34 AN=3,.DN=AD-AN=8-3=5. A N D M H C B 第25题解图 第26题解图 26.180【解析】如解图，在CD上截取DM=DG,连接ME, 过点F作FN⊥CD于点N,过点A作AH⊥BC于点H, :四边形ABCD是菱形，.∠EDG=∠EDM,AB=BC= CD,DE=DE,.△DEM≌△DEG(SAS),.EM=EG, .EF+EG 12,..EF+EM 12,..FN EF+EM=12, S菱形BD=BC·AH=CD·FN,.AH=FV,.AH≤12. 女tan∠ABC==号，令AH=4,BH=3x,AB= mm=50手超=子c-。 六SeB=BC·AH=至Af,A相≤12SeBn的最 4 大值为子×12=180 27 27. 2 【解析】如解图，延长AD 和BC交于点E,过点C作 CH⊥DE于点H,AC平分 LDAB,.∠CAB=∠CAE,A AC⊥BC,.∠BCA=∠ACE=90°，∠B=∠E,AB= AE,AC⊥BE,.BC=CE,.SABc=S AACE,.∠DAC= ∠DCA,:∠E+∠DAC=∠DCE+∠DCA=90°，∠E= ∠DCE,.DC=DE,.AD=DE,.S△CE=2S△Dc, Sw3Sk=40.C,GH≤m=3 S的最大值为了40，CH=子×3x3 9 2四边 形8CD面积的朵大值为受 28.25【解析】如解图1，连接CF,四边形ABCD是正方 形，AB=BC,∠ABC=90°，.∠ABE+∠CBF=90°， ∠AEB=90°，∴.∠ABE+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠CBF, AE=BF,AB=BC,∴.△ABE≌△BCF(SAS),.∠BFC =∠AEB=90°，.点E在以AB为直径的圆上.如解图 2,当A,E,C三点共线时，△ADF的面积最小，此时F与 E重合，：AB=AD=10,∠BAD=90°，S△w=2X10X 10=50,:四边形ABCD是正方形，.DE=BE,S△Aw= 2×50=25,即△ADF面积的最小值为25. E(F 解图1 解图2 29.4√3+2√2T【解析】如解图，作点E关于CD的对称点 M,EM交CD于点N,过点M分别作KT⊥BC,AD的延 长线于点T,K,连接FM交DC于点G,过点A作AH1 BC于点H,:∠ABC=60°，AB=8,∴.BH=4,AH=4W3 .AE=2,.DE=6,.∠EDN=60°，∠END=90 ∠DEN=30°，DN=3,EN=35,EM=2EN=65,在 R△EK中.KM=BM=35EK=5KM=9.MT= KT-KM=AH-KM=√3，·线段EF平分菱形ABCD的面 积，∴.EF过菱形ABCD的对称中心，由菱形的对称性知 CF=AE=2,..HIF=BC-BH-CF=8-4-2=2,..HF=AE, HF∥AE,∠AHF=90°，.四边形AEFH是矩形，EF= AH=45,∴.∠EFH=∠EFT=90°，.四边形EFTK是矩 形，.FT=EK=9,.FM=√FT+MT=2√2I,EF+ FG+EG=EF+FG+GM,.当M,G,F三点共线时，△EFG 的周长最小，此时△EFG周长的最小值即为EF+FM= 4W3+2√2I. A E D B HF C 第29题解图 第30题解图 30.1【解析】四边形ABCD为矩形，心CD=AB=2D AD=BC=12,CM=4DM,.DM=4,CM=16,如解图. 连接GM,MH,HN,NG,设AG=x,则DG=12-x,点O 是矩形ABCD的对称中心，.OG=OH,OM=ON,CH= AG=x,.四边形MGNH为平行四边形，.S△cow=S△oM, ·GH,MN将矩形ABCD的面积四等分，.S△cM=S△Ma, 时×4(12-0=×6解特号AG=号 31号【解析】如解图，设EF与4C相交于点0，：EF平 分口ABCD的面积，O'为AC的中点，O'A=O'C, .:四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.∠DAC= ∠ACB,又.·∠AO'E=∠CO'F,·.△AO'E≌△CO'F (ASA),.O'E=O'F,EP⊥AC于点P,.点P在以 EO'为直径的圆上，当PF与⊙O相切时，∠EFP最大， .sin∠EFP的值最大，连接OP,.∠OPF=90°，设OP 为1，则0'0=1,0'F=0'E=2,0F=1+2=3, sinLEFP=3 第31题解图 第32题解图 32.27【解析】如解图，过点D,F分别作DG⊥BC,FHL BC交BC的延长线于点G,H,连接AC,O为AC的中点， 由题意知AD=CD=BC=AB=4,AD∥BC,DG⊥AD, FH⊥AD,∴.四边形DFHG是矩形，∴.HG=DF,FH=DG. :EF平分菱形ABCD的面积，∴EF过点O,且OE= OF,∠A0F=∠COE,OA=OC,△AFO≌△CE0(SAS), .AF-CE.EF FD DF=1,EC=3,∠BCD=120°，.∠DCG=60°，DG= 25,CG=2,.CH=1,FH=25,EH=4,.在Rt△EFH 中，EF=√E㎡+Fr=2万. 双至【解标]如解图，连接D交4C于点0，过D点作 DM⊥BC于点M,:AB=AD=√2，CB=CD=√5，点A, C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD,:∠DAB= 90BD=VG+MD=2,Sm=子AB·A0=1, .A0=D0=B0=1,.C0=√BC-0B=2,SAcD= 0.0c-2Saa-12=3.5am=7c DM=2,∴.DM= BC=5 BM=BD-DF=25 44w5 5, 3 线段DE平分四边形ABCD的面积，.S△cs=2, S.woCE-1E 35 20DE-DAP+E=53 4 EM B 第33题解图 第34题解图 ,2四【解析】如解图，连接AC,过点A作AF1BC于 34. 3 点F,AB=BC=25,∠B=60°，.△ABC是等边三角 形AC=BC=25,BF=BC=5AF=3.当AD= 2 CD,即点D在D'处时，△ADC的面积最大，此时，四边 形ABCD的面积最大，过点D'作D'G⊥AC于点G,则 AG=3AC=5,:∠A0'C=∠D=120,∠DAG= 30D'G=1.SAe=ACD'G=3Sm= EAP=Ex3=子BE,Sm=之BC·AF= 之(BC-)X3-2（2-服)，AE平分四边形A8CD的 面积Se=5c+5…号8E=子(26-B2)+ 35 3翻相那_42，.EF三BE-BF=33、的 3 3,在 B△AFE中，AE=VAF+EF_2V2 3 35.3【解析】方法一：如解图1，连接AC交EF于点0，连 接PO,PE,线段EF平分矩形ABCD的面积，EF经 过矩形ABCD的对称中心，即AC的中点O,OE=OF, 又P为AF中点，.OP∥AE,FQ=3EQ,E0=OF,设 OF=OE=2k,FO+QE=EF=4k,..FQ=3k,QE=k. ∴.QE=OQ,.OP∥AE,∴.∠QDE=∠QPO,∠QED= ∠QOP,∴.△QDE≌△QPO(AAS),∴.OP=DE=2,∴.AE= FC=2P0=4...SMOP=SAPOE =2S AP00=SAPOrS= 。1 3 3 3 311 25a4=42×2 ×4×4=3. B 解图1 解图2 方法二：如解图2，延长DP交CB延长线于点G,连接 DF,:EF平分矩形ABCD的面积，.BF=DE=2,:AD∥ BC,FQ=3EQ,P是AF的中点，，GF=3DE=6,GQ= 1 3DQ,DP=GP,.PQ=DQ.AD=GF=6,SAro=SAOPF= 1 1 人SAD*=又SE无ABcD已及X6X43. 专题二圆的综合题 1.(1)证明：.·AB是⊙0的直径，OD⊥BC, .D=C⑦，即点D为BC的中点， (2)解：AB是⊙0的直径，OD⊥BC, ∴.EC=BE=4,∠ACB=90°，.BC=8, AC=6,AB=√AC+BC=10, ∴.OD=0B= 2AB=50E=√OB-BE=3, ∴.DE=0D-0E=5-3=2. 2.(1)证明：0是AB的中点，F是AC的中点， .OF是△ABC的中位线， .C. F是AC的中点，AD=DE, AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， ∴.BD是线段AE的垂直平分线， ∴.AB=BE,∠BAE=∠BEA, .∴.∠DBA=∠DBE,即BD平分∠ABC (2)解：由(1)知AB=BE. .AB=10,BC=14,.BE=AB=10. .∴.CE=BC-BE=14-10=4. 36 AD=DE,F是AC的中点， .DF是△AEC的中位线， .DF=1CE=2. 2 3.解：(1)：∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, BCAB ·.△BAC∽△BCD,BDBC AB=42,D为AB中点，.BD=AD=22, .BC2=BD·AB=16,.BC=4. (2)如解图，过点A作AE⊥CD于点E,连接C0,并延长 交⊙0于点F,连接AF B D DE√2 在R1△AMBD中，cos∠A0C=D4,AD=25, DE=1,.AE=√AD-DE=√7. △ac8an答-器-9-反 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1. 在Rt△ACE中，AC2=CE+AE2, .(2x)2=(x-1)2+(7)2, 整理得x2+2x-8=0,解得x=2(负值已舍去)， ∴.CD=2,AC=22. :∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， .∠AFC=∠ADC. CF为⊙0的直径，∴.∠CAF=90°， sin∠AC=sin∠CDA,即4C-AE-万-V4 CF AD 2 4 Cr=8 70F 2C4 1 7 即⊙0的半径为4y7 7 4.(1)证明：如解图，连接0C .·CM是⊙O的切线，.OC⊥CM M :AM⊥CM,∴.AM/∥OC, .∠CAM=∠AC0, OA=0C,.∠OAC=∠AC0, .CAM=∠OAC, .AC平分∠DAB. (2)解：如解图，过点0作OH⊥AM于点H. .·∠OHM=∠CMH=∠OCM=90°， .四边形0HMC是矩形.MH=0C=4,CM=0H, DM=3,..AH=DH=MH-DM=1, .0H=√/0A-A㎡=/4-12=/15. CM=0H=√I5, .CD=√DMr+CM=√32+（√I5)2=26.