专题02 二元一次方程组（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 二元一次方程组 二元一次方程 1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的核心要点： ①整式性：方程两边均为整式，分母中不含未知数，根号下不含未知数； ②未知数个数：恰好两个未知数； ③次数要求：每个未知数的次数均为1，不含xy（次数2）、x²（次数2）等项。 3. 一般形式：（其中为常数，且）； 4. 解的特点：二元一次方程有无数组解，每一组解都是一对未知数的值，能使方程左右两边相等。 二元一次方程组 1. 定义：由两个或两个以上二元一次方程组成，且方程组中一共含有两个未知数，这样的方程组叫做二元一次方程组。 2. 核心要点： ①方程组中所有方程均为整式方程； ②整体含有两个未知数； ③未知数次数为1。 3. 一般形式：（其中不同时为0，不同时为0，保证每个方程至少含一个未知数）； 二元一次方程（组）的解 1. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，有无数组解； 2. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解； 3. 解的三种情况：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解；特殊情况下，有无数组解（两个方程化简后完全相同）或无解（两个方程化简后矛盾）； 4. 检验方法：将未知数的值代入方程（组），验证左右两边是否相等，是判断一组值是否为解的唯一方法。 代入消元法 1. 定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种方法叫做代入消元法。 2. 具体步骤： ①变形：从方程组中选择一个系数较简单（尤其是未知数系数为±1）的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示； ②代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； ⑤检验：将两个未知数的值代入原方程组，验证左右两边是否相等（养成检验习惯，避免计算错误）。 3. 适用场景：方程组中一个未知数的系数为±1，或容易变形为“一个未知数用另一个未知数表示”的形式。 加减消元法 1. 定义：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法。 2. 具体步骤： ①观察：找出方程组中同一个未知数的系数特点（相等或互为相反数）； ②消元：若系数互为相反数，将两个方程两边分别相加，消去该未知数；若系数相等，将两个方程两边分别相减，消去该未知数，转化为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤检验：验证两个未知数的值是否满足原方程组的所有方程。 3. 适用场景：方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数；若系数既不相等也不相反，可利用等式性质，将某个未知数的系数化为相等或相反（如两边同乘一个合适的数），再用加减消元法。 4. 方程组的化简技巧：当方程组中含有括号、分母时，先化简方程（去括号、去分母、移项、合并同类项），再选择合适的消元方法，简化计算过程，减少错误。 实际应用 1. 解题核心步骤 ①审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的两个等量关系（关键，缺一不可）； ②设：设未知数，分直接设元（求什么设什么）和间接设元（直接设元复杂时，设中间量），通常设两个未知数； ③列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组； ④解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验所求的解是否符合题意（如人数、单价、长度等不能为负数，部分问题需为整数），同时检验是否满足原方程组； ⑥答：写出完整的答案，贴合题目问题，语言规范。 含参数的二元一次方程组 1. 定义：方程组中除了未知数外，还含有一个或多个待定常数（即参数，如等），这类方程组叫做含参数的二元一次方程组。 2. 常见题型及解法： ①已知方程组的解，求参数的值：将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数； ②已知方程组的解满足某个条件（如等），求参数的值：先解方程组（用参数表示），再代入条件，列方程求解参数； ③已知方程组有唯一解、无解或无数组解，求参数的值：根据方程组中两个方程的系数关系判断 （如, 当时，有唯一解； 当时，无解； 当时，有无数组解）。 同解方程组问题 1. 定义：两个二元一次方程组有相同的解，这类问题叫做同解方程组问题。 2. 解题思路： ①取出两个方程组中不含参数的方程，组成新的二元一次方程组，求出其解（即两个原方程组的公共解）； ②将公共解代入含有参数的方程中，列一元一次方程，求解参数的值； ③检验：将参数的值代入原方程组，验证两个方程组的解是否一致。 三元一次方程组 1. 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程组叫做三元一次方程组。 2. 核心解法：延续消元化归思想，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按二元一次方程组的解法求解。 判断二元一次方程（组） 【例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 【例2】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 二元一次方程（组）的解 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【例2】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【变式2】（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 由二元一次方程（组）的定义求参数 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则______． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 解二元一次方程组 【例1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）解方程组：． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 【变式3】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 二元一次方程组中新定义问题 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 二元一次方程组同解问题 【例1】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【变式2】（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 二元一次方程组错解问题 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【变式2】（25-26八年级上·重庆南岸·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 已知二元一次方程组解的其他情况求参数 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【变式1】（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·月考）若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【变式1】（2026七年级下·吉林长春·专题练习）方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【变式3】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【变式4】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 二元一次方程组的实际应用——几何应用 【例1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 二元一次方程组的实际应用——分配问题 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 二元一次方程组的实际应用——行程问题 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 二元一次方程组的实际应用——工程问题 【例1】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 二元一次方程组的实际应用——方案问题 【例1】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【变式4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 二元一次方程组的实际应用——数字问题 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 二元一次方程组的实际应用——年龄问题 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题 【例1】（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【变式2】（25-26八年级下·河南驻马店·月考）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． (1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元？ (2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该校需要洗手液的数是测温枪的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用等于1540元，那么该学校购买了多少个测温枪？ 【变式3】（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 【变式4】25-26九年级下·安徽滁州·月考）某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 二元一次方程组的实际应用——古代问题 【例1】（2026·安徽亳州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 二元一次方程组的实际应用——和差倍分问题 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【变式2】（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 知识点 易错点 避坑技巧 二元一次方程 1. 忽略“整式方程”，误判分式、根式方程； 2. 混淆次数，误将xy=4、x²+y=5当作二元一次方程。 1. 判断时先看是否为整式方程，分母、根号下无未知数； 2. 看未知数次数，只看单个未知数，不含乘积、平方项。 二元一次方程组 1. 误将含三个未知数的方程组当作二元一次方程组； 2. 忽略“整式方程”前提。 1. 先数未知数总数，必为2个； 2. 逐个检查方程，均为整式方程，且整体含2个未知数。 二元一次方程（组）的解 1. 检验时只代入一个方程，忽略“所有方程”； 2. 混淆方程与方程组的解的个数特点。 1. 检验方程组的解，必须代入所有方程； 2. 牢记：方程无数组解，方程组一般唯一解、特殊无解或无数组解。 代入消元法 1. 变形后代入时漏加括号，导致符号错误； 2. 回代时代入原方程，计算繁琐易出错。 1. 变形后含括号的式子，代入时必加括号； 2. 回代优先代入变形后的简单式子，减少计算量。 加减消元法 1. 消元时符号出错（相减时常数项漏变号）； 2. 化系数时，常数项漏乘。 1. 相减时，把被减方程所有项变号，再相加；2. 化系数时，方程两边所有项（含常数项）同步乘同一个数。 含参数的二元一次方程组 1. 解方程组时，参数处理错误； 2. 忽略参数取值限制（如二次项系数不为0）。 1. 把参数当作已知常数，按常规方法解方程组； 2. 解完后，检查参数是否有取值限制，避免漏解。 同解方程组 1. 错误选取含参数的方程组成新方程组； 2. 公共解代入时，参数代入错误。 1. 必选两个方程组中“无参数”的方程组成新方程组，求公共解； 2. 代入时，逐一代入含参数方程，核对符号。 1. 未知数系数为±1 → 优先代入消元；相同未知数系数相等/相反 → 优先加减消元。 2. 系数复杂 → 先化简再消元。 3. 求参数 → 把解代入转一元一次方程。 4. 实际问题 → 先找两个等量关系再列方程组。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 二元一次方程 1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的核心要点： ①整式性：方程两边均为整式，分母中不含未知数，根号下不含未知数； ②未知数个数：恰好两个未知数； ③次数要求：每个未知数的次数均为1，不含xy（次数2）、x²（次数2）等项。 3. 一般形式：（其中为常数，且）； 4. 解的特点：二元一次方程有无数组解，每一组解都是一对未知数的值，能使方程左右两边相等。 二元一次方程组 1. 定义：由两个或两个以上二元一次方程组成，且方程组中一共含有两个未知数，这样的方程组叫做二元一次方程组。 2. 核心要点： ①方程组中所有方程均为整式方程； ②整体含有两个未知数； ③未知数次数为1。 3. 一般形式：（其中不同时为0，不同时为0，保证每个方程至少含一个未知数）； 二元一次方程（组）的解 1. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，有无数组解； 2. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解； 3. 解的三种情况：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解；特殊情况下，有无数组解（两个方程化简后完全相同）或无解（两个方程化简后矛盾）； 4. 检验方法：将未知数的值代入方程（组），验证左右两边是否相等，是判断一组值是否为解的唯一方法。 代入消元法 1. 定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种方法叫做代入消元法。 2. 具体步骤： ①变形：从方程组中选择一个系数较简单（尤其是未知数系数为±1）的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示； ②代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； ⑤检验：将两个未知数的值代入原方程组，验证左右两边是否相等（养成检验习惯，避免计算错误）。 3. 适用场景：方程组中一个未知数的系数为±1，或容易变形为“一个未知数用另一个未知数表示”的形式。 加减消元法 1. 定义：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法。 2. 具体步骤： ①观察：找出方程组中同一个未知数的系数特点（相等或互为相反数）； ②消元：若系数互为相反数，将两个方程两边分别相加，消去该未知数；若系数相等，将两个方程两边分别相减，消去该未知数，转化为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤检验：验证两个未知数的值是否满足原方程组的所有方程。 3. 适用场景：方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数；若系数既不相等也不相反，可利用等式性质，将某个未知数的系数化为相等或相反（如两边同乘一个合适的数），再用加减消元法。 4. 方程组的化简技巧：当方程组中含有括号、分母时，先化简方程（去括号、去分母、移项、合并同类项），再选择合适的消元方法，简化计算过程，减少错误。 实际应用 1. 解题核心步骤 ①审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的两个等量关系（关键，缺一不可）； ②设：设未知数，分直接设元（求什么设什么）和间接设元（直接设元复杂时，设中间量），通常设两个未知数； ③列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组； ④解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验所求的解是否符合题意（如人数、单价、长度等不能为负数，部分问题需为整数），同时检验是否满足原方程组； ⑥答：写出完整的答案，贴合题目问题，语言规范。 含参数的二元一次方程组 1. 定义：方程组中除了未知数外，还含有一个或多个待定常数（即参数，如等），这类方程组叫做含参数的二元一次方程组。 2. 常见题型及解法： ①已知方程组的解，求参数的值：将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数； ②已知方程组的解满足某个条件（如等），求参数的值：先解方程组（用参数表示），再代入条件，列方程求解参数； ③已知方程组有唯一解、无解或无数组解，求参数的值：根据方程组中两个方程的系数关系判断 （如, 当时，有唯一解； 当时，无解； 当时，有无数组解）。 同解方程组问题 1. 定义：两个二元一次方程组有相同的解，这类问题叫做同解方程组问题。 2. 解题思路： ①取出两个方程组中不含参数的方程，组成新的二元一次方程组，求出其解（即两个原方程组的公共解）； ②将公共解代入含有参数的方程中，列一元一次方程，求解参数的值； ③检验：将参数的值代入原方程组，验证两个方程组的解是否一致。 三元一次方程组 1. 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程组叫做三元一次方程组。 2. 核心解法：延续消元化归思想，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按二元一次方程组的解法求解。 判断二元一次方程（组） 【例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 【详解】．解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：A．中，未知数次数为2，不是二元一次方程； B．中，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程； C．中含有分式，不是整式方程，不是二元一次方程； D．中只有一个未知数，且次数为2，不是二元一次方程； 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 二元一次方程（组）的解 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是方程的解； B．，不是方程的解； C．，是方程的解； D．，不是方程的解． 【变式1】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的定义． 将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入方程，得， 化简得， 移项得， 即， 两边同时除以2，得． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出关于x和y的方程，代入求解y的值． 【详解】解：由题意得， 将代入，得：， 解得， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 【变式2】（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解． 【详解】解：方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得．   故选：B． 由二元一次方程（组）的定义求参数 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 解二元一次方程组 【例1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用代入消元法求解即可； （2）使用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ， 方程组的解为 ； （2）解： ， 得 ， ，得 解得， 把代入，得 ， 解得， 方程组的解为 ． 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将代入得， 解得， 将代入，得， ； （2）解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得 ． 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【分析】读懂材料中提供的解题方法，并结合加减消元法解二元一次方程组. 【详解】（1） ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. （2） ①-②，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 根据题干要求，采用“消常数项法”解答即可． 【详解】解：由②①，得，即．③ 将③代入①，得， 解得． 把代入③，得， 所以方程组的解为 【变式3】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，后面的数是等号右边的常数项，且一个短竖算筹表示1，一个短横算筹表示10”，短竖算筹和短横算筹构成的数，短横算筹表示5，一个短竖算筹表示1，它们的和就是该数，解得即可； （2）用加减消元法和数表法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一个方程中，x的系数为1，y的系数为5，常数项是17，第二个方程中，x的系数为1，y的系数为2，常数项是14， 故方程组为：； （2）解：常规方法： ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 数表： 所以原方程组的解为 二元一次方程组中新定义问题 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 二元一次方程组同解问题 【例1】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 二元一次方程组错解问题 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【变式2】（25-26八年级上·重庆南岸·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，整体的思想，熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． （1）将代入②求出，将代入①求出； （2）先将的值代入方程组，用加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，，再解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入②得：， 解得； 将代入①得：， 解得， ，； （2）解：把，代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为； （3）解：把，代入关于的二元一次方程组得： 由（2）可知， ①②得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 已知二元一次方程组解的其他情况求参数 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【答案】A 【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 【变式1】（2025九年级下·河北·专题练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解求参数，将代入第一个方程求出 x 的值，再将 x 和 y 的值代入第二个方程求解． 【详解】解：由题意得，方程组的解中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·月考）若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 【变式1】（2026七年级下·吉林长春·专题练习）方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意得到x与y的关系，联立不含k的方程求出的值，再代入含k的方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中，x的值比y的值大1， ∴， 联立得， 解得， 把代入中， 得 解得． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 【变式3】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 【变式4】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【答案】12 【分析】由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组求解即可求出的值． 【详解】由题意得，把代入方程组得， 整理得， 把②代入①，得， 代入①得， ∴时，原方程组的解互为相反数． 二元一次方程组的实际应用——几何应用 【例1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 二元一次方程组的实际应用——分配问题 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 二元一次方程组的实际应用——行程问题 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【变式1】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 【答案】(1)第一批去798人，第二批去808人； (2)龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是 【分析】（1）设第一批人数为x人，第二批为y人，列方程组求解； （2）龙舟在静水中的速度为，水流速度为，列方程组求解． 【详解】（1）解：设第一批人数为x人，第二批为y人， ∵每人门票价为50元，且两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元，77088不是50的倍数， ∴两批次去的人数和为1600以上， ∴， 解得， ∴第一批去798人，第二批去808人； （2）解：设龙舟在静水中的速度为，水流速度为， ， 解得， 答：龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是． 二元一次方程组的实际应用——工程问题 【例1】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 二元一次方程组的实际应用——方案问题 【例1】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元 (2)共有3种进货方案 (3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元 【分析】 （1）设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组，解方程组即可； （2）设商场第三次购进A型电视机m台，则购进B型电视机n台，根据商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，列出方程，求出方程的整数解即可； （3）分别求出三种方案的利润，然后进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元； （2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得： ， 整理得：， ∵m、n为整数， ∴，，， ∴共有3种进货方案； （3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润： （元）； ∵， ∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元． 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【答案】(1)A类足球单价为85元，B类足球单价为80元 (2)选择乙供应商更便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元法求解单价； （2）分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定更优惠的供应商． 【详解】（1）解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元 根据题意得， ， 解得， 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； （2）解： ∵买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， ∴可赠送B类足球的数量为（个） ∴需要购买B类足球的数量为（个） 甲供应商的总费用为（元） 乙供应商的总费用 为（元）， ∵， ∴选择乙供应商更便宜． 答：选择乙供应商更便宜． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·月考）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【答案】(1) (2)，，， (3)需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块 【分析】（1）用一张该板材的面积除以一块靠背板的面积即可得出结果； （2）一张该板材先靠上裁切靠背板块，设余下的板材可裁切靠背板块，座板块，根据题意可得，表示出，结合，为正整数，求出或或，即可得出结果； （3）分三种情况，分别列出二元一次方程组，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板块； （2）解：如图：一张该板材先靠上裁切靠背板块， 设余下的板材可裁切靠背板块，座板块， 根据题意可得， ∴， ∵，为正整数， ∴或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板块和座板块． 方案三：裁切靠背板块和座板块； （3）解：设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块． 【变式4】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元；（2）应该租用7辆60座客车才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的应用，解题的关键是根据租金关系和人数相等关系列出方程（组），再通过计算不同方案的总费用进行比较决策． （1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再分别计算租用两种客车的总费用，比较后确定合算方案． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：，解得： 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元． （2）解：由题意得： 解得： 所以七年级共人， 若全部租用45座客车，需要9辆车，则总费用为：元． 若全部租用60座客车，需要：辆车，则总费用为：元. ， 所以，应该租用7辆60座客车才合算． 二元一次方程组的实际应用——数字问题 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 二元一次方程组的实际应用——年龄问题 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题 【例1】（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【答案】3200元 【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)商品购进件， 商品购进件； (2)元． 【分析】（）设商品购进件，商品购进件，根据题意得，然后解方程即可； （）分别求出商品的获利，然后相加即可． 【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件， 根据题意得： ， 解得：， 答：商品购进件，商品购进件； （2）解：获利：（元），获利：（元）， 总获利：（元）． 【变式2】（25-26八年级下·河南驻马店·月考）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． (1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元？ (2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该校需要洗手液的数是测温枪的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用等于1540元，那么该学校购买了多少个测温枪？ 【答案】(1) 购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元 (2) 该学校购买了50个测温枪 【分析】（1）设购买一个测温枪需要x元、则购买一瓶洗手液需要元，由此列分式方程求解即可； （2）设购买测温枪的数量为个，则购买洗手液的数量为个，结合优惠方案列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个测温枪需要x元、则购买一瓶洗手液需要元， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元； （2）解：设购买测温枪的数量为个，则购买洗手液的数量为个， ∵购买一个测温枪赠送一瓶洗手液， ∴赠送后需要付费的洗手液的数量为（个）， ∴， 解得，， ∴该学校购买了50个测温枪． 【变式3】（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 【答案】“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元 【分析】设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． 【变式4】25-26九年级下·安徽滁州·月考）某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【答案】(1)，，； (2)第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元 【分析】（1）根据题意列代数式，再填表即可； （2）根据“第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度总销售额比第一季度增加了1400元”列出关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，再乘以各自的增长率即可解答． 【详解】（1）解：第二季度苹果销售额为； 第二季度橙子销售额为； 第二季度总销售额为； 填表如下： 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 （2）解：由题意可得，， 解得， ，， 答：第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元． 二元一次方程组的实际应用——古代问题 【例1】（2026·安徽亳州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 二元一次方程组的实际应用——和差倍分问题 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【答案】应调往甲处人 【分析】设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，根据一共有20人调往甲、乙两处，且支援后甲处植树的人数是乙处人数的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人， 由题意得，， 解得， 答：应调往甲处18人． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 【变式2】（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 知识点 易错点 避坑技巧 二元一次方程 1. 忽略“整式方程”，误判分式、根式方程； 2. 混淆次数，误将xy=4、x²+y=5当作二元一次方程。 1. 判断时先看是否为整式方程，分母、根号下无未知数； 2. 看未知数次数，只看单个未知数，不含乘积、平方项。 二元一次方程组 1. 误将含三个未知数的方程组当作二元一次方程组； 2. 忽略“整式方程”前提。 1. 先数未知数总数，必为2个； 2. 逐个检查方程，均为整式方程，且整体含2个未知数。 二元一次方程（组）的解 1. 检验时只代入一个方程，忽略“所有方程”； 2. 混淆方程与方程组的解的个数特点。 1. 检验方程组的解，必须代入所有方程； 2. 牢记：方程无数组解，方程组一般唯一解、特殊无解或无数组解。 代入消元法 1. 变形后代入时漏加括号，导致符号错误； 2. 回代时代入原方程，计算繁琐易出错。 1. 变形后含括号的式子，代入时必加括号； 2. 回代优先代入变形后的简单式子，减少计算量。 加减消元法 1. 消元时符号出错（相减时常数项漏变号）； 2. 化系数时，常数项漏乘。 1. 相减时，把被减方程所有项变号，再相加；2. 化系数时，方程两边所有项（含常数项）同步乘同一个数。 含参数的二元一次方程组 1. 解方程组时，参数处理错误； 2. 忽略参数取值限制（如二次项系数不为0）。 1. 把参数当作已知常数，按常规方法解方程组； 2. 解完后，检查参数是否有取值限制，避免漏解。 同解方程组 1. 错误选取含参数的方程组成新方程组； 2. 公共解代入时，参数代入错误。 1. 必选两个方程组中“无参数”的方程组成新方程组，求公共解； 2. 代入时，逐一代入含参数方程，核对符号。 1. 未知数系数为±1 → 优先代入消元；相同未知数系数相等/相反 → 优先加减消元。 2. 系数复杂 → 先化简再消元。 3. 求参数 → 把解代入转一元一次方程。 4. 实际问题 → 先找两个等量关系再列方程组。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $