专题05 解二元一次方程组（考点清单，3考点12题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题05 解二元一次方程组 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 解二元一次方程组的基本方法 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.整体消元法 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 清单02 解二元一次方程组的步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 清单03 解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 【考点题型一】利用代入消元法解二元一次方程（） 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（　　） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）用代入法解方程组： (1)(2) 【考点题型二】利用加减消元法解二元一次方程（） 4．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 5．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）已知二元一次方程组：①，②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（    ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 6．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用加减法解方程组 【考点题型三】选用合适的方法解二元一次方程（） 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解方程（组） (1) (2) 8．（21-22七年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 9．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）解方程（组）： (1) (2) 【考点题型四】以探究过程的形式考查解二元一次方程（） 10．（22-23八年级上·山西晋中·期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：②×2，得，③     第一步 ____________，得，        第二步 ．                        第三步 将代入②，得．     第四步 所以原方程组的解是      第五步 任务一：（1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了； A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③ （2）第____________步开始出错： （3）请直接写出原方程组的解：________________________； 任务二：请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路： ________________． 11．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下： 小吴解法：由，得． 小严解法：由②，得③ 把①代入③，得． (1)上述两位同学的消元过程是否有误，请判断． (2)请选择一种你喜欢的方法，解出方程组． 12．（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【考点题型五】二元一次方程组错解复原问题（） 13．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求，的值； (2)求的值． 【考点题型六】与解二元一次方程组有关的污染/遮挡问题（） 16．（20-21七年级下·浙江·期末）某同学解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这个数， ． 17．（22-23七年级下·北京海淀·期中）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，请你帮他找回▲，这个数▲ ． 【考点题型七】构造二元一次方程组求解（） 18．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 ， ． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 20．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 21．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【考点题型八】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 24．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 25．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【考点题型九】方程组相同的解问题（） 26．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 27．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【考点题型十】二元一次方程组的特殊解法（） 28．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 29．（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【考点题型十二】解三元一次方程（） 30．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1)(2) 31．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【命题预测】 32．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·浙江·期末）已知方程组和方程组有相同的解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 35．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知关于方程组给出下列结论： ①方程组的解也是的解； ②值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若，则． 正确的是（    ） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 38．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）在关于x，y的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（    ） ①当且仅当时，解得x与y相等； ②当时，方程的两根互为相反数； ③x，y满足关系式； ④若，则． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 39．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）若与互为相反数，则 ． 40．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若实数，满足方程组，则 ． 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组的解为 ． 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为 ①m+n＝ ； ②关于x，y的方程组的解为 ． 43．（22-23八年级上·陕西西安·期中）解下列方程组： (1) (2) 44．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 45．（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 46．（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 47．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 48．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值． (1)小北的方法：，整理可得：________； ，整理可得：________，∴． 小仑的方法：：________③；∴ ，得． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解二元一次方程组 （3个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 解二元一次方程组的基本方法 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.整体消元法 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 清单02 解二元一次方程组的步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 清单03 解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 【考点题型一】利用代入消元法解二元一次方程（） 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（　　） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】本题考查代入法解方程组，根据代入法，找到未知数的系数为的方程，将系数为的未知数用另一个未知数进行表示变形，判断即可． 【详解】解：观察可知：方程①中的系数为， 故变形比较简单的是由①得； 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①得， ， 去括号得，． 故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由①得，③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 （2）由①得，③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 【考点题型二】利用加减消元法解二元一次方程（） 4．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，无法消去，不符合题意； B、，无法消去，不符合题意； C、，无法消去，不符合题意； D、，可以消去，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查加减消元法．熟练掌握加减消元法，是解题的关键． 5．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）已知二元一次方程组：①，②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（    ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同（或相反）时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程．针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法． 【详解】解：由题意得，①，③用代入法； ②；④，用加减法， 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用加减法解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握加减法解方程组是解题的关键．根据题意用加减法解方程组即可． 【详解】解： ，得：，解得：； 把，代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【考点题型三】选用合适的方法解二元一次方程（） 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解方程（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据换元法解二元一次方程组； （2）根据去分母，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 则原方程组为： 得③ 得 解得：； 将代入③得，， 解得：， ∴， 解得：， （2）解： 整理得， 即 去括号， 移项， 合并同类项得， 解得： 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程在，熟练掌握解方程（组）的步骤与方法是解题的关键． 8．（21-22七年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ①＋②×2得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）， ①＋②×2得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题的关键． 9．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解 （2）先整理方程将字母系数化为整数，然后根据加减消元法解即可求解． 【详解】（1）解： ，得，， 将代入得，， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解： 由得， ③， 由②得，④， ③+④得， 解得：， 将代入③得， 解得： ∴原方程组的解为：； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【考点题型四】以探究过程的形式考查解二元一次方程（） 10．（22-23八年级上·山西晋中·期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：②×2，得，③     第一步 ____________，得，        第二步 ．                        第三步 将代入②，得．     第四步 所以原方程组的解是      第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了； A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③ （2）第____________步开始出错： （3）请直接写出原方程组的解：________________________； 任务二： 请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：____________________________________． 【答案】任务一：（1）B（2）三（3），任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可） 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可求解． 【详解】解：解方程组： 解：②×2，得，③     第一步 ①−③，得，                 第二步 ．                             第三步 将代入②，得．       第四步 所以原方程组的解是     任务一： （1）以上解题过程中，第二步通过①−③的变形得到了； 故答案为：①−③． （2）第三步开始出错，应为； 故答案为：二． （3）原方程组的解是 故答案为：． 任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可） 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 11．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下： 小吴解法：由，得． 小严解法：由②，得③ 把①代入③，得． (1)上述两位同学的消元过程是否有误，请判断． (2)请选择一种你喜欢的方法，解出方程组． 【答案】(1)小吴有错误，小严正确 (2) 【分析】（1）小吴解法中，x的系数的符号错误； （2）利用加减消元法或用小严的解法解答，即可． 【详解】（1）解：小吴有错误，小严正确． （2）解：方法一：由，得， 解得， 把代入①，得：， 解得：． 所以原方程组的解是． 方法二： 由②，得 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 12．（22-23七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】(1)等式性质2，等式性质1 (2)不正确，第②步错误，见解析 【分析】（1）根据等式性质即可得出答案； （2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可． 【详解】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2； ，得，该步骤利用的是等式性质1； 故答案为：等式性质2；等式性质1； （2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 【考点题型五】二元一次方程组错解复原问题（） 13．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可． 【详解】解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，， ∴把，代入②式，得， 解得：； 把，代入①式，得， 解得：； 故选：D． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）甲，乙两名同学解方程组．甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的错解复原问题： （1）根据题意可得甲求出的方程组的解满足方程②，乙求出的方程组的解满足方程①，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲求出的方程组的解满足方程②， 同理乙求出的方程组的解满足方程①， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ． 【考点题型六】与解二元一次方程组有关的污染/遮挡问题（） 16．（20-21七年级下·浙江·期末）某同学解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这个数， ． 【答案】-1 【分析】两个数●和★分别用a、b表示，把代入即可得到一个关于a、b的式子，即可求解． 【详解】解：两个数●和★分别用a、b表示． 根据题意得：， 两式相加得：2=3+a， 解得：a=-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题考查了方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 17．（22-23七年级下·北京海淀·期中）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，请你帮他找回▲，这个数▲ ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值． 【详解】解：把代入得，解得， ∴▲为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 【考点题型七】构造二元一次方程组求解（） 18．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意可得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得 故答案为：， 【点睛】此题考查了非负数的性质，以及二元一次方程组的求解，解题的关键是列出二元一次方程组，正确求解． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 20．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 /0.5 0 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可． 【详解】单项式和是同类项， 可列方程组 解得即m的值为，n的值为0． 故答案为：，0． 21．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 【考点题型八】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得：． 故选：A． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 24．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）由无论实数取何值，方程总有一个固定的解，可得含的项的系数为，可得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组， ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解： 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ∴方程的解与无关， ∴， 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 【考点题型九】方程组相同的解问题（） 26．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组： （1）将不含参数的两个方程组成新的方程组，进行求解即可； （2）把两个含参数的方程组成新的方程组，将（1）中的解代入，解关于参数的方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组的解也与方程组和有相同的解， 解，得：， ∴程组和的解为：； （2）联立，把代入，得： ，解得：． 27．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先求出方程组的解，再把代入得出，求出、的值，最后把、的值代入(     即可得解． 【详解】解：关于，的方程组和有相同解， 解方程组解得：， 把代入得：， 解得：， ． 【考点题型十】二元一次方程组的特殊解法（） 28．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 29．（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 【考点题型十二】解三元一次方程（） 30．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1)(2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 31．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【命题预测】 32．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据二元一次方程组得解法得到，又，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用及整体思想是解题的关键． 【详解】解： 得：， 又∵， ∴，解得：， 故选：． 33．（23-24七年级下·浙江·期末）已知方程组和方程组有相同的解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意组成新的方程组，即可求出x、y的值，然后代入方程中即可求出m的值．本题考查了二元一次方程的解及解二元一次方程组，理解题意，正确计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 把代入方程中，得， 故选：C． 34．（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 35．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是找到两个方程组解之间的关系，先将所求方程组变形后仿照原方程组解得规律得出，求解即可． 【详解】整理，得， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得， 故选：D． 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解题的关键．根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 37．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知关于方程组给出下列结论： ①方程组的解也是的解； ②值不可能是互为相反数； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若，则． 正确的是（    ） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握其解法是本题的关键． 将方程组中两个方程相加，得，即可判断①；求出原方程组的解，当时，求的值即可判断②；计算的值，即可判断③；将原方程组的解代入求出的值即可判断④． 【详解】解：①将方程组中两个方程相加，得， ∴方程组的解也是的解．故①正确； ②解方程组，得， 当，的值互为相反数时，， 即， 解得 ∴当时，，的值互为相反数．故②不正确； ③原方程组的解为 ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，都为．故③正确； ④若，则， 解得．故④正确； 综上，①③④正确． 故选：C 38．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）在关于x，y的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（    ） ①当且仅当时，解得x与y相等； ②当时，方程的两根互为相反数； ③x，y满足关系式； ④若，则． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，幂的运算．熟练掌握二元一次方程组解法，二元一次方程组解的定义，同底数幂相乘的法则，是解决问题的关键． 先求得原方程组的解为，①把代入，求得x，y的值即可判断；②把代入，求得x，y的值即可判断；③在原方程组中，消去a，得到x，y的关系式，即可判断；④把底数统一化成3，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a值，即可判断． 【详解】∵， 由①得：③， 把③代入②中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当时，，， ∴，即x与y相等， ∴①正确； ②当时，，， ∴方程的两根互为相反数， ∴②正确； ③在原方程组中，得：， ∴③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴④错误． 综上所述，①②③都正确． 故选：B． 39．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】根据相反数的性质以及绝对值的非负性列出关于和的二元一次方程组，求出和值，即可求出的值． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 解得， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，相反数的性质以及绝对值的非负性，解二元一次方程组，掌握互为相反数的两个数的和为0，绝对值的非负性是解题的关键． 40．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若实数，满足方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，代数式求值．熟练掌握加减消元法解方程组，代数式求值是解题的关键． 加减消元法解方程组，可得，，，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的方程组的解为 ，则关于x，y方程组的解为 ． 【答案】 【分析】把和看成一个整体，根据题意得到：关于x，y方程组中，进而即可求出关于x，y方程组的解． 本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为 ， ∴关于x，y方程组中， ∴关于x，y方程组的解为：， 故答案为：． 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为 ①m+n＝ ； ②关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 ； 【分析】①根据方程组的解，转化为关于m，n的方程组，求解即可； ②根据方程组解的意义，解答即可． 本题考查了方程组的解，解方程组，方程组变形求解，熟练掌握方程组解的意义是解题的关键． 【详解】解：①：将代入原方程， 得：， 得：， ∴； 得：， ②：根据题意，得， 根据方程组的解为， ∴ 解得， 故答案为：；． 43．（22-23八年级上·陕西西安·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将式子变形成整式方程，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 令得：，解得：， 将代入②可得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 将方程组变形得：， 令得：， 解得：， 将代入④可得：， ∴方程组的解为：． 44．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 45．（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)等式的性质1， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）根据等式的性质和整体代入法解答即可； （2）选择利用整体代入法求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：圆圆：由②，得③(依据：等式的性质1)； 芳芳：把①代入②，得； 故答案为：等式的性质1；； （2） 把①代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为 46．（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，； （2）解：把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 47．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 48．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值． (1)小北的方法：，整理可得：________； ，整理可得：________，∴． 小仑的方法：：________③；∴ ，得． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；；； (2)3 (3)320元 【分析】（1）根据题意进行运算求解即可； （2）运用等式的性质进行运算，使得三个未知数的系数相同即可； （3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】（1）得：， 得：， ∴得：； 得：， 得：， ∴得：； 得：， 得：； 故答案为：；；； ； （2）， 得：， ∴ ； （3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本， 由题意得： ， 得：， ∴， ∴． 答：需要320元． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$