专题06 二元一次方程组与实际应用（考点清单，1考点15题型+命题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题06 二元一次方程组与实际应用 （1个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【考点题型一】根据实际问题列二元一次方程组（） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校有空地60平方米，计划将其中的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x平方米，葡萄园的面积为y平方米，下列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．根据“菜园和葡萄园的面积为60平方米的，葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米”列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醉、行酒各得几何？”设醇酒为x斗，行酒为y斗，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组． 【详解】解：依题意得：． 故选：A 3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 由白沙枇杷价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，可得；买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元，可得，进而可得二元一次方程组． 【详解】解：设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤， 依题意得，， 故选：A． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题，一只公鸡值钱，一只母鸡值钱，只小鸡值钱．现花钱买了只鸡，若母鸡有只，设公鸡有只，小鸡有只，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．由“一只公鸡值钱，一只母鸡值钱，只小鸡值钱．现花钱买了只鸡”，列出等量关系即可求解． 【详解】解：设公鸡有只，小鸡有只， 根据题意可得：， 故选：C． 【考点题型二】根据几何图形列二元一次方程组（） 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为 cm． 【答案】10 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得：， 解得：， ∴每个小长方形的长为10cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型三】二元一次方程组的应用—方案问题（） 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．         素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：9，3；2，6；任务二：240张；任务三：需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成张学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背张和坐垫张； 方法三：裁切靠背张和坐垫张； 故答案为：，；，；                任务二： （张），， 该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅； 任务三： 设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张， 根据题意得： 解得：               （张）， 需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，解决问题： 因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为，宽为的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒． 素材 彩纸的裁剪方案： 方案                方案 方案                方案 素材 个竖式无盖纸盒所需彩纸 个横式无盖纸盒所需彩纸 问题解决 问题 现有彩纸张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是　　　，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程． 问题 若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共个，选用素材中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？ 【答案】问题：一共可以做成只竖式无盖纸盒；问题：至少需要张彩纸． 【分析】问题：根据题意可得，应选择的两种裁剪方案是和，设方案需张彩纸，则方案需张彩纸，列出方程，求解即可； 问题：根据题意进行讨论即可； 本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程组解题的关键． 【详解】问题：根据题意可得，应选择的两种裁剪方案是和， 设方案需张彩纸，则方案需张彩纸， ，解得：， 则， 答：一共可以做成只竖式无盖纸盒； 问题：设竖式无盖纸盒有个，则横式无盖纸盒有个， 则：有个，有个，有（个）， 和组合：则有张，有张， ∵可以裁剪个，即个， ∴，解得：， 共需要张彩纸； 和组合：则有张，有（张）， ∵可以裁剪个，即个， ∴，解得：， 一共需要张彩纸； 和组合：不符合题意； 和组合：则有张，有（张）， ∵可以裁剪个，可以裁剪个， ∴，解得：， 则共需要张彩纸； 和组合：则有张，有张， 同上可得：，解得：（舍去）， 和组合：则有张，有张， 同上可得：，解得：（舍去）， 综上可知：至少需要张彩纸． 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用万元购进这两款跑步机共20台． (1)该商店购进A款和B款跑步机各多少台？ (2)若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？ 【答案】(1)该商店购进款跑步机12台，则购进款跑步机8台； (2)打折前款跑步机售出7台，款跑步机售出5台． 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据该商店用万元购进这两款跑步机共20台，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的二元一次方程，再根据所设未知数均为整数，即可求得打折前售出，两款跑步机各多少台． 【详解】（1）解：设该商店购进款跑步机台，则购进款跑步机台， 由题意可得：， 解得， ， 答：该商店购进款跑步机12台，则购进款跑步机8台； （2）解：打折前款跑步机售出台，款跑步机售出台， 由题意可得：， 化简，得：， 、均为正整数， 解得，， 答：打折前款跑步机售出7台，款跑步机售出5台． 【考点题型四】二元一次方程组的应用—行程问题（） 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【答案】(1)a的值为，b的值为120 (2)①；②两车相遇时，离A地千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； （2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离． 【详解】（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为，b的值为120； （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时， 乙一小时行驶的路程为：千米， ∴相遇时甲还没行驶到60千米处， ∴相遇时甲行驶的时间为：小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米， 答：两车相遇时，离A地千米． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 13．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可； （2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解． 【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得： 2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7）， ∴0.5（x-y）=5， ∴x-y=10， ∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟； （2）由（1）及题意得： ，解得 ∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键． 【考点题型五】二元一次方程组的应用—工程问题（） 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． (2)方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n， 依题意得：， 解得：， ∴甲组单独完成装修所需时间为（天）， 乙组单独完成装修所需时间为（天）． 施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）； 施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（元）． ∵， ∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___； 则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程； (3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？ 【答案】(1)①；②  甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； (2)见解析 (3)甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米 【分析】（1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组； ②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）①         故答案为：；             ② 表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）选择① 解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则 解得                  经检验，符合题意 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 解：设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天． 则                            解得                   经检验，符合题意 甲整治的河道长度：米 ；乙整治的河道长度：米 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． （3）解：设甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意得出， 解得：， ∴甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 16．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【答案】(1)①表示工程队的工作时间；②表示工程队工作时间；③表示工程队的工作量；④表示工程队的工作量． (2)；． (3) 【分析】（1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，掌握二元一次方程组与实际问题是解题的关键． 【考点题型六】二元一次方程组的应用—数字问题（） 17．（21-22七年级下·浙江丽水·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有、的代数式表示） (2)根据题意，列出二元一次方程组为__________． (3)求原来的两位数． 【答案】(1)10x+y，10y+x (2) (3)35 【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字； （2）根据题意的等量关系即可得出方程组； （3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x； 故答案为： 10x+y，10y+x； （2）由题意可列出二元一次方程组为： ． 故答案为： （3）由（2）可得： 整理为： 解得： 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字． 18．（21-22八年级上·广东深圳·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 【答案】这个两位数为36 【分析】设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，然后根据题意可直接列方程组进行求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，由题意得： ， 解得：， ∴这个两位数为36． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键． 19．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【答案】（1）13；（2）315或324；（3） 【分析】（1）根据F（n）的定义求解． （2）设n的十位数字为a，个位数字为b，表示出新三位数，根据新旧三位数的和得到方程，结合a的范围求出n值即可； （3）由s=100x+43，t=150+y结合F（s）+F（t）=20，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，将其代入k的定义式，求出最小值即可． 【详解】解：（1）对调256的任意两个数位上的数字后得到的三个相异数是：652，265，526， 这三个相异数的和为1443． ∵1443÷111=13， ∴F（n）=13． 故答案为：13． （2）若F（n）=9，则三个新三位数的和为999， ∵300＜n＜330， ∴n百位数字为3，十位数字小于3， 设n的十位数字为a，个位数字为b， 则n=300+10a+b， ∴新三位数为：300+10b+a，100b+10a+3，100a+30+b， ∴300+10b+a+100b+10a+3+100a+30+b=999， ∴a+b=6， ∵十位数字0＜a＜3， ∴a=1，b=5或a=2，b=4， ∴n=315或324． 故答案为：315或324． （3）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+43，t=150+y， ∴F（s）=（403+10x+340+x+100x+34）÷111=x+7， F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6， ∵F（s）+F（t）=20， ∴x+7+y+6=20，得 x+y=7， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数， 又∵“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5， ∴或， ∴或， ∴或， ∴k的最小值是． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，新定义的阅读理解能力，解题的关键是理解相异数的定义． 【考点题型七】二元一次方程组的应用—年龄问题（） 20．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 21．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 22．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【考点题型八】二元一次方程组的应用—分配问题（） 23．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌， 由题意得， 解得， ． 答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 25．（2023七年级下·浙江·专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米． (1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？ (2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？ (3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米； (2)25个 (3)3种，建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱 【分析】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米，根据“1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位，根据建造乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）根据建造甲、乙两类摊位所占面积不超过454平方米，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合（2）的结论及m为正整数，可得出共有3个建造方案，再求出各方案所需建造费用，比较后可得出结论． 【详解】（1）设每个甲类摊位占地x平方米，每个乙类摊位占地y平方米， 根据题意得：， 解得：． 答：每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米． （2）设建造m个甲类摊位，则建造个乙类摊位， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为25． 答：甲类摊位至少建25个． （3）根据题意得：， 解得：， ∴． 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26，27， ∴共有3种建造方案， 方案1：建造25个甲类摊位，75个乙类摊位，所需建造费用为（元）； 方案2：建造26个甲类摊位，74个乙类摊位，所需建造费用为（元）； 方案3：建造27个甲类摊位，73个乙类摊位，所需建造费用为（万元）． ∵． ∴建造25个甲类摊位，75个乙类摊位最省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【考点题型九】二元一次方程组的应用—销售、利润问题（） 26．（24-25七年级上·浙江台州·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 【答案】(1)可兑换36支水笔芯 (2)①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个；②方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒；方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒；方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 【分析】本题结合学生实际考查了二元一次方程组和分类讨论思想，在第（2）问的②中，三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，根据班级人数求出三周共兑换的水笔芯数是易错点． （1）由6个矿泉水瓶换1支水笔芯，5个牛奶盒换1支水笔芯以及矿泉水瓶喝牛奶盒的数量直接求水笔芯的数量； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个，根据总数190，以及水笔芯34支两个等量关系列二元一次方程组即可； ②根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得（支， 答：可兑换36支水笔芯； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个， 根据题意得：， 解得：， 第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个； ②班级42名同学，故水笔芯共（支， 第一二周共兑换了70支水笔芯，故第三周用矿泉水瓶兑换了14支水笔芯， 所用矿泉水瓶为（个， 用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋可根据矿泉水瓶（或牛奶盒）兑换垃圾袋的数量进行分类： 矿泉水瓶兑换1个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量30个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换2个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量60个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换3个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量90个，牛奶盒25个， 所以可得方案： 方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒， 方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒， 方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 27．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 28．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）某商店购进A，B两种商品，购进一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购进的B商品的数量相等． (1)求购买一个A商品和B商品各需要多少元： (2)商店准备购进A，B两种商品共80件，共花费700元．求购买A商品和B商品的数量． (3)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若一个星期该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这星期售出A，B两种商品的总数量． 【答案】(1)购买一个A商品需要5元，购买一个B商品需要15元， (2)购买A商品50个，B商品30个 (3)总数量为8个或10个或12个 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． (1)设购买一个A商品需要x元，由花费100元购买的A商品和花费300元购进的B商品的数量相等列出方程求解； (2)设购买A商品m件，B商品n件，由购进A，B两种商品共80件，共花费700元，列出方程组求解； (3)设这星期售出A商品a个，这星期售出B商品b个，由一个星期该商店两种商品的总利润恰好为36元，列出方程求解． 【详解】（1）解：设购买一个A商品需要x元，则B商品需要元 则 两边同乘以得∶ ， 解得：， 经检验∶ 是原分式方程的解 ∴， 答∶购买一个A商品需要5元，购买一个B商品需要15元． （2）设购买A商品m件，B商品n件， 根据题意得∶， 解得∶ 答∶ 购买A商品50个，B商品30个． （3）设这星期售出A商品a个，这星期售出B商品b个， 由题意可得∶， ∴， ∵a，b为正整数， ∴，或，或，， ∴或10或12， 答∶这星期售出A，B两种商品的总数量为8或10或12． 29．（23-24七年级下·浙江·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【答案】(1)文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本 (2)此次书店的总利润为480元 (3)此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用； （1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可； （2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案． 【详解】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本， 由题意得：， 解得：， 答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本； （2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为， （元）， 答：此次书店的总利润为480元； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒， 由题意得：， 解得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本． 【考点题型十】二元一次方程组的应用—和差倍分问题（） 30．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有38本书，乙原来有18本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有38本书，乙原来有18本书． 31．（2023·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②106元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，． ∴型鞋的单价可能为元． 32．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 【考点题型十一】二元一次方程组的应用—几何问题（） 33．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 34．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b． ①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系． 【答案】(1) (2)①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；② 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，整式的乘法运算，利用完全平方公式分解因式，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由长方形的性质建立方程组，再解方程组即可； （2）①先建立方程组可得，再结合长方形的周长可得答案，②由，可得，整理得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得 ； （2）① ①+②，得 ， ∴ ∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是 即1个小长方形周长与大长方形周长之比是； ②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ∴， ∴， ∴， 化简，得， ∴， ∴． 35．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9；15 (2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）． 故答案为：9；15． （2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：（个） 答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 【考点题型十二】二元一次方程组的应用—图表信息题（） 36．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 37．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 38．（20-21七年级下·浙江·期末）为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： 价格（万元/台） 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台型车比购买一台型车多20万元，购买2台型车比购买3台型车少60万元． （1）请求出和； （2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 【答案】（1）a=120，b=100；（2）1120万元 【分析】（1）根据“购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．”即可列出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台，根据总节油量=2.4×A型车购买的数量+2×B型车购买的数量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x值，再根据总费用=120×A型车购买的数量+100×B型车购买的数量即可算出购买这批混合动力公交车的总费用． 【详解】解：（1）根据题意得： 解得： （2）设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台 根据题意得：2.4x+2（10-x）=22.4 解得：x=6 ∴10-x=4 ∴120×6+100×4=1120（万元） 答：购买这批混合动力公交车需要1120万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据A、B型车价格间的关系列出关于a、b的二元一次方程组；（2）根据总节油量=2.4×A型车购买的数量+2×B型车购买的数量列出关于x的一元一次方程． 【考点题型十三】二元一次方程组的应用—古代问题（） 39．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 【答案】两位同学所列的方程组都是错误的，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，列出方程组求解即可．设合伙人为人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”列出方程组，即可判断两位同学所列的方程组都是错误的，再解方程组即可解题． 【详解】解：两位同学所列的方程组都是错误的， 设合伙人为人，羊价为钱， 根据题意可得：， 解得：． 答：合伙人为21人，羊价为150钱． 40．（2019·安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 41．（22-23八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，结合题目所给的运算法则即可列出方程组； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故答案为：． （2）解： 将可得：， 将可得：， 将代入①中可得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及解方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 【考点题型十四】二元一次方程组的应用—其它问题（） 42．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为， 由题意得，， 解得， ∴蜡烛的长度， 答：蜡烛在未点燃前的长度为厘米． 43．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 44．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 【答案】任务1：；任务2：这个矿泉水瓶的质量是10克；任务3：支撑点向左平移 【分析】二元一次方程组的应用； 任务1：依据题意，由左盘砝码质量右盘物体质量，进而列式计算可以得解； 任务2：依据题意，设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2可列方程组，计算即可得解； 任务3：依据题意，由左盘量码质量右盘物体质量，矿泉水瓶水的质量，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1： 左盘砝码质量右盘物体质量， 解得． 所以的长为． 任务2： 设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组： ， 解得． 答：这个矿泉水瓶的质量是10克． 任务3： 左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量， ． 解得：． ，所以支撑点向左平移． 45．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【考点题型十五】三元一次方程组的应用（） 46．（22-23七年级下·福建泉州·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． (1)求产品和产品的单价； (2)若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ (3)为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1．5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 【答案】(1)产品和产品的单价分别为500元，200元 (2)产品和产品的件数分别为2件，7件或4件，2件 (3)客户支付的总金额为8500元 【分析】（1）设产品和产品的单价分别为，元，根据出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元，列出方程组进行求解即可； （2）设售出产品和产品的件数分别为件，件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可； （3）设售出，，产品的件数分别为件，件，件，根据题意，列出方程组，得到，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，进而得解． 【详解】（1）设产品和产品的单价分别为，元， 依题意得：，解得：， 答：产品和产品的单价分别为500元，200元． （2）设售出产品和产品的件数分别为件，件， 依题意得：，化简得，． 依题意，得，均为正整数， 所以或 答：产品和产品的件数分别为2件，7件或4件，2件． （3）设售出，，产品的件数分别为件，件，件， 由题意得，，解得：． 依题意，可知，即， 解得：，所以， 又因为为整数，所以或11（不符合题意，舍去）． 所以，，， 客户支付的总金额为（元）． 答：客户支付的总金额为8500元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键． 47．（21-22八年级上·广东深圳·期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米 【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解． 【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得： ， 解得． 答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变． 48．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 【命题预测】 1．（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）图1一个玻璃密封容器，底部是圆柱体，上面是长方体，内装的液体．当容器正放时，容器内液面的高度为（如图）；倒放时，容器内液面的高度为，（如图）．则该玻璃密封容器底面的半径为（    ）cm．（取）    A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、圆柱体的体积、长方体的体积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．设该玻璃密封容器底面的半径为，长方体的底面积为，根据内装的液体可得二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解∶设该玻璃密封容器底面的半径，长方体的底面积为，根据题意得， 得， 解得负值不合题意，舍去， 该玻璃密封容器底面的半径为， 故选∶． 2．（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理清题意正确列出方程是解题的关键．设公鸡只，母鸡只，则小鸡只，由题意可得，整理后求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只 由题意得， 即 由于，，均为正整数 所以方程的正整数解只有或或 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ， 根据题意得 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）《九章算术》记载了这样一个问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？意思是：当下良田亩，价值钱；薄田亩，价值钱．现在共买亩，价值钱．根据条件，设良田买了亩，薄田买了亩，可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设良田买了亩，薄田买了亩，由“当下良田亩，价值钱；薄田亩，价值钱．现在共买亩，价值钱”，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设良田买了亩，薄田买了亩， 根据题意可得：， 故选：D． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①、图②．图①中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似的，若图②所示算筹图列出的方程组解得．则图②中的“？”所表示的算筹为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设“？”所表示的算筹为m 根据题意得， 解得 ∴图②中的“？”所表示的算筹为． 故选：B． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程 站与站的距离千米，列车小时行驶的路程 站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得 ， 解得：， （小时）， 故答案：B． 7．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克，根据题意列二元一次方程组并求解；设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，根据记录三得到一个等式，将用表示出来，根据和均为正整数求出的最大值即可． 【详解】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克． 根据题意，得， 解得， ∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克． 设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚， 则， 解得， ∵和均为正整数， ∴当时，值最大，此时． 故选：B． 8．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 9．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得：，解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则，解得：， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，根据增加或减少人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出，再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数． 两式相减，得， 即． ∵， 和同奇或同偶， ∴或， 解得或 当时，，， 当时，，，不合题意，舍去； 故原长方形队阵中有同学人． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表． （1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元； （2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯． 【答案】 54 5 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．根据“2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，利用总价单价数量列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元． 由题意，得， ，得． 故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元． 故答案为：54； （2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯， 由题意，得， 化简，得， 又、、均为正整数， ，． 故答案为：5． 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)小王家这个月用水39吨 (3)小王家11月份用水11吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得(舍去) ． 答：小王家11月份用水11吨． 15．（21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）请同学们根据以下素材，完成任务． 设计粽子采购方案 “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本． 素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元． 素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元． 素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽． 任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？ 任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？ 任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______． 【答案】任务一：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元；任务二：600元；任务三：640 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2设分别购买A，B型礼盒套装a，b箱，根据“支出9000元购买礼盒套装”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，根据“每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元”，再用a，b表示出回收费用，整体代入即可求出． 任务3，设分别采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱，根据题意列出三元一次方程，并求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元． 则由题意可得， 解得． 答：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元． （2）设采购A型套装a箱，B型套装b箱． 则由题意可得：， 化简得， 则回收成本为（元）， 答：超市回收所有礼品盒所需成本为600元． （3）设采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱． 则由题意可得： ①②得：④， 得：⑤， ∴，， 由题意，，得，解得， 又∵p，q，z都是正整数，且m是偶数， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二元一次方程组与实际应用 （1个考点梳理+15种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【考点题型一】根据实际问题列二元一次方程组（） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校有空地60平方米，计划将其中的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x平方米，葡萄园的面积为y平方米，下列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醉、行酒各得几何？”设醇酒为x斗，行酒为y斗，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题，一只公鸡值钱，一只母鸡值钱，只小鸡值钱．现花钱买了只鸡，若母鸡有只，设公鸡有只，小鸡有只，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据几何图形列二元一次方程组（） 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    7．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为 cm． 【考点题型三】二元一次方程组的应用—方案问题（） 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．         素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，解决问题： 因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为，宽为的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒． 素材 彩纸的裁剪方案： 方案                方案 方案                方案 素材 个竖式无盖纸盒所需彩纸 个横式无盖纸盒所需彩纸 问题解决 问题 现有彩纸张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是　　　，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程． 问题 若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共个，选用素材中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？ 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用万元购进这两款跑步机共20台． (1)该商店购进A款和B款跑步机各多少台？ (2)若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？ 【考点题型四】二元一次方程组的应用—行程问题（） 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 13．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【考点题型五】二元一次方程组的应用—工程问题（） 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 15．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___； 则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程； (3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？ 16．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【考点题型六】二元一次方程组的应用—数字问题（） 17．（21-22七年级下·浙江丽水·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有、的代数式表示） (2)根据题意，列出二元一次方程组为__________． (3)求原来的两位数． 18．（21-22八年级上·广东深圳·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数． 19．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【考点题型七】二元一次方程组的应用—年龄问题（） 20．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 21．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 22．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【考点题型八】二元一次方程组的应用—分配问题（） 23．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 25．（2023七年级下·浙江·专题练习）某社区拟建甲、乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地24平方米． (1)求每个甲、乙类摊位占地各为多少平方米？ (2)该社区拟建甲、乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？ (3)在（2）的条件下，某社区最多用454平方米拟建甲、乙两类摊位，若建甲类摊位每个需要3000元，乙类摊位每个需要2200元，共有几种建造方案？哪种方案最省钱？ 【考点题型九】二元一次方程组的应用—销售、利润问题（） 26．（24-25七年级上·浙江台州·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 27．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 28．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）某商店购进A，B两种商品，购进一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购进的B商品的数量相等． (1)求购买一个A商品和B商品各需要多少元： (2)商店准备购进A，B两种商品共80件，共花费700元．求购买A商品和B商品的数量． (3)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若一个星期该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这星期售出A，B两种商品的总数量． 29．（23-24七年级下·浙江·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【考点题型十】二元一次方程组的应用—和差倍分问题（） 30．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 31．（2023·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 32．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【考点题型十一】二元一次方程组的应用—几何问题（） 33．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 34．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b． ①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系． 35．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【考点题型十二】二元一次方程组的应用—图表信息题（） 36．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 37．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 38．（20-21七年级下·浙江·期末）为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： 价格（万元/台） 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台型车比购买一台型车多20万元，购买2台型车比购买3台型车少60万元． （1）请求出和； （2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 【考点题型十三】二元一次方程组的应用—古代问题（） 39．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 40．（2019·安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 41．（22-23八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【考点题型十四】二元一次方程组的应用—其它问题（） 42．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 43．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 44．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 45．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【考点题型十五】三元一次方程组的应用（） 46．（22-23七年级下·福建泉州·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． (1)求产品和产品的单价； (2)若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ (3)为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1．5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 47．（21-22八年级上·广东深圳·期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 48．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【命题预测】 1．（23-24七年级下·浙江温州·开学考试）图1一个玻璃密封容器，底部是圆柱体，上面是长方体，内装的液体．当容器正放时，容器内液面的高度为（如图）；倒放时，容器内液面的高度为，（如图）．则该玻璃密封容器底面的半径为（    ）cm．（取）    A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）《九章算术》记载了这样一个问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？意思是：当下良田亩，价值钱；薄田亩，价值钱．现在共买亩，价值钱．根据条件，设良田买了亩，薄田买了亩，可得方程组（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①、图②．图①中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似的，若图②所示算筹图列出的方程组解得．则图②中的“？”所表示的算筹为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 7．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 8．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人． 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表． （1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元； （2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯． 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 15．（21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）请同学们根据以下素材，完成任务． 设计粽子采购方案 “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本． 素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元． 素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元． 素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽． 任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？ 任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？ 任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$