山东省临沂一中北校强基部2025-2026学年高二4月月考数学试题

2024级强基部高二下数学第一次月考试卷 一、单选题 1．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（  ） A． B． C． D． 3．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 4．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 5．已知函数在处取得极大值，则（ ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件 C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．已知随机变量，若，，则 B．的展开式中，的系数为20 C．已知，则 D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为 10．若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 11．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 13．已知对于，都有，则的最大值为___________． 14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题 15．如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图. (1)根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）； (2)是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由. （参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：） 16．已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 17．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，求的展开式中系数最大的项； (3)若，且，求被5除的余数. 18．近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； (2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 19．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. (1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024级强基部高二下数学第一次月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D A B D C C CD BC ACD 11．ACD【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得，令，则， 所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当且，此时与题意不符合；当且时，，故．令，则，当时，，在上单调递减，又，所以，所以，所以，故A正确；令，则， 所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为，所以当时，， 即，即，故B错误；令，则，记，则， 所以，则，所以在上单调递增，所以，即，即，所以，即，故C正确； 令，，则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增，所以，即，故D正确．故选：ACD． 12． 13． 14．/ 15．(1)，与的线性相关程度较高(2)可以用线性回归模型拟合与的关系，，到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元 （1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得， ，，所以. 因为近似为0.96，所以与的线性相关程度较高. （2）由（1）知，与的相关系数近似为0.96，说明与的线性相关程度较高， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系.由及（1）得，，所以关于的回归方程为.因为，所以所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元 16．(1) (2) 【详解】（1）解：因为在处取得极值，所以，解得检验：将代回得， 令得或，所以，在和单调递增，在区间单调递减所以在处取得极小值，满足题意.所以 （2）解：在区间上单调递减，故在上恒成立 即在上恒成立，令 故，解得所以a的取值范围为. 17．(1), 或 .(2),.(3)1 【详解】（1）由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 .代入 ,,, 整理得 ,解得 或 . 故 , 或 ； （2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 .展开式通项为,系数为 ,.设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 .由组合数计算公式得 .,故 ,解得.由 得 ,即 .故 ,解得.综上 ,即 或 .故系数最大的项为第3项和第4项:,； （3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 .又 ,则   故 被5除余数为 . 18．(1)认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联(2)① ；②答案见解析 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联． 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联． （2）（1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为， 设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”，需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，则． 即恰好第4次抽取后停止的概率为． （2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为． 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2，则 0 1 2 P ， ． 所以随机变量的分布列为： 19．(1)(2)，；(3)，. 【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时，即，即，所以 是以为公比，为首项的等比数列；所以，于是，； （3）依题意： ， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $