精品解析：河北唐山市路南区唐山交大实验学校2025-2026学年第一学期九年级第二次学业水平抽样评估数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级第二次学业水平抽样评估 数学试卷 一、选择题（大题共12个小题：每小题2分，共24分） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 3. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为( ) A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 6. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 10. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为（　　） A. B. C. D. 二填空题（本大题共4个小题，共12分） 13. 如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m． 14. 已知：如图，在中，，，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 16. 如图，中，，，cm，为的中点，若动点以1 cm/s的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____________． 三、解答题（本大题共8道题，共64分） 17. 计算： （1） （2） 18. 现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． （1）求的值； （2）若，求的值（结果用科学记数法表示）． 19. 如图，在中，，，．求的长． 20. 如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆垂直于地面，通过调节点的高度控制遮阳伞的开合，已知于点．（参考数据：） （1）若，求遮阳宽度； （2）若将由减到，求点下降的高度． 21. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和a，b的值； （2）请直接写出使得的x的取值范围； （3）若的面积为12，求此时C点的坐标． （4）若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 22. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，时，求的值． 23. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级第二次学业水平抽样评估 数学试卷 一、选择题（大题共12个小题：每小题2分，共24分） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，零次幂，乘方，绝对值．分别计算各选项的结果，判断是否为负数即可解答． 【详解】解：A． ，计算结果不是正数也不是负数． B． ，计算结果为正数． C． ，计算结果为正数． D． ，计算结果为负数． 故选：D 2. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 3. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标确定位似比，再运用位似比计算坐标． 【详解】解：∵与关于成位似图形，且的对应点的坐标为， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标系中位似计算，熟练掌握位似计算的基本要领是解题的关键． 5. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为( ) A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=，得到k=10，于是得到结论． 【详解】∵四边形AOEB是矩形，∴BE=OA=5，AB=2，∴B（2，5）， 设双曲线BC的解析式为y=，∴k=10，∴y=， ∵CD为1，∴当y=1时，x=10，∴DE的长=10–2=8（米）， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=. 6. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 7. 如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断.. 【详解】ax-2a=-， 则x-2=-， 整理得，x2-2x+1=0， △=0， ∴一次函数y=ax-2a与反比例函数y=-只有一个公共点， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的图象和性质，函数图象的交点的求法是解题的关键． 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点B作于点F，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴cm，即杯中水的最大深度为cm； 故选：D. 【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键. 10. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 11. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数确定，根据旋转得到，令，消去m解答即可． 本题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故， ∵点A绕点M顺时针旋转得到点B， ∴， ∴令， ∴， 故选：C． 二填空题（本大题共4个小题，共12分） 13. 如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值． 【详解】解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为12， ∴小球飞行的最大高度是． 故答案为：12． 14. 已知：如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，正弦，正切，构造辅助线是解题的关键．过点作于点，根据正弦，正切的定义及勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ，即， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：22． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，求出，根据图象的分布确定k值即可； 【详解】解：过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16. 如图，中，，，cm，为的中点，若动点以1 cm/s的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____________． 【答案】2或3.5或4.5或6 【解析】 【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE＝90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm, ∴，AB＝2BC＝4（cm）， ①∠BDE＝90°时， ∵， ∴， ∴ ∴AE＝（cm）， 点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4×2−2＝6（cm）， ∴t＝6÷1＝6（秒）； ②∠BED＝90°时，BE＝＝0.5（cm）， 点E在AB上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4＋0.5＝4.5（cm）， t＝4.5÷1＝4.5（秒）， ∵ 综上所述，t的值为2或3.5或4.5或6， 故答案为：2或3.5或4.5或6． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 三、解答题（本大题共8道题，共64分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． （1）求的值； （2）若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在中，，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，根据以及已知条件求得的长，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：在中，， ， ． 20. 如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆垂直于地面，通过调节点的高度控制遮阳伞的开合，已知于点．（参考数据：） （1）若，求遮阳宽度； （2）若将由减到，求点下降的高度． 【答案】（1）遮阳宽度为 （2）点下降的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记三角函数的定义是解本题的关键； （1）利用可得答案； （2）利用求解两种情况下的即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， 因为 ， 遮阳宽度为． 【小问2详解】 解：在Rt中，， 当时，， 当时，， 点下降的高度为． 21. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和a，b的值； （2）请直接写出使得的x的取值范围； （3）若的面积为12，求此时C点的坐标． （4）若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可； （2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可； （3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可． （4）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，， 解得， 故点，点， 故， 解得， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，的交点为点，点， ， 故x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：根据函数的交点分别为点，点，设点， 根据题意，得， 由的面积为12， ， 解得， 故点． 【小问4详解】 解：点也在反比例函数的图像上， 当时，； 当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小， 故函数值y的取值范围为或． 22. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，时，求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）8.1 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）证明，根据相似三角形的性质列式，代入值计算即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 23. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； 【小问2详解】 ∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 24. 水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【答案】（1），． （2）该运动员能成功压住水花． 理由：由（1）可知，当时， 所以该运动员离水面的距离为，故该运动员能成功压住水花． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的表达式为，把和代入，进行解方程，即可作答． （2）把代入，解出，结合距离为，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题得对称轴为直线，设抛物线的表达式为， 当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的距离为，所以抛物线经过点， 把和代入， 得解得 抛物线的表达式为． 该运动员离水面的最大距离为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $