精品解析：四川眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

彭山一中2025-2026学年高一下学期4月阶段检测， 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.命题人：龚苏梅，审题人：李凌飞 宋学明 徐科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 如图所示，三个边长为1的正方形相连，若，，则（   ） A. B. C. D. 6. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 若，，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 零向量与任意向量共线 C. 互为相反向量的两个向量的模相等 D. 若向量，满足，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 11. 已知两个非零向量，定义新运算，则（ ） A. 当时， B. 对于任意非零向量，都有 C. 对于不垂直的非零向量，都有 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______. 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 14. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 16. 已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）求的模； （2）当与共线，求的值； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 19. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中2025-2026学年高一下学期4月阶段检测， 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.命题人：龚苏梅，审题人：李凌飞 宋学明 徐科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 3. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知 . 在 方向上的投影: . 方向的单位向量: . 则在方向上的投影向量为. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论值即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 则，即. 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的一个可能取值为. 5. 如图所示，三个边长为1的正方形相连，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到，，再由即可求出答案. 【详解】由图可知，，， 所以. 6. 已知中，，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A 7. 若，，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角关系，以及，利用两角差的正弦公式求角． 【详解】由可得，易知得，， 则 ，. 故选：C. 8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 零向量与任意向量共线 C. 互为相反向量的两个向量的模相等 D. 若向量，满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的相关概念判断ABC，利用判断D项. 【详解】A选项：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小（仅模可比较），故A为假命题； B选项：根据零向量的性质，零向量与任意向量共线，故B为真命题； C选项：互为相反向量的两个向量方向相反且模相等，故C为真命题； D选项：由向量模的三角不等式，代入，得，故D为真命题。 综上，真命题为BCD. 故选：BCD 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知两个非零向量，定义新运算，则（ ） A. 当时， B. 对于任意非零向量，都有 C. 对于不垂直的非零向量，都有 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可． 【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，， 对于A，由上可知， 则， 又，所以，则， 当为钝角时，，即，故A错误； 对于B，因为， ， 所以，故B正确； 对于C，设为非零常数， 则， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用弦化切的知识求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：. 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 14. 函数的部分图象如图所示.已知直线与的图象交于，，三点且，是图象的一个最大值点，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得. 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，， ，代入得. ... 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】（1） （2）最大值为1，此时；最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期的公式求解； （2）利用正弦函数的图像和性质求解. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 【小问2详解】 由，得， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数在上的最大值为1，此时；最小值为，此时. 16. 已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）求的模； （2）当与共线，求的值； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知，. 是夹角为的单位向量，满足，所以. . 【小问2详解】 当与共线时，求的值 由与共线，得，即. 由不共线，得且，解得，. 【小问3详解】 夹角为钝角需满足且与不反向共线. 计算数量积：. 由得， 由（2）可知，当共线时，；所以当不共线时， 所以的范围为 17. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 令，解得 的单调减区间为． 【小问2详解】 ，，则， ，则. 在时恒成立，即，在内恒成立. 当时，恒成立，此时； 当时，，且的最小值为，； 当时，，且的最大值为，； 实数的取值范围为 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【小问1详解】 在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； 【小问2详解】 ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可； （2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 ①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根是，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在， 所以，即，解得：， 当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上的取值范围是； ②设，为方程的两个不相等的实数根，则， 由①知，，， 所以，即， ，所以，即， 由得，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又，且，所以， 所以， 整理得，因为，所以， 解得或，又，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $