精品解析：天津市河东区2025--2026学年第二学期九年级数学质量检测试卷（一）

河东区2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2.卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的主视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是． 3. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到结果． 【详解】解：， ，即， 不等式三边同时加2，得， 即， 的值在4到5之间． 4. 下列4个汉字中，从数学角度看可以看作轴对称图形的是（ ） A. 马 B. 工 C. 枚 D. 速 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵“马、枚、速”沿任何直线对折后，直线两旁的部分都不能完全重合， ∴ 它们都不是轴对称图形； ∵“工”沿过图形中心的竖直直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合， ∴“工”是轴对称图形． 5. 因为鸡蛋（这里指的是蛋白加蛋黄的煮全蛋）是最适合人体吸收比例的食物，所以在日常天然饮食中，鸡蛋是优质蛋白质的重要来源．某市为了增强中小学生体质，全面实施“每日一蛋”营养改善计划，某市每天需要向各学校供应新鲜鸡蛋约个，将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定出和 即可求解． 【详解】解：． 6. 计算的值等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的计算，只需代入特殊角的三角函数值，化简即可得到结果． 【详解】解：, 代入原式． 7. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将值分别代入解析式得，，， ∵， ∴． 8. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题中物价为固定不变的量，根据题意分别用表示出两种情况下的物价，利用物价相等即可列出方程，准确理解题意找到等量关系是解题关键. 【详解】解：设人数为人，根据“每人出8钱，会多出3钱”，可得物价为， 又根据“每人出7钱，又差4钱”，可得物价为， 物价固定不变，两个代数式相等， 列方程为 ． 9. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原式 ． 10. 如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，设 ，则，求出，证明 ，再根据相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由作图可知，， ，， 设 ，则， （负值舍去），未给出具体边长，无法判断，选项A错误； ， ，选项B错误； ，选项C错误； ， ． 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与角平分线的性质，解题的关键是发现旋转后是的角平分线．先由旋转角度关系证得，再过点作于点，由角平分线性质得到，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：在中， ， ， 由旋转的性质得，， 绕点旋转得到， ， ， ，即是的角平分线， 过点作于点， ， ， 是的角平分线，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ，即． 故选：C． 12. 平行四边形中， ，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中， ， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时 （秒）， 过点作，如图所示： 在中， ，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或 ； 综上所述，存在、或 三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2.卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有19个球，其中有4个红球、5个黄球、10个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 【详解】解：总球数为个，绿球有个， 随机取出个球是绿球的概率为． 14. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 15. 计算：的结果等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】解： =（）2-（）2 =6-2 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 16. 将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】2 【解析】 【分析】根据“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则， 即可， 则的值可以是． 17. 如图，在中，，，，点是边上的中点． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在外，满足，且，连接，射线交于点，则的面积为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等腰三角形性质得出，解直角三角形得出，再根据中点定义，求出结果即可； （Ⅱ）延长，，交于点G，连接，证明，得出，证明，得出 ，证明，得出 ，证明，得出，证明，根据，即可得出答案． 【详解】解：（Ⅰ）∵在中，，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点． ∴； （Ⅱ）延长，，交于点G，连接， ∵点D为的中点， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 【答案】 ①. 2 ②. 作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格特征构造垂直平分线和利用对称性构造切线． （Ⅰ）取中点，由 且 得是的垂直平分线，从而； （Ⅱ）作中位线，连接交得圆心，延长交横格线于点，直线为切线，射线与的交点即为所求点． 【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接， 点,C,D均在格点上， , , 是的垂直平分线 ， 又, ． 故答案为：2； （Ⅱ）1：确定圆心 作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心； 2：作圆的切线 延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线； 3：确定点 射线交直线于一点，则此点即为所求作的点． 故答案为：作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3） 解：在数轴上分别表示不等式①②的解集，如图所示： （4） 【解析】 【分析】分别解不等式组中的一元一次不等式，再用数轴表示出不等式解集，最后由不等式组解集求法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 移项得 ， ； 【小问2详解】 解： ， 移项得 ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可知，原不等式组的解集为 ． 20. 为了解某校学生每周参加体育活动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每周参加体育活动的次数的众数为________，中位数为________； （2）求统计的这组学生每周参加体育活动的次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生每周参加体育活动的次数是5的学生人数约为多少？ 【答案】（1）50，34，4，3 （2）平均数是 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，样本估计总体，中位数、众数，平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用本周参加体育活动的次数次的人数除以占比求出总人数，再结合中位数、众数的定义进行作答即可． （2）运用平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）根据样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：，， 统计的这组学生每周参加体育活动的次数的众数为， 排序后位于第25、26位的数据为3、3，所以中位数为 ； 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数是 ； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每周参加体育活动的次数是5的学生占， 根据样本数据，估计该校1200名学生中，每周参加体育活动的次数是5的学生占， 有（人）， 估计该校学生每周参加体育活动的次数是5的学生人数约为120人． 21. 已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． （1）如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求 的大小； （2）如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若 ，， ，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在 中，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在 中， ， ， ． ． 22. 天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为 ，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为 ．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】58米 【解析】 【分析】设 ，得到，，故，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， 设 ， 在 中， ， ， ， 在中， ， ， ， 又， 解得； ； 答：桥塔塔顶到水面的距离约为58米． 23. 已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小海离开家的时间 2 9 14 30 小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________ ②填空：小海从体育馆回家的速度为________； ③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了 直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①；② ；③ （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象求出各阶段速度即可解决①②，再由待定系数法分段求解即可解决③； （2）由待定系数法求出爸爸运动的函数表达式，结合，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 小海从家到便利店的速度为； 小海从便利店到体育馆速度为； ①当时，由于，则； 当时，由于，则； 当 时，由于，则； ②小海从体育馆回家的速度为； ③当时，； 当时，设， 将、代入解析式得， 解得， ； 综上所述，当时，小海离家的距离关于时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设 ， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，设， 将、代入解析式得， 解得， ； 如图所示： 当时， 联立，解得； 当时， 联立，解得； 当时， 在时，；在时，； 综上所述，当时，的取值范围是． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，等腰 的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． （1）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与 重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段 ，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与 重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出； （2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和 是等腰直角三角形，则，；当四边形与 重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围； （ii）分3种情况讨论：①当 时；②当时；③当 时，先确定四边形与 重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：连接交于点， ∵等腰 的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵等腰 ，， ∴， ∴和 是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵点是的中点，， ∴， 由（1）得，， 由平移的性质得，，， ∵当四边形与 重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧， ∴， 解得， 综上，，； （ii）①当 时，四边形与 重叠部分为四边形， 由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 令，则， 解得， ∴； ②当时，四边形与 重叠部分为五边形， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由（i）得， 是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 同理①的方法可得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4， 此时，满足题意； ∴； ③当 时，四边形与 重叠部分为， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 令，则， 解得或， ∴； 综上，的取值范围为． 25. 已知抛物线（，，为常数， ， ）． （1）当，，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上， ， ，求点的坐标； ②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线顶点的坐标为 （2）①点的坐标为；②点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式进行判断即可；点在第二象限，过点作 轴于点， （2）①求出抛物线解析式为，证明，得到点的坐标为，根据点在抛物线上，得到，解得， ，即可得到答案； ②求出，根据题意，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，则，即，点在直线上，为等边三角形，，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ，，， 该抛物线的解析式为 ， ， 该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①点在抛物线上， ，即， 又 ，点， ， ，， 抛物线解析式为， 如图，点在第二象限，过点作 轴于点， ， ， ， ， ，又 ， ， ，， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得，， 解得， ， ， ，不合题意，舍去， ， 点的坐标为； ②点和点为抛物线与轴的两个交点， ，，解得，， 点为抛物线与轴的交点， ， ， 点在线段上，且， ， 根据题意，点与点关于直线对称，点与点G关于轴对称， 则 ， ∵取得最小值为， ∴， 点在直线上，为等边三角形， ∴，，， ∴， ， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2.卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 4. 下列4个汉字中，从数学角度看可以看作轴对称图形的是（ ） A. 马 B. 工 C. 枚 D. 速 5. 因为鸡蛋（这里指的是蛋白加蛋黄的煮全蛋）是最适合人体吸收比例的食物，所以在日常天然饮食中，鸡蛋是优质蛋白质的重要来源．某市为了增强中小学生体质，全面实施“每日一蛋”营养改善计划，某市每天需要向各学校供应新鲜鸡蛋约个，将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的值等于（ ） A. B. C. D. 0 7. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 平行四边形中， ，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷 注意事项： 1.黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2.卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有19个球，其中有4个红球、5个黄球、10个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 14. 计算的结果为________． 15. 计算：的结果等于______． 16. 将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 17. 如图，在中，，，，点是边上的中点． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在外，满足，且，连接，射线交于点，则的面积为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 为了解某校学生每周参加体育活动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每周参加体育活动的次数的众数为________，中位数为________； （2）求统计的这组学生每周参加体育活动的次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生每周参加体育活动的次数是5的学生人数约为多少？ 21. 已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． （1）如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求 的大小； （2）如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若 ，， ，求的长． 22. 天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为 ，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为 ．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 23. 已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小海离开家的时间 2 9 14 30 小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________ ②填空：小海从体育馆回家的速度为________； ③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了 直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，等腰 的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． （1）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与 重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段 ，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与 重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数， ， ）． （1）当，，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上， ， ，求点的坐标； ②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $