期中计算题组10天训练（计算题专项训练）数学苏科版新教材八年级下册

八下数学期中计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：苏科版新教材；训练范围：第6~9章】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．一个样本数据中，最大值为73，最小值为36，若组距为6，则至少应分　 　 组才能包含所有数据． 2．如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　 　 ． 3．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，AC、BD交于点O，若AB＝AO＝2，则BC＝ 　　 ． 4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为　 　 ． 5．已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 　 　 ． 6．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，M、N是AE、AF与对角线BD的交点．若BM＝3，DN＝4，则正方形ABCD的面积为（　　） A．64 B．72 C．98 D．144 7．把下列各式因式分解： （1）3mn2+mn； （2）2x+12xy+18xy2； （3）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2． 8．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC被另一条对角线BD垂直平分，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD＝5，BD＝6，则OE的长为 　 　 ． 10．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 　 　 °； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是　 　 ． ①x2+4x+4；②4x2﹣4x﹣1；③；④4m2+2mn+n2；⑤1+16a2；⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1． 2．某班50名学生的数学成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是　 　 ． 3．不透明的袋中装有白球、黄球共10个，要使摸到白球的可能性大，黄球最多放　 　 个． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 5．如图，已知，Rt△ABC延长直角边BC至点D，使BD＝8，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P、Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝　　 ． 6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB＝4，CD＝6，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF≤5 B．1≤EF≤5 C．4＜EF≤6 D．4≤EF≤6 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣3），D（b，﹣1），则正方形ABCD的面积是（　　） A．9 B．13 C．5 D．4 8．把下列各式分解因式： （1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） （2）x3﹣4x （3）a4﹣2a3b+a2b2 （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） 9．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 10．“校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的样本容量是　 　 ； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． （3）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为　 　 °． （4）若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 2．在一个样本中，将100个数据分成4组，其中第一组的频数是20，第三组与第四组的频率之和是0.57，那么第二组的频数是 　 　 ． 3．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（1，4），点D在x轴上，则点C的坐标为　 　 ． 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，使点B与点O重合．若AB＝6，BC＝8，则BF的长为　　 ． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∠ACD的平分线交BD于点E，若正方形的边长为2，则△BCE的面积为　 ． 6．分解因式： （1）2x2﹣18； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 7．主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m （1）表格中m＝　 　 ； （2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 　 　 ；（结果精确到0.01）（3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）已知AE＝3，AD＝5，当四边形ABCD是矩形时，求AB的长． 9．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：a2+6a+5． 原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2﹣16x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣16x+5的最小值； （3）若M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 10．3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校八年级600名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对积分成绩进行整理和分析，积分成绩（用整数x表示）共分五组：A．20≤x＜40，B．40≤x＜60，C．60≤x＜80，D．80≤x＜100，E．100≤x≤120．并绘制了不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，完成下列问题． （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是　 　 （填写序号）； ①从八年级的学生中抽取m名男生； ②从八年级参加九连环游戏的学生中抽取m名学生； ③从八年级学号末位数字为3或7的学生中抽取m名学生． （2）直接写出m＝　 　 ，40≤x＜60这一组对应的扇形的圆心角度数是　 　 ；并补全频数分布直方图． （3）80≤x＜100这一组的学生积分是：81，82，87，93，93，93，96，请估计八年级学生获得“π日”徽章的人数． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知样本数据个数为30，且被分成3组，第一、二、三组的数据个数之比为2：5：3，则第三小组的频数为 　 　 ． 2．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为　 　 （结果保留小数点后一位）． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　 　 ． 4．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是　 　 四边形． 5．如图，矩形ABCD与矩形AFGQ全等，且AB＝5，AD＝3，若点F在DC上，连接BQ、AF相于点O，则AO的长度为 　 　 ． 6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，且图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG的周长为 　 ． 7．把下列各式分解因式： （1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） （2）x3﹣4x （3）a4﹣2a3b+a2b2 （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E． （1）求证：四边形BCDE是菱形； （2）若AB，E为AC的中点，当BC的长为　 时，四边形BCDE是正方形． 9．如图，在▱ABCD中，AG⊥CD，CH⊥AB，垂足分别为G、H，E、F分别是AD、BC的中点，连接EH、HF、FG、GE． （1）求证：△AEH≌△CFG； （2）连接AC，若BC＝6，AB＝AC＝5，求四边形EHFG的面积． 10．某校课外兴趣小组在本校学生中开展“垃圾分类”知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，学生可根据自己的情况任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并制成了不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次共调查了学生 　 　 人，被调查的学生中，类别为C的学生有 　 　 人； （2）求类别为A的学生数； （3）求扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数； （4）若该校有学生1500名，根据调查结果估计该校学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为多少人？ 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同．若“从中任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是随机事件，则n的值可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．在▱ABCD中，AC为对角线，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF．若EF＝5，则AD的长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 3．若x2﹣2x＝4，则x4﹣2x3﹣8x﹣6的值为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 4．在英文句子“HappyNationalDay”中，字母“a”出现的频率为 　 　 ． 5．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC，连接PA，则∠PAD＝　 　 °． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F．若AB＝4，AD＝8，则BF的长为 　 　 ． 7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若AB＝4，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是 　 ． 8．把下列各式分解因式： （1）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）（2）ab3﹣4ab2+4ab． 9．如图，在▱ABCD中，O为边CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，连接DE，AC，∠ACB＝90°． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若BC＝1，∠B＝60°，则OC的长是 　 　 ． 10．某校开展了“学史明理，学史崇德”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下统计表和统计图． 抽取的学生的竞赛成绩频数分布表 等级 成绩x/分 频数 A 50≤x＜60 m B 60≤x＜70 40 C 70≤x＜80 50 D 80≤x＜90 70 E 90≤x＜100 24 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 　 　 ，m＝ 　 　 ； （2）B等级所在扇形的圆心角的度数是 　 　 °； （3）若成绩在80分及以上为优秀，该校共3000名学生，请你估计该校学生成绩优秀的人数． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回．通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是（　　） A．11 B．14 C．17 D．20 2．如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点C的横坐标为1，∠B＝60°，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，若点B的对应点是点B1，那么点B1的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，E是AD上一点，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EH⊥AC，垂足为H，则EF+EH的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知数据：，，，2π﹣1，0，其中无理数出现的频数为　 　 ． 5．一个口袋中装有黑色和白色小球共20个，它们除颜色之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率稳定在0.35左右，则估计这个口袋中黑球的个数为 　 　 ． 6．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝　 　 ． 7．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b+2026的值为　 　 ． 8．因式分解： （1）a2（x﹣y）+9（y﹣x）； （2）（a2+4）2﹣16a2． 9．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）连接BE，若AB＝4，AD＝5，且EF⊥BD，求△ABE的周长． 10．某校数学兴趣小组想要了解本校学生对四种艺术选项（演唱、民乐、舞蹈、杂技）的喜爱情况，随机抽取了部分学生完成调查问卷（如图1），并根据调查结果绘制了两种不完整的统计图（如图2）． （1）本次调查共抽取了 　 　 名学生； （2）将条形统计图补充完整，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 　 　 ； （3）若该校共有1800名学生，请估计该校最喜欢舞蹈的学生人数． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　）个． A．48 B．60 C．18 D．54 2．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为0.2，则第六组的频率是 　 　 ． 4．若矩形的对角线长为4cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 　　 cm2． 5．已知a+b＝2，ab＝1，则的值为 　 　 ． 6．把下列各式分解因式： （1）3a2﹣6a； （2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）； （3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）． 7．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°． （1）∠EAD的度数； （2）当AF⊥BD时，求∠ABD的度数． 8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）如果AC＝BC，那么四边形AMCN是矩形吗？证明你的结论． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 10．2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 60≤x＜70 15 0.1 70≤x＜80 a 0.2 80≤x＜90 60 b 90≤x＜100 45 c （1）表中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？ 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．对某班40位同学的一次考试成绩进行统计，若频数分布表中80.5～90.5分这一组的频率是0.2，则成绩在该分数段的人数是　 　 ． 2．已知x﹣y＝1，xy＝2，则代数式x3y﹣2x2y2+xy3的值是　 　 ． 3．如图，四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝12，BD＝8，则四边形EFGH的周长是　 　 ． 4．如图，▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF＝45°，则∠BAD＝　 　 ． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕是EF，连接BE、DF，则四边形BEDF的周长是 　 　 ． 6．如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，过点B画AC的垂线； （2）如图2，E为AB边上一点，在CD边上画点F，使得DF＝BE； （3）如图3，E为AB边上一点，在BC边上画点F，使得BF＝BE． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC＝90°． （1）求证：AC＝BD； （2）点E在边BC上，且∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长． 8．某校为了丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜爱以上哪种球类运动项目，该校随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且仅选一种），并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ，扇形统计图中C对应扇形圆心角的度数是　 　 ． （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜欢E项目的学生人数． 9．如图，地面上有一个封闭图形ABCD，为了求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（把小石子看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数m+n 50 153 300 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 62 124 … 小石子落在圆外（含边界）的次数n 30 91 176 … （精确到0.01） a 0.68 0.70 … （1）填空：a＝　 　 （精确到0.01）； （2）当投掷的次数很大时，的值越来越接近　 　 （结果精确到0.1）； （3）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　 　 附近（结果精确到0.1）； （4）请利用（3）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 10．【阅读材料】 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1（此处可看作在原式上添加“+4﹣4”，也可看作将3拆分为“+4﹣1”）＝（x+2）2﹣12＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）． 【解决问题】 （1）用配方法将x2﹣6x﹣16分解因式； （2）用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式； （3）已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，求该等腰三角形的周长． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知多项式4x3y+M可分解因式为4xy（x2+xy﹣y2），则M为　 ． 2．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是　 　 （填序号） 3．为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有　 　 只大白鹭． 4．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE＝66°，则∠BCE＝　 　 ． 5．在▱ABCD中，内角∠ABC的平分线把边AD分成5和3两部分，则▱ABCD的周长为 　 　 ． 6．如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB＝90°，CE＝3，CB＝5，将△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△CDF，延长BE交DF于点H，连接DE．则△DEH的面积为（　　） A． B．3 C． D．4 7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BD上的点，且DE＝BF，连接BE、DF相交于点G． 求证：（1）BE＝DF； （2）∠ABE＝∠ADF． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 9．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数． 10．先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将（x+y）看成整体，设x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将x+y＝A代入，得（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的角平分线交AD于点P，连接CP，刚好CP⊥BP，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．15 C．18 D．24 2．大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位：次）：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是　 　 ． 3．为了了解某校八年级800名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对80名学生每天完成作业所用时间进行了抽查．在这个问题中，样本容量是 　 　 ． 4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点F，E是DF的中点，若AB＝6，BC＝4，则EO的长为 　 　 ． 5．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C＝　 　 度． 6．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF＝　 　 ． 7．已知m+n＝3，mn＝2，求下列代数式的值： （1）m3n﹣2m2n2+mn3； （2）m4+n4． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s． （1）如图，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； （2）若BD＝8cm，AC＝12cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 9．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5 ＝（x+2）2﹣9 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：x2﹣8x﹣9； （2）【深入研究】试说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是△ABC的三边，且a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 10．某校组织八年级学生参加消防知识竞赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计图表． 消防知识竞赛成绩的频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A x＜60 2 B 60≤x＜70 6 C 70≤x＜80 9 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是 　 　 °； （3）已知该年级有400名学生参加这次竞赛，若成绩在80分以上（含80分）的为合格，估计该年级成绩合格的有多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学期中计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：苏科版新教材；训练范围：第6~9章】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．一个样本数据中，最大值为73，最小值为36，若组距为6，则至少应分　 　 组才能包含所有数据． 【解答】解：计算最大值与最小值的差得到范围再除以组距结果向上取整得到最少组数可知： 样本数据的范围为73﹣36＝37，组距为6， 则组数为，向上取整为7， 故至少应分7组才能包含所有数据． 故答案为：7． 2．如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　 　 ． 【解答】解：∵在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分， ∴估计黑色部分占这个区域的， ∴黑色部分的面积为2013． 故答案为：13． 3．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，AC、BD交于点O，若AB＝AO＝2，则BC＝ 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°， ∵AB＝AO＝2， ∴AO＝CO＝2， ∴AC＝AO+CO＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC． 故答案为：． 4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，则线段EF的长为　 　 ． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，AB＝5， ∴DE∥BC，DEBC＝4，DB， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， ∴EF＝DE﹣DF＝4， 故答案为：． 5．已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 　 　 ． 【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）． ∵a+b＝﹣4，ab＝﹣21， ∴原式＝（﹣21﹣1）×（﹣4）＝88． 故答案为：88． 6．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，M、N是AE、AF与对角线BD的交点．若BM＝3，DN＝4，则正方形ABCD的面积为（　　） A．64 B．72 C．98 D．144 【解答】解：过点A作AH⊥AF，并截取AH＝AN，连接BH，MH，如图所示： ∴∠HAN＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABM＝∠ADN＝45°， ∴∠HAN＝∠BAD＝90°， ∴∠HAB+∠BAN＝∠BAN+∠NAD， ∴∠HAB＝∠NAD， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAM+∠NAD＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠BAM+∠HAB＝45°， 即∠MAH＝45°， ∴∠MAH＝∠EAF＝45°， 在△HAB和△NAD中， ， ∴△HAB≌△NAD（SAS）， ∴BH＝DN＝4，∠ABH＝∠ADN＝45°， ∴∠HBM＝∠ABH+∠ABM＝45°+45°＝90°， 在Rt△HBM中，由勾股定理得：HM5， 在△AHM和△ANM中， ， ∴△AHM≌△ANM（SAS）， ∴HM＝NM＝5， ∴BD＝BM+NM+DN＝3+5+4＝12， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2， ∴2AB2＝122， ∴AB2＝72， ∴正方形ABCD的面积为72． 故选：B． 7．把下列各式因式分解： （1）3mn2+mn； （2）2x+12xy+18xy2； （3）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2． 【解答】解：（1）原式＝mn•3n+mn•1＝mn（3n+1）； （2）原式＝2x（1+6y+9y2）＝2x（1+3y）2； （3）原式＝[5（a+b）]2﹣[3（a﹣b）]2 ＝[5（a+b）﹣3（a﹣b）][5（a+b）+3（a﹣b）] ＝（2a+8b）（8a+2b） ＝4（4a+b）（a+4b）． 8．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【解答】证明：（1）如图1，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝CH， ∴OA﹣AG＝OC﹣CH， 即OG＝OH， ∴四边形BHDG是平行四边形； （2）如图2，连接BD交AC于点O，连接BG，BH， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝GH， ∵E是AB的中点， ∴EG是△ABH的中位线， ∴EG∥BH， 同理BG∥DH， ∴四边形BHDG是平行四边形， ∴BO＝OD，GO＝OH， 又∵AG＝HC， ∴AG+GO＝HC+OH， 即AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC被另一条对角线BD垂直平分，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD＝5，BD＝6，则OE的长为 　 　 ． 【解答】（1）证明：∵对角线AC被另一条对角线BD垂直平分， ∴AB＝CB，AD＝CD，OA＝OC， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD＝CB， ∴AB＝CB＝AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，OA＝OC，四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝5，OB＝ODBD＝3，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OA4， ∴AC＝2OA＝8， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴OEAC＝4， 故答案为：4． 10．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 　 　 °； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 【解答】解：（1）此次调查的总人数为9÷15%＝60（人）， D项目的人数有60﹣6﹣18﹣9﹣12＝15（人）， 补全条形统计图如下： （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为360°72°； 故答案为：72； （3）800240（名）， 答：估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数为240名． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是　 　 ． ①x2+4x+4；②4x2﹣4x﹣1；③；④4m2+2mn+n2；⑤1+16a2；⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1． 【解答】解：①x2+4x+4＝（x+2）2，符合完全平方公式分解因式的条件； ②4x2﹣4x﹣1，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④4m2+2mn+n2，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤1+16a2，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1＝（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）+1＝（x﹣2y﹣1）2，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 故答案为：①③⑥． 2．某班50名学生的数学成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是　 　 ． 【解答】解：由题意可知，第5组的频数为：50﹣（12+9+11+8）＝50﹣40＝10， ∴第5组的频率为：10÷50＝0.2． 故答案为：0.2． 3．不透明的袋中装有白球、黄球共10个，要使摸到白球的可能性大，黄球最多放　 　 个． 【解答】解：不透明的袋中装有白球、黄球共10个，要使摸到白球的可能性大，黄球最多放4个， 故答案为：4． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝2OA＝6， ∵DH⊥BC， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH＝2×2＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×4＝12， 故答案为：12． 5．如图，已知，Rt△ABC延长直角边BC至点D，使BD＝8，E为直角边AC上的点，且AE＝2，连接ED，P、Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ＝　　 ． 【解答】解：连接AD，取AD中点K，连接PK，QK， ∵P，Q分别为AB，ED的中点， ∴PK是△ABD的中位线，KQ是△DAE的中位线， ∴PK∥BC，PKBD，KQ∥AC，KQAE， ∵AC⊥BC， ∴PK⊥KQ， ∵BD＝8，AE＝2， ∴PK8＝4，KQ2＝1， ∴PQ． 故答案为：． 6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB＝4，CD＝6，则EF的取值范围是（　　） A．1＜EF≤5 B．1≤EF≤5 C．4＜EF≤6 D．4≤EF≤6 【解答】解：连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH， ∵AH＝HC，AE＝ED， ∴EHCD＝3， 同理，FHAB＝2， 在Rt△EHF中，EH﹣FH＜EF≤EH+FH，即1＜EF≤5， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣3），D（b，﹣1），则正方形ABCD的面积是（　　） A．9 B．13 C．5 D．4 【解答】解：如图，作DE⊥y轴于点E， ∵C（0，﹣3），D（b，﹣1）， ∴OC＝3，OE＝1， ∴CE＝OC﹣OE＝3﹣1＝2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°， ∴∠ECD＝∠OBC， 在△ECD和△OBC中， ， ∴△ECD≌△OBC（AAS）， ∴OB＝EC＝2， ∴BC2＝OB2+OC2＝22+32＝13， 即正方形ABCD的面积是13， 故选：B． 8．把下列各式分解因式： （1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） （2）x3﹣4x （3）a4﹣2a3b+a2b2 （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） 【解答】解：（1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） ＝（a﹣2）（2x﹣3y）； （2）x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）； （3）a4﹣2a3b+a2b2 ＝a2（a2﹣2ab+b2） ＝a2（a﹣b）2； （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） ＝（a2﹣4）（a﹣2） ＝（a﹣2）2（a+2）． 9．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴BC， ∴BC的长是． 10．“校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的样本容量是　 　 ； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． （3）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为　 　 °． （4）若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是30÷15%＝200， 故答案为：200； （2）A的人数为200﹣（30+50+20+30）＝70（人）， 补全条形统计图如下： （3）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为360°126°； 故答案为：126； （4）600＝150（人）， 答：在八年级学生中，宣讲会的人数约为150人． 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 2．在一个样本中，将100个数据分成4组，其中第一组的频数是20，第三组与第四组的频率之和是0.57，那么第二组的频数是 　 　 ． 【解答】解：∵第三组与第四组的频率之和是0.57， ∴第三组与第四组的频数之和＝100×0.57＝57， ∵第一组的频数是20， ∴第二组的频数＝100﹣20﹣57＝23， 故答案为：23． 3．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（1，4），点D在x轴上，则点C的坐标为　 　 ． 【解答】解：∵A，B的坐标分别为（4，0），（1，4）， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AD＝AB＝5，BC∥AD， ∵点A和点D都在x轴上， ∴BC∥x轴， ∵B（1，4）， ∴C（﹣4，4）， 故答案为：（﹣4，4）． 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，使点B与点O重合．若AB＝6，BC＝8，则BF的长为　　 ． 【解答】解：如图所示，过点O作OH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ∵OB＝5， ∵OH⊥BC， ∴， ∴， 由折叠的性质可得BF＝OF， 设BF＝OF＝x，则HF＝4﹣x，在Rt△OBH中， 由勾股定理得OF2＝OH2+HF2， ∴x2＝32+（4﹣x）2， 解得， ∴， 故答案为：． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∠ACD的平分线交BD于点E，若正方形的边长为2，则△BCE的面积为　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，∠OCD＝∠ODC＝45°，， ∵∠ACD的平分线交BD于点E， ∴， ∴∠BCE＝∠OCB+∠OCE＝67.5°，∠BEC＝∠DCE+∠ODC＝67.5°， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝2， 在Rt△BCD中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．分解因式： （1）2x2﹣18； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣9） ＝2（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝（x2+y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2 7．主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m （1）表格中m＝　 　 ； （2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 　 　 ；（结果精确到0.01）（3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【解答】解：（1）m＝266÷280＝0.95， 故答案为：0.95； （2）根据实验发现频率稳定在0.95左右 则自觉佩戴头盔的频率为0.95， ∴经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95， 故答案为：0.95； 1000×0.95＝950（人）， 答：佩戴了头盔的骑行者大约有950人． 8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）已知AE＝3，AD＝5，当四边形ABCD是矩形时，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵BE＝DF， ∴BF＝DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 又∵AD＝BC， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵AE＝3，AD＝5， ∴DE4， ∵AB2＝AE2+BE2，BD2＝AB2+AD2， ∴AB2＝9+BE2，（4+BE）2＝AB2+25， ∴16+BE2+8BE＝9+BE2+25， ∴BE， ∴AB． 9．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：a2+6a+5． 原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2﹣16x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣16x+5的最小值； （3）若M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）∵x2﹣12x+36＝（x﹣6）2 故答案为：36，6． （2）x2﹣16x+5＝x2﹣16x+64﹣59＝（x﹣8）2﹣59 ∵（x﹣8）2≥0， ∴当x＝8时，原式有最小值﹣59． （3）∵M＝7a2+18a+10，N＝6a2+24a， M﹣N＝7a2+18a+10﹣6a2﹣24a ＝a2﹣6a+9+1 ＝（a﹣3）2+1． ∵（a﹣3）2≥0， ∴M﹣N＞0． ∴M＞N． 10．3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校八年级600名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对积分成绩进行整理和分析，积分成绩（用整数x表示）共分五组：A．20≤x＜40，B．40≤x＜60，C．60≤x＜80，D．80≤x＜100，E．100≤x≤120．并绘制了不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，完成下列问题． （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是　 　 （填写序号）； ①从八年级的学生中抽取m名男生； ②从八年级参加九连环游戏的学生中抽取m名学生； ③从八年级学号末位数字为3或7的学生中抽取m名学生． （2）直接写出m＝　 　 ，40≤x＜60这一组对应的扇形的圆心角度数是　 　 ；并补全频数分布直方图． （3）80≤x＜100这一组的学生积分是：81，82，87，93，93，93，96，请估计八年级学生获得“π日”徽章的人数． 【解答】解：（1）①从八年级的学生中抽取m名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意； ②从八年级参加九连环游戏的学生中抽取m名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意； ③从八年级学号末位数字为3或7的学生中抽取m名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意， 故答案为：③； （2）m＝4÷10%＝40， ； 100≤x≤120这一组的人数为40﹣4﹣12﹣7﹣7＝10人， 补全频数分布直方图，如下： 故答案为：40；108°； （3）八年级学生获得“π日”徽章的人数为（人）， 即八年级学生获得“π日”徽章的人数为210人． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知样本数据个数为30，且被分成3组，第一、二、三组的数据个数之比为2：5：3，则第三小组的频数为 　 　 ． 【解答】解：由题意得：309， ∴第三小组的频数为9， 故答案为：9． 2．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为　 　 （结果保留小数点后一位）． 【解答】解：随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在0.40附近， ∴估计小新投壶一次投中的概率约为0.40，结果保留到小数点后1位为0.4． 故答案为：0.4． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　 　 ． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AF⊥OH于F，连接AH， ∵点A的坐标是（3，1）， ∴AF＝1，OF＝3， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB， ∵点B在第一象限的角平分线上， ∴△OBH是等腰直角三角形， ∴BH＝OH， 又∵AH＝AH， ∴△AHB≌△AHO（SSS）， ∴OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°， ∵AF⊥OH， ∴AF＝FH＝1， ∴OH＝BH＝4， ∴点B（4，4）， 故答案为：（4，4）． 4．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是　 　 四边形． 【解答】解：∵a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd ∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd＝0 ∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0 解得：a＝b，c＝d， ∴这个四边形的形状是平行四边形． 故答案为：平行． 5．如图，矩形ABCD与矩形AFGQ全等，且AB＝5，AD＝3，若点F在DC上，连接BQ、AF相于点O，则AO的长度为 　 　 ． 【解答】解：过B作BH⊥AF于H， ∵矩形ABCD与矩形AFGQ全等， ∴AF＝AB， ∵AB∥CD， ∴∠BAH＝∠AFD， 在△ABH与△FAD中， ， ∴△ABH≌△FAD（ASA）， ∴BH＝AD＝3， ∴AH4， ∵AQ＝AD， ∴AQ＝BH， ∵∠QAO＝∠BHO＝90°，∠AOQ＝∠BOH， ∴△AOQ≌△BOH（AAS）， ∴AO＝OH2， 故答案为：2． 6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，且图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG的周长为 　 ． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴△AGB的面积与四边形GECF的面积相等，均为3， 设AG＝a，BG＝b，则 ab，即ab＝3， 在Rt△AGB中，∠AGB＝90°， ∴a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15， ∴a+b，即AG+BG， ∴△AGB的周长为3． 故答案为：3． 7．把下列各式分解因式： （1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） （2）x3﹣4x （3）a4﹣2a3b+a2b2 （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） 【解答】解：（1）2x（a﹣2）+3y（2﹣a） ＝（a﹣2）（2x﹣3y）； （2）x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）； （3）a4﹣2a3b+a2b2 ＝a2（a2﹣2ab+b2） ＝a2（a﹣b）2； （4）a（a2﹣4）﹣2（a2﹣4） ＝（a2﹣4）（a﹣2） ＝（a﹣2）2（a+2）． 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E． （1）求证：四边形BCDE是菱形； （2）若AB，E为AC的中点，当BC的长为　 时，四边形BCDE是正方形． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时BCx， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝10， 解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴BC， 故答案为：． 9．如图，在▱ABCD中，AG⊥CD，CH⊥AB，垂足分别为G、H，E、F分别是AD、BC的中点，连接EH、HF、FG、GE． （1）求证：△AEH≌△CFG； （2）连接AC，若BC＝6，AB＝AC＝5，求四边形EHFG的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD． ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AEAD，CFBC， ∴AE＝CF． ∵AG⊥CD，CH⊥AB， ∴∠AGC＝∠AHC＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠AGC+∠GAH＝180°， ∴∠GAH＝90°， ∴∠AGC＝∠AHC＝∠GAH＝90°， ∴四边形AHCG为矩形． ∴AH＝CG． 在△AEH和△CFG中， ∵AE＝CF，∠EAH＝∠FCG，AH＝CG， ∴△AEH≌△CFG（SAS）； （2）解：如图，连接EF，GH，AC， ∵△AEH≌△CFG， ∴EH＝GF， ∵GEAD，HFBC＝3，AD＝BC， ∴EG＝FH＝3， ∴四边形EHFG为平行四边形． 由（1）得四边形AHCG为矩形， ∴AC＝GH＝5． ∵AE＝BF，AE∥BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴EF＝AB＝5． ∵AC＝AB， ∴EF＝GH， ∴▱EHFG是矩形． ∴∠EGF＝90°， 由勾股定理得，FG4， ∴矩形EHFG的面积＝3×4＝12． 10．某校课外兴趣小组在本校学生中开展“垃圾分类”知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，学生可根据自己的情况任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并制成了不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次共调查了学生 　 　 人，被调查的学生中，类别为C的学生有 　 　 人； （2）求类别为A的学生数； （3）求扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数； （4）若该校有学生1500名，根据调查结果估计该校学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为多少人？ 【解答】解：（1）从图中可知，类别为B的学生人数为100，所占比例为50%， 所以本次共调查了学生为100÷50%＝200（人）， 被调查的学生中，类别为C的学生有200×14%＝28（人）， 故答案为：200，28； （2）∵总人数200，B类有100人，C类有28人，D类有12人， ∴类别为A的学生有200﹣100﹣12﹣28＝60（人）； （3）∵类别为D类的学生12人，总人数200人， ∴类别为D的学生数所对应的圆心角的度数为360°＝21.6°； （4）类别为A和B的学生总数为60+100＝160， 类别为A和B的学生占总人数的比例为100%＝80%， ∴该校1500名学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约1500×80%＝1200（人）． 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同．若“从中任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是随机事件，则n的值可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同．若“从中任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是随机事件，则n的值可能是5， 故选：A． 2．在▱ABCD中，AC为对角线，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF．若EF＝5，则AD的长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFBC， ∵EF＝5， ∴BC＝2EF＝10， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝10， 故选：B． 3．若x2﹣2x＝4，则x4﹣2x3﹣8x﹣6的值为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【解答】解：由条件可得：原式＝x2（x2﹣2x）﹣8x﹣6 ＝4x2﹣8x﹣6 ＝4（x2﹣2x）﹣6 ＝4×4﹣6 ＝10． 故选：B． 4．在英文句子“HappyNationalDay”中，字母“a”出现的频率为 　 　 ． 【解答】解：由题意得：字母“a”出现的频率0.25， 故答案为：0.25． 5．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC，连接PA，则∠PAD＝　 　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形， ∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝∠DAB＝90°，∠PBC＝60°， ∴∠ABP＝30°， ∴， ∴∠PAD＝90°﹣75°＝15°； 故答案为：15°． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F．若AB＝4，AD＝8，则BF的长为 　 　 ． 【解答】解：连接FA，如图所示， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝90°， ∴AB2+BF2＝AF2， 设BF＝x，则CF＝8﹣x， ∵42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即BF＝3， 故答案为：3． 7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若AB＝4，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是 　 ． 【解答】解：过C作CG⊥于G，CH⊥AD于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝45°，AB＝BC＝CD＝4， ∵∠CGB＝∠CHD＝90°， ∴CG＝CH4＝2， ∵CE＝CF， ∴Rt△CEG≌Rt△CFH（HL）， ∴四边形AECF的面积＝四边形AECF的面积AGCH的面积＝菱形ABCD的面积﹣2△BCG的面积＝4×22288， 故答案为：88． 8．把下列各式分解因式： （1）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）（2）ab3﹣4ab2+4ab． 【解答】解：（1）原式＝m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y）， ＝（x﹣y）（m2﹣n2）， ＝（x﹣y）（m+n）（m﹣n）； （2）原式＝ab（b2﹣4b+4）， ＝ab（b﹣2）2． 故答案为：（x﹣y）（m+n）（m﹣n）；ab（b﹣2）2． 9．如图，在▱ABCD中，O为边CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，连接DE，AC，∠ACB＝90°． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若BC＝1，∠B＝60°，则OC的长是 　 　 ． 【解答】（1）证明：∵点O是CD的中点， ∴DO＝CO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADO＝∠ECO， 在△ADO和△ECO中， ， ∴△AOD≌△EOC（ASA）， ∴AO＝EO， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴平行四边形ACED是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形ACED是矩形， ∴AE＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BE， ∴BE＝2BC＝2， ∴CD＝AE＝2， ∴OCCD＝1， 故答案为：1． 10．某校开展了“学史明理，学史崇德”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下统计表和统计图． 抽取的学生的竞赛成绩频数分布表 等级 成绩x/分 频数 A 50≤x＜60 m B 60≤x＜70 40 C 70≤x＜80 50 D 80≤x＜90 70 E 90≤x＜100 24 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 　 　 ，m＝ 　 　 ； （2）B等级所在扇形的圆心角的度数是 　 　 °； （3）若成绩在80分及以上为优秀，该校共3000名学生，请你估计该校学生成绩优秀的人数． 【解答】解：（1）本次抽样调查的学生共有50÷25%＝200（人）， A等级的人数为200﹣40﹣50﹣70﹣24＝16（人）， 故答案为：200，16； （2）B等级所在扇形的圆心角的度数是360°72°， 故答案为：72； （3）30001410（人）， ∴估计该校学生成绩优秀的人数有1410人． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个球，记录下颜色后放回．通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在15%，那么可以推算a大约是（　　） A．11 B．14 C．17 D．20 【解答】解：由题意可得，15%， 解得，a＝17， 经检验a＝17是原方程的解． 故选：C． 2．如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点C的横坐标为1，∠B＝60°，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，若点B的对应点是点B1，那么点B1的坐标是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA1B1C1， 过B1作B1H⊥y轴于H，过C作CM⊥OA于M， ∵C的横坐标是1， ∴OM＝1， ∵四边形OABC是菱形， ∴∠AOC＝∠B＝60°，OA＝OC＝AB， ∴∠OCM＝90°﹣60°＝30°， ∴OC＝2OM＝2， 由旋转的性质得到：OA1＝OA＝2，A1B1＝AB＝2，∠A1OC1＝60°， ∵OC1∥A1B1， ∴∠HA1B1＝∠A1OC1＝60°， ∴∠HB1A1＝90°﹣60°＝30°， ∴HA1A1B1＝1， ∴HB1， ∵OH＝OA+AH＝3， ∴点B1的坐标是（，﹣3）． 故选：A． 3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，E是AD上一点，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EH⊥AC，垂足为H，则EF+EH的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OE，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，，， ∴OA＝OD， 在Rt△ABC中， ， ∴OA＝OD＝5， ∵S△OAE+S△ODE＝S△AODS矩形ABCD′， ∵OA•EHOD•EFAB•BC， 且 ， 解得：， 故选：C． 4．已知数据：，，，2π﹣1，0，其中无理数出现的频数为　 　 ． 【解答】解：已知数据：，，，2π﹣1，0，其中无理数有：，2π﹣1， 所以出现的频数为2， 故答案为：2． 5．一个口袋中装有黑色和白色小球共20个，它们除颜色之外完全相同．将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到白球的频率稳定在0.35左右，则估计这个口袋中黑球的个数为 　 　 ． 【解答】解：估计这个口袋中白球的个数约为20×0.35＝7（个）， 所以黑球的个数为20﹣7＝13（个）， 故答案为：13． 6．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝　 　 ． 【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， ∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线， 又∵AD＝BC， ∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°， ∴∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣66°）＝134°， ∴∠FEG（180°﹣∠FGE）＝23°， 故答案为：23°． 7．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b+2026的值为　 　 ． 【解答】解：∵a+b＝3， ∴a2﹣b2+6b+2026 ＝（a+b）（a﹣b）+6b+2026 ＝3（a﹣b）+6b+2026 ＝3a﹣3b+6b+2026 ＝3a+3b+2026 ＝3（a+b）+2026 ＝9+2026 ＝2035． 故答案为：2035． 8．因式分解： （1）a2（x﹣y）+9（y﹣x）； （2）（a2+4）2﹣16a2． 【解答】解：（1）a2（x﹣y）+9（y﹣x） ＝a2（x﹣y）﹣9（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣9） ＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）； （2）（a2+4）2﹣16a2． ＝[（a2+4）+4a][（a2+4）﹣4a] ＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a） ＝（a+2）2（a﹣2）2． 9．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）连接BE，若AB＝4，AD＝5，且EF⊥BD，求△ABE的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵EF⊥BD， ∴EF垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝4+5＝9． 10．某校数学兴趣小组想要了解本校学生对四种艺术选项（演唱、民乐、舞蹈、杂技）的喜爱情况，随机抽取了部分学生完成调查问卷（如图1），并根据调查结果绘制了两种不完整的统计图（如图2）． （1）本次调查共抽取了 　 　 名学生； （2）将条形统计图补充完整，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 　 　 ； （3）若该校共有1800名学生，请估计该校最喜欢舞蹈的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查共抽取了20÷40%＝50（名）； 故答案为：50； （2）喜欢C选项的人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（人）， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为360°36°； 故答案为：36°； （3）1800360（名）， 答：估计该校最喜欢舞蹈的学生人数为360名． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　）个． A．48 B．60 C．18 D．54 【解答】解：设红球有x个，黑球有y个，由题意得： 15% 45% 解得x＝18，y＝54 ∴白球数＝120﹣15﹣54＝48个． 故选：A． 2．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴， 故选：D． 3．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为0.2，则第六组的频率是 　 　 ． 【解答】解：因为共有40个数据，且第五组的频率为0.20，所以第五组的频数为0.2×40＝8； 则第六组的频数为40﹣（8+7+7+6+8）＝4，所以第六组的频率为0.1． 故答案为：0.1． 4．若矩形的对角线长为4cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 　　 cm2． 【解答】解：如图， 在矩形ABCD中，AC＝BD＝4cm，∠AOB＝60°， ∴， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2cm， 在Rt△ABC中，， ∴， 故答案为：． 5．已知a+b＝2，ab＝1，则的值为 　 　 ． 【解答】解： ， 当a+b＝2，ab＝1时， 原式， 故答案为：2． 6．把下列各式分解因式： （1）3a2﹣6a； （2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）； （3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）． 【解答】解：（1）3a2﹣6a＝3a（a﹣2）； （2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1） ＝（a﹣1）2﹣b（a﹣1） ＝（a﹣1）（a﹣1﹣b）； （3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y） ＝﹣2x（x﹣y）+（x+y）（x﹣y） ＝（x﹣y）（﹣2x+x+y） ＝（x﹣y）（y﹣x） ＝﹣（x﹣y）（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）2． 7．如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接AE交BD于点F，且∠EAD＝∠CDA，∠C＝110°． （1）∠EAD的度数； （2）当AF⊥BD时，求∠ABD的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∵∠C＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝70°， ∴∠EAD＝∠CDA＝70° （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C＝110°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝110°﹣70°＝40°， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝50°． 8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）如果AC＝BC，那么四边形AMCN是矩形吗？证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴， ∴AM＝CN， ∵AB∥CD， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）四边形AMCN是矩形， 证明：连接MN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴CNCD，BMAB， ∴BM＝CN， ∵AB∥CD， ∴四边形BMNC是平行四边形， ∴BC＝MN， ∵AC＝BC， ∴AC＝MN， ∵四边形AMCN是平行四边形， ∴如果AC＝BC，那么四边形AMCN是矩形． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 【解答】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t， 解得t＝4． 答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形； （2）设t秒后，四边形AQCP是菱形 当AQ＝CQ，即8﹣t时，四边形AQCP为菱形． 解得：t＝3． 答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形； （3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm， 面积为：4×8﹣23×4＝20（cm2）． 10．2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 60≤x＜70 15 0.1 70≤x＜80 a 0.2 80≤x＜90 60 b 90≤x＜100 45 c （1）表中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？ 【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，c＝45÷150＝0.3，b＝60÷150＝0.4， 故答案为：30，0.4，0.3； （2）补全频数分布直方图如下： （3）360×0.3＝108（名）， 答：估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有108名． 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．对某班40位同学的一次考试成绩进行统计，若频数分布表中80.5～90.5分这一组的频率是0.2，则成绩在该分数段的人数是　 　 ． 【解答】解：∵40×0.2＝8， ∴这个分数段的人数是8． 故答案为：8． 2．已知x﹣y＝1，xy＝2，则代数式x3y﹣2x2y2+xy3的值是　 　 ． 【解答】解：∵x﹣y＝1，xy＝2， ∴原式＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2＝2， 故答案为：2 3．如图，四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝12，BD＝8，则四边形EFGH的周长是　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H， ∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线， ∴EFAC＝6，FGBD＝4，GHAC＝6，EHBD＝4， ∴四边形EFGH的周长为：EF+FG+GH+HE＝6+4+6+4＝20， 故答案为：20． 4．如图，▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，∠EAF＝45°，则∠BAD＝　 　 ． 【解答】解：∵AE、AF分别为BC、CD上的高， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝135°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C＝135°， 故答案为：135°． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕是EF，连接BE、DF，则四边形BEDF的周长是 　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8， ∴AD∥BC，AE＝8﹣DE，∠A＝90°， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵将矩形纸片ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕是EF， ∴点B与点D关于直线EF对称，∠DFE＝∠BFE， ∴EF垂直平分BD，∠DEF＝∠DFE， ∴BE＝DE，BF＝DF，且DE＝DF， ∴BE＝DE＝EF＝DF， ∴四边形BEDF是菱形， ∵AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣DE）2＝DE2， 解得DE＝5， ∴BE+DE+EF+DF＝4DE＝20， ∴四边形BEDF的周长是20， 故答案为：20． 6．如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，过点B画AC的垂线； （2）如图2，E为AB边上一点，在CD边上画点F，使得DF＝BE； （3）如图3，E为AB边上一点，在BC边上画点F，使得BF＝BE． 【解答】解：（1）如图1，直线BD即为所求． （2）如图2，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长交CD于点F， 则点F即为所求． （3）如图3，连接CE，BD相交于点G，连接AG并延长交BC于点F， 则点F即为所求． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC＝90°． （1）求证：AC＝BD； （2）点E在边BC上，且∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD； （2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OAAC＝5， ∵∠CEO＝∠COE， ∴CE＝OC＝5， 8．某校为了丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜爱以上哪种球类运动项目，该校随机抽取部分学生进行调查（每名学生必选且仅选一种），并绘制了如下不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ，扇形统计图中C对应扇形圆心角的度数是　 　 ． （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，请你估计该校最喜欢E项目的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200， 扇形统计图中C对应圆心角的度数为360°36°； 故答案为：200，36°； （2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30（人）， 补全条形统计图如下： （3）2000460（名）， 答：估计该校最喜欢E项目的学生人数为460名． 9．如图，地面上有一个封闭图形ABCD，为了求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（把小石子看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数m+n 50 153 300 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 62 124 … 小石子落在圆外（含边界）的次数n 30 91 176 … （精确到0.01） a 0.68 0.70 … （1）填空：a＝　 　 （精确到0.01）； （2）当投掷的次数很大时，的值越来越接近　 　 （结果精确到0.1）； （3）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　 　 附近（结果精确到0.1）； （4）请利用（3）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【解答】解：（1）a0.67； 故答案为：0.67； （2）当投掷的次数很大时，的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7； （3）∵20÷50＝0.4， 62÷153≈0.41， 124÷300≈0.41， ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4附近； 故答案为：0.4； （4）设封闭图形的面积为a， 根据题意得：0.4， 解得：a＝10π， 答：估计整个封闭图形的面积是10π平方米． 10．【阅读材料】 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1（此处可看作在原式上添加“+4﹣4”，也可看作将3拆分为“+4﹣1”）＝（x+2）2﹣12＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）． 【解决问题】 （1）用配方法将x2﹣6x﹣16分解因式； （2）用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式； （3）已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，求该等腰三角形的周长． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣6x+9）﹣9﹣16 ＝（x﹣3）2﹣25 ＝（x﹣3）2﹣52 ＝（x﹣3﹣5）（x﹣3+5） ＝（x﹣8）（x+2）； （2）原式＝[（x+y）2+10（x+y）+25]﹣25+16 ＝（x+y+5）2﹣9 ＝（x+y+5）2﹣32 ＝（x+y+5﹣3）（x+y+5+3） ＝（x+y+2）（x+y+8）； （3）由条件可得（a2﹣4a+4）+（b2﹣2b+1）﹣4﹣1+5＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0， ∵（a﹣2）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴（a﹣2）2＝0，（b﹣1）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵1+1＝2，不满足三角形的三边关系， ∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵2+1＞2， ∴可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为2+2+1＝5． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知多项式4x3y+M可分解因式为4xy（x2+xy﹣y2），则M为　 ． 【解答】解：4xy（x2+xy﹣y2）＝4x3y+4x2y2﹣4xy3， 由条件可知M＝4x2y2﹣4xy3． 故答案为：4x2y2﹣4xy3． 2．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是　 　 （填序号） 【解答】解：从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是偶数的概率是； 小于6的数的概率是； 不小于9的数概率是， 则这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③； 故答案为：②①③． 3．为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有　 　 只大白鹭． 【解答】解：设该湿地公园约有x只大白鹭， ∴0.1， 解得x＝500， 故答案为：500． 4．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE＝66°，则∠BCE＝　 　 ． 【解答】解：连接AE， ∵∠DCE＝66°，点D在线段EC的垂直平分线上， ∴∠CED＝66°，∠CDE＝48°，DE＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB， ∴∠ABE＝∠CDE＝48°， ∵若点E在线段AD的垂直平分线上， ∴EA＝ED， ∴AB＝AE， ∴∠AEB＝48°， ∴∠AED＝132°， ∴∠ADE＝24°， ∴∠BCE＝180°﹣24°﹣48°﹣66°＝42°． 故答案为：42°． 5．在▱ABCD中，内角∠ABC的平分线把边AD分成5和3两部分，则▱ABCD的周长为 　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE（等角对等边）， ∵∠ABC的平分线分对边AD为 5和3 两部分， 如果AE＝3，则DE＝5， ∴AB＝AE＝CD＝3，AD＝BC＝8， ∴▱ABCD的周长为 22； 如果AE＝5，则AB＝CD＝5，AD＝BC＝8， ∴▱ABCD的周长为26； 综上所述，▱ABCD的周长为 22 或 26． 故答案为：22 或 26． 6．如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB＝90°，CE＝3，CB＝5，将△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△CDF，延长BE交DF于点H，连接DE．则△DEH的面积为（　　） A． B．3 C． D．4 【解答】解：由勾股定理得，， ∵将Rt△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△CDF． ∴∠ECF＝90°，∠F＝∠BEC＝∠CEH＝90°，CE＝CF，DF＝BE＝4， ∴四边形CEHF是正方形， ∴EH＝CF＝FH＝CE＝3，∠EHF＝90°， ∴DH＝DF﹣HF＝4﹣3＝1， ∴△DEH的面积， 故选：A． 7．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BD上的点，且DE＝BF，连接BE、DF相交于点G． 求证：（1）BE＝DF； （2）∠ABE＝∠ADF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝BC， ∵DE＝BF， ∴CE＝CF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF； （2）∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADF． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB的中点，连结DE． （1）求证：DE∥AC． （2）若DE，AD＝4，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，E是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC； （2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴AB＝2DE＝5， ∴BD3， ∴BC＝2BD＝6， ∴△ABC的面积BC•AD6×4＝12． 9．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数． 【解答】解：∵在正方形ABCD中，CD∥AB，CD＝BC，∠ABC＝90°，∠DCA＝BCA＝45°， ∴∠AFD＝∠FDC， 在△EDC和△EBC中， ， ∴△EDC≌△EBC（SAS）， ∴∠AFD＝∠FDC＝∠CBE， 分两种情况： ①如图1，当F在AB延长线上时， ∵∠EBF为钝角， ∴只能是BE＝BF，设∠BEF＝∠BFE＝x°， ∴∠CBE＝∠BFE＝x°，∠ABE＝x+x＝2x， ∴∠CBE+∠ABE+∠CBF＝180°， ∴90+x+x+x＝180， 整理得，3x＝90， 解得：x＝30， ∴∠EFB＝30°； ②如图2，当F在线段AB上时， ∵∠EFB为钝角， ∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°， ∵△EDC≌△EBC， ∴∠AFD＝∠FDC＝∠CBE＝2x， ∵∠FBE+∠CBE＝90°， ∴x+2x＝90， 整理得，3x＝90， 解得x＝30， ∴∠EFB＝180°﹣2×30°＝120°． 综上：∠EFB＝30°或120°． 10．先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将（x+y）看成整体，设x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将x+y＝A代入，得（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 【解答】解：（1）设x﹣y＝m， 则m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2 ＝（x﹣y﹣1）2； （2）设a2﹣4a＝k， 则（k+2）（k+6）+4 ＝k2+6k+2k+12+4 ＝k2+8k+16 ＝（k+4）2 ＝（a2﹣4a+4）2 ＝[（a﹣2）2]2 ＝（a﹣2）4； （3）设n2﹣2n＝p， 则（p﹣3）（p+5）+17 ＝p2+5p﹣3p﹣15+17 ＝p2+2p+2 ＝p2+2p+1+1 ＝（p+1）2+1 ＝（n2﹣2n+1）2+1 ＝[（n﹣1）2]2+1 ＝（n﹣1）4+1≥1， 则无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的角平分线交AD于点P，连接CP，刚好CP⊥BP，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．15 C．18 D．24 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC＝45°＝∠ABP， ∴AP＝AB＝3， ∵BP⊥CP， ∴∠BCP＝∠CPD＝45°， ∴∠PCD＝45°＝∠DPC， ∴PD＝CD＝3， ∴AD＝6， ∴矩形ABCD的面积＝3×6＝18， 故答案为：C． 2．大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位：次）：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是　 　 ． 【解答】解：跳绳次数在90～110之间的数据有91，93，100，102，共四个， 故频率为：0.2． 故答案为：0.2． 3．为了了解某校八年级800名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对80名学生每天完成作业所用时间进行了抽查．在这个问题中，样本容量是 　 　 ． 【解答】解：由题意得：这个问题中的样本容量是80． 故答案为：80． 4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点F，E是DF的中点，若AB＝6，BC＝4，则EO的长为 　 　 ． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，AD＝BC＝4，OD＝OB， ∴∠CDF＝∠AFD， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF， ∴∠AFD＝∠ADF， ∴AP＝AD＝4， ∵AB＝6， ∴BF＝2， ∵E是FD中点，DO＝OB， ∴OEBF＝1． 故答案为：1． 5．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C＝　 　 度． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠CBD＝45°， 根据折叠的性质可得：A′B＝AB， ∴A′B＝BC， ∴∠BA′C＝∠BCA′67.5°． 故答案为：67.5． 6．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF＝　 　 ． 【解答】解：连接AQ． ∵E、F分别是AP、QP的中点， 则EF为△APR的中位线， ∴EFAQ6.5， 故答案为：6.5． 7．已知m+n＝3，mn＝2，求下列代数式的值： （1）m3n﹣2m2n2+mn3； （2）m4+n4． 【解答】解：（1）已知m+n＝3，mn＝2， 原式＝mn（m2﹣2mn+n2） ＝mn（m﹣n）2， ∵m+n＝3，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1， ∴原式＝2×1＝2； （2）已知m+n＝3，mn＝2， 原式＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝（m2+n2）2﹣2（mn）2， ∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝9﹣4＝5， ∴原式＝52﹣2×22＝25﹣8＝17． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s． （1）如图，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； （2）若BD＝8cm，AC＝12cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 【解答】解：（1）当E与F重合时，D、E、B、F四点共线； 当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动， ∴AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：由题意可知，AE＝CF＝tcm， 当EF＝BD＝8cm时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形， 分两种情况： ①点E在OA上，点F在OC上， 则EF＝AC﹣AE﹣CF＝（12﹣t﹣t）（cm）， ∴12﹣t﹣t＝8， 解得：t＝2； ②点F在OA上，点E在OC上， 则EF＝AE+CF﹣AC＝（t+t﹣12）（cm）， ∴t+t﹣12＝8， 解得：t＝10； 综上所述，当运动时间t为2s或10s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 9．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5 ＝（x+2）2﹣9 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． （1）【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：x2﹣8x﹣9； （2）【深入研究】试说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数； （3）【拓展运用】已知a，b，c分别是△ABC的三边，且a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+42﹣42﹣9 ＝（x﹣4）2﹣25 ＝（x﹣4）2﹣52 ＝（x﹣4+5）（x﹣4﹣5） ＝（x+1）（x﹣9）． （2）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3 ＝（x﹣3）2+3． ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3＞0． ∴多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数． （3）△ABC为等边三角形．理由如下： ∵a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0． ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0． ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0． ∴a＝b＝c． ∴△ABC为等边三角形． 10．某校组织八年级学生参加消防知识竞赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计图表． 消防知识竞赛成绩的频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A x＜60 2 B 60≤x＜70 6 C 70≤x＜80 9 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是 　 　 °； （3）已知该年级有400名学生参加这次竞赛，若成绩在80分以上（含80分）的为合格，估计该年级成绩合格的有多少人？ 【解答】解：（1）样本容量为6÷12%＝50， 则a＝50﹣（2+6+9+15）＝18， 补全图形如下： 故答案为：18； （2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是360°108°， 故答案为：108； （3）400264（人）， 答：估计该年级成绩合格的约有264人． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $