精品解析：2025-2026学年人教版八年级数学下册期中数学试卷

2025－2026学年关店理想学校八年级人教版数学下册期中试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. 4 D. 24 8. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，，，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 12. 已知，则y的值是______． 13. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 14. 图1中的菱形沿对角线裁剪分成的四个三角形无重叠地拼成如图2所示的正方形．若拼成后的大正方形面积比菱形的面积大9，则菱形较长对角线与较短对角线的差为______ 15. 如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________ 三、解答题：本题共8小题，共63分． 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 18. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 19. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 21. 课本再现观察下列等式，解答后面的问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． （1）请直接写出第个等式__________； （2）用字母是正整数，表示这一规律是：__________，并给出证明； （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，，，请你帮助直接写出，的值，__________，__________． 22. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23. 如图，正方形中，点E为边的中点，作分别交、于、点，连． （1）求证：F点为的中点； （2），，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年关店理想学校八年级人教版数学下册期中试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含有开得尽的因数16，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，若三角形的一个角为90度或三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A．，， ，， 不是直角三角形， 故该选项符合题意； B．， ， 是直角三角形， 故该选项不合题意； C．， ，即， 是直角三角形， 故该选项不合题意； D．，， ， ， 是直角三角形， 故该选项不合题意； 故选A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减与乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的相应运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 则， 点A表示的实数是， 故选：D． 5. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 6. 如图，在中，，D、E分别是的中点，F是上一点，，连接，若，则的长度为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，得到，结合，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可； 【详解】解：，D、E分别是的中点， ， ， ， ， ； 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. 4 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】先根据菱形的性质得到BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OC＝OE＝，则利用勾股定理可计算出CD＝4，然后根据菱形的性质计算菱形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC， ∵AE⊥DC， ∴∠AEC＝90°， 而OA＝OC， ∴OA＝OC＝OE＝， 在Rt△OCD中，CD＝＝＝4， ∴菱形的周长为4×4＝16． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组内角；直角三角形斜边上中线等于斜边一半及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 9. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，，，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，合理添加辅助线是解题的关键． 利用正方形和等边三角形的性质，通过角的等量代换可判断①；利用三角形的判定方法可证出，即可判断②；利用三角形的面积公式分别表示出和的面积式子，即可判断③；过点作交的延长线于点，由角的直角三角形边的比值关系可得到，建立三角形的面积式子即可判断④． 【详解】∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵在和中： ， ∴（SAS），故②正确； 过点作于点，于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和的面积比为，故③正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴①②③④都正确； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 已知，则y的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 14. 图1中的菱形沿对角线裁剪分成的四个三角形无重叠地拼成如图2所示的正方形．若拼成后的大正方形面积比菱形的面积大9，则菱形较长对角线与较短对角线的差为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查菱形和正方形的性质，理解基本性质，并灵活运用是解题关键．先根据题意确定出大正方形面积比菱形的面积大的部分为大正方形中的小正方形的面积，从而确定出小正方形的边长，即可结合题意得出菱形两对角一半的差值，最后根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，菱形较长对角线与较短对角线的差即为， 由题意，在大正方形中，比菱形的面积大的部分即为正方形， ∴正方形的面积为9， ∴， ∵， ∴由题意可得：， ∴，即：， 由菱形的性质可得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再证明四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 解得， ∵于点F，于点G， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共63分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数计算，二次根式计算，平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，再去括号合并同类项即可； （2）先利用平方差公式计算，再计算除法，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 18. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【答案】（1） （2） ①画图如下：△DEF即为所求；直角三角形； 由图可知：，， ∴， ∴△DEF是直角三角形； ②2 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解； （2）①根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略 ②． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 19. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：． 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 21. 课本再现观察下列等式，解答后面的问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． （1）请直接写出第个等式__________； （2）用字母是正整数，表示这一规律是：__________，并给出证明； （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，，，请你帮助直接写出，的值，__________，__________． 【答案】（1） （2） 解：用字母是正整数，表示这一规律是：， 证明： ， ． （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题干中的已知等式即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律，然后利用二次根式的运算法则证明即可； （3）根据规律将原式变形后计算即可． 【小问1详解】 解：由题干中的等式得第个等式为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 综上，，． 22. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （3）4小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：， ， ，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， 小时， 答：海港C受台风影响的时间会持续4小时． 23. 如图，正方形中，点E为边的中点，作分别交、于、点，连． （1）求证：F点为的中点； （2），，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ，， ， ∴点为的中点； （2）2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键． （1）由正方形的性质结合题意易证，得出，从而可推出点为的中点． （2）延长到，使得，连接，易证，得出，，从而推出，是等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到，使得，连接， ， ， 又∵E，F分别是，的中点， ， ∵在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $