期中真题专项训练01 三角8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练01 三角 【考点一】任意角及其度量 【考点五】 二倍角公式 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】 三角变换的应用 【考点三】 诱导公式 【考点七】 正弦定理 【考点四】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点八】 余弦定理解三角形 【考点一】任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海·期中）“为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 3.（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 【答案】 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 【答案】/ 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 5．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为_______. 【答案】 【分析】利用弧长公式即可求解. 【详解】根据弧长公式，， 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·期中）若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为__． 【答案】 【分析】设扇形的弧长为，半径为，则，利用扇形的面积公式可求得的值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则， 故扇形的面积为，解得. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 8.（23-24高一下·上海·期中）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【详解】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 10.（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点， 则________． 【答案】/ 【分析】根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】根据正弦函数的定义，. 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由已知点到原点的距离， 所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故答案为： 13．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 14.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 15．若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【详解】（1），或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）， ． 【考点三】诱导公式 16.与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式逐一检查每个选项. 【详解】根据三角函数诱导公式，. ，A选项错误；∵，∴B选项正确； ∵，C选项错误；∵，∴D选项错误. 故选：B 17.（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 【答案】/ 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 20．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 【答案】 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 21.（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 22．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 23.（24-25高一下·上海·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】由平方关系求出，利用两角差的公式求出得解. 【详解】，， ， 则，所以. 故答案为：0. 24．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 【答案】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 26．（25-26高一下·上海·月考）某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 【答案】 【分析】延长交于点，设（为锐角），由题意可得，进而利用可求结论. 【详解】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以. 27.三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 【答案】，证明见详解. 【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可. 【详解】猜想. 证明：由诱导公式可得， 所以. 28．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 【考点五】二倍角公式 29.（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【详解】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角. 故选：B. 30．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及充分条件必要条件的概念即得. 【详解】由，可得， 所以由可推出，而由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 31.（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则__________． 【答案】/ 【分析】由二倍角公式和同角三角函数关系即可求解. 【详解】. 故答案为：. 32．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则______. 【答案】 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 33．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，角、、的对边分别为、、，，则角______. 【答案】或 【分析】根据余弦的倍角公式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，因为，可得， 因为，可得，所以或. 故答案为：或. 34．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为______. 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 35.（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证； （2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式. 【详解】（1） ； （2）将代入公式， 可得，   因为，， 所以. 36．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， （2）由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 【考点六】三角变换的应用 37.在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状. 【详解】因为， 所以， ，又 所以，即. 故选：A. 38．在△中，已知，则△的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断△的形状. 【详解】由题意，， ∴或， ∵，， ∴或. 故选：D 39.把化为（其中，的形式：________________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将转化为即可. 【详解】因为， 所以形式即为. 故答案为：. 40．（23-24高一下·上海闵行·期中）若可化为，则_______. 【答案】 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】， 令，因为， 所以由，即 ， 故答案为： 41．若，则__________. 【答案】 【分析】结合辅助角公式及诱导公式，找出已知角与所求角的关系进行化简即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 则， 故答案为：． 42．如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截. 【答案】或 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 43.（23-24高一下·上海浦东新·期中）如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直. （1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值； （2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【分析】（1）利用锐角三角函数定义表示出与，根据，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，即可求出， （2）设，设，表示出两个角的正切，再结合二次函数的性质即可求得结论． 【详解】（1）因为，，所以 因为看，视角(即)是看，视角(即)的2倍， 所以 所以，解得， 所以的值为； （2）设，设，则， 因为，所以，， 所以， 所以 所以当时，看，两人视角(即)最大，最大值为 44．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案； （2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论. 【详解】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以． （2）， ， 所以， ， 所以， 同理， 所以线段． 【考点七】正弦定理 45.（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 46．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可. 【详解】可得，， ， 又， 由正弦定理得， 则， 解得，. 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或，答案不唯一，不符合题意， 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或， ，，答案唯一，符合题意， 故答案为， 故选：B. 47.（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 48．在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为____________. 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】在中，∴， 由正弦定理可得， 即， 因为，，可得. 故答案为： 49．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是______个. 【答案】2 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 50．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 51.在中，分别是三个内角的对边，若，，.求： (1) (2)的面积 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据二倍角公式可求得，，根据三角形内角和以及和差公式即可求得； （2）根据正弦定理，可求得，代入面积公式即可求得面积. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以. 则. （2）由（1）知，，又，， 由正弦定理可得，， 所以，的面积. 52．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 【考点八】余弦定理解三角形 53. 中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】有已知及余弦定理可得： 故 所以方程无实数根. 故选：C 54．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断． 【详解】设三条高的长度分别为所对的三边分别为，，， 则由三角形面积公式可知，， 故可设，，，则，故， 则最大角为，由余弦定理得： 则为钝角，故此三角形为钝角三角形． 故选：D． 55.（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理得到的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接， 因为在圆内接四边形中，，，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或（舍去），则， 所以圆内接四边形的面积. 故答案为：. 56．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 57．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为______. 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 58．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则______. 【答案】 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 59.（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 60．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练01 三角 【考点一】任意角及其度量 【考点五】 二倍角公式 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】 三角变换的应用 【考点三】 诱导公式 【考点七】 正弦定理 【考点四】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点八】 余弦定理解三角形 【考点一】任意角及其度量 1．（24-25高一下·上海·期中）“为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 3.（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 4．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 5．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为_______. 6．（24-25高一下·上海·期中）若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为__． 7．（24-25高一下·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 8.（23-24高一下·上海·期中）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10.（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点， 则________． 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 12．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则________． 13．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 14.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 15．若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 【考点三】诱导公式 16.与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 17.（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 19．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则______. 20．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是____________. 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 21.（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23.（24-25高一下·上海·期中）已知，，则__________． 24．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________. 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则________． 26．（25-26高一下·上海·月考）某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 27.三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 28．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【考点五】二倍角公式 29.（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 30．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31.（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则__________． 32．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则______. 33．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，角、、的对边分别为、、，，则角______. 34．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为______. 35.（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 36．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【考点六】三角变换的应用 37.在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 38．在△中，已知，则△的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 39.把化为（其中，的形式：________________． 40．（23-24高一下·上海闵行·期中）若可化为，则_______. 41．若，则__________. 42．如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角________来截. 43.（23-24高一下·上海浦东新·期中）如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直. （1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值； （2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值. 44．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【考点七】正弦定理 45.（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 46．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 47.（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为__________. 48．在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为____________. 49．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是______个. 50．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可） 51.在中，分别是三个内角的对边，若，，.求： (1) (2)的面积 52．（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【考点八】余弦定理解三角形 53. 中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个 54．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 55.（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________． 56．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 57．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为______. 58．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则______. 59.（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 60．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 1 学科网（北京）股份有限公司 $