期中知识复习清单：运算律 2025-2026学年四年级下册数学人教版

2025-2026学年四年级下册数学人教版期中知识复习清单 【运算律】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 5 三、易错点点拨 .......................................................... 7 四、经典题型精讲 ........................................................ 9 五、学习宝典 ............................................................ 11 六、闯关练习 ........................................................... 11 目标 1.理解加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的核心含义，能准确用文字描述和字母表示每一种运算律，建立运算律的数学模型。 2.熟练掌握每一种运算律的适用场景，能灵活运用运算律进行简便计算，简化计算过程、提高计算准确率，理解“凑整”“提取公因数”等简便计算的核心思路。 3.掌握减法和除法的简便运算性质，能区分运算律与简便运算性质的差异，熟练运用“连减变减和”“连除变除积”等技巧解决计算问题。 4.能结合运算律解决实际应用题，理清题目中的数量关系，选择合适的运算律简化计算，提升数学应用能力和逻辑推理能力。 5.规避本单元高频易错点（如乘法分配律漏乘、混淆运算律、滥用简便运算等），能规范书写简便计算的步骤，熟练应对期中检测中的基础题、常考题和压轴题。 6.体会运算律在数学计算和生活中的应用价值，培养抽象思维、规范答题和主动检验的良好习惯，为期中复习夯实基础。 一、知识点精讲 （1）加法运算律（基础，期中必考） ① 加法交换律 核心意义：两个数相加，交换两个加数的位置，它们的和不变。这一规律体现了加法运算的对称性，是简便计算中“凑整”的基础方法之一。 字母表示：（其中a、b可以是任意整数、小数，四年级下册重点考查整数）。 举例说明：25 + 38 = 38 + 25 = 63；126 + 57 = 57 + 126 = 183；78 + 0 = 0 + 78 = 78（0与任何数相加，交换位置和不变）。 拓展：多个数相加，任意交换加数的位置，和不变。例如：25 + 38 + 75 = 25 + 75 + 38 = 100 + 38 = 138（交换38和75的位置，凑整计算更简便）。 ② 加法结合律 核心意义：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。核心作用是改变加法的运算顺序，实现“凑整”简化计算。 字母表示：（a、b、c均为整数，四年级重点考查整数运算）。 举例说明：（28 + 36）+ 64 = 28 +（36 + 64）= 28 + 100 = 128；（157 + 43）+ 89 = 157 +（43 + 89）= 157 + 132 = 289。 关键提醒：加法结合律常与加法交换律结合使用，先通过交换律调整加数位置，再用结合律凑整。例如：56 + 29 + 44 + 71 =（56 + 44）+（29 + 71）= 100 + 100 = 200（先交换29和44的位置，再分别结合凑整）。 （2）乘法运算律（重点，期中常考+压轴） ① 乘法交换律 核心意义：两个数相乘，交换两个因数的位置，它们的积不变。与加法交换律逻辑一致，适用于乘法凑整计算，是乘法简便运算的基础。 字母表示：（a、b为非0整数，四年级下册重点考查整数乘法，0乘任何数得0，交换位置积仍为0）。 举例说明：25 × 4 = 4 × 25 = 100；125 × 8 = 8 × 125 = 1000；36 × 0 = 0 × 36 = 0。 拓展：多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。例如：25 × 3 × 4 = 25 × 4 × 3 = 100 × 3 = 300（交换3和4的位置，利用25和4凑整）。 重点记忆：四年级简便计算的“黄金凑整组合”——25和4、125和8，这两组因数相乘能得到整百、整千数，是乘法简便运算的核心技巧，需熟练掌握。 ② 乘法结合律 核心意义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。核心作用是改变乘法运算顺序，结合“黄金凑整组合”简化计算。 字母表示：（a、b、c为非0整数，四年级重点考查整数运算）。 举例说明：（25 × 4）× 5 = 25 ×（4 × 5）= 25 × 20 = 500；（125 × 8）× 37 = 125 ×（8 × 37）= 1000 × 37 = 37000。 关键提醒：乘法结合律常与乘法交换律结合使用，先通过交换律调整因数位置，再用结合律凑整。例如：125 × 32 × 25 = 125 ×（8 × 4）× 25 =（125 × 8）×（4 × 25）= 1000 × 100 = 100000（先拆分32为8×4，再交换、结合凑整）。 ③ 乘法分配律（难点，期中压轴重点） 核心意义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。这是本单元最难、最易出错的运算律，也是期中检测的重点压轴考点。 字母表示：正向运用：；逆向运用：（a、b、c为整数，含0）；拓展（差的分配）：。 举例说明： 1.正向运用（和的分配）：（20 + 4）× 25 = 20 × 25 + 4 × 25 = 500 + 100 = 600；（100 + 8）× 125 = 100 × 125 + 8 × 125 = 12500 + 1000 = 13500。 2.逆向运用（提取公因数）：35 × 68 + 65 × 68 =（35 + 65）× 68 = 100 × 68 = 6800；72 × 39 - 72 × 29 = 72 ×（39 - 29）= 72 × 10 = 720。 3.拓展运用（差的分配）：（50 - 2）× 30 = 50 × 30 - 2 × 30 = 1500 - 60 = 1440；99 × 45 =（100 - 1）× 45 = 100 × 45 - 1 × 45 = 4500 - 45 = 4455。 关键提醒：乘法分配律的核心是“分别相乘、再相加/减”，不能漏乘其中一个数；逆向运用时，要找准相同的公因数（隐藏公因数需转化，如78 = 78 × 1），这是期中易错重点。 （3）减法的简便运算（常考，与加法运算律关联） ① 核心性质（两种形式，均为期中常考） 1.一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。核心作用是将“连减”转化为“减和”，若两个减数能凑整，可简化计算。 字母表示：（b、c均为整数，a ≥ b + c）。 举例：100 - 35 - 65 = 100 -（35 + 65）= 100 - 100 = 0；150 - 48 - 52 = 150 -（48 + 52）= 150 - 100 = 50；200 - 75 - 25 = 200 -（75 + 25）= 100。 2 一个数连续减去两个数，交换两个减数的位置，差不变。适用于其中一个减数与被减数能凑整的情况。 字母表示：（a ≥ b + c）。 举例：123 - 56 - 23 = 123 - 23 - 56 = 100 - 56 = 44；187 - 98 - 87 = 187 - 87 - 98 = 100 - 98 = 2。 关键提醒：运用减法简便运算时，若括号前面是减号，括号内的减号要变成加号（添括号变号）；反之，去括号时，括号前面是减号，括号内的加号要变成减号。 （4）除法的简便运算（常考，与乘法运算律关联） ① 核心性质（两种形式，期中高频考点） 1.一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。核心作用是将“连除”转化为“除积”，若两个除数能凑整（尤其是凑成与被除数能整除的数），可简化计算。 字母表示：（b、c均不为0，a能被b×c整除）。 举例：120 ÷ 5 ÷ 4 = 120 ÷（5 × 4）= 120 ÷ 20 = 6；720 ÷ 8 ÷ 9 = 720 ÷（8 × 9）= 720 ÷ 72 = 10；480 ÷（8 × 6）= 480 ÷ 8 ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10（逆向运用）。 2.一个数连续除以两个数，交换两个除数的位置，商不变。适用于其中一个除数能整除被除数的情况。 字母表示：（b、c均不为0）。 举例：240 ÷ 8 ÷ 3 = 240 ÷ 3 ÷ 8 = 80 ÷ 8 = 10；360 ÷ 4 ÷ 9 = 360 ÷ 9 ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10。 补充：除法与分数的关联（贴合分数书写要求）：除法算式可以转化为分数形式，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，即（b≠0）。例如：5 ÷ 2 = ，12 ÷ 4 = （可化简为3），这一转化在简便计算中可辅助理解除法性质。 （5）运算律的综合运用（期中常考，提升题型） ① 核心思路 根据算式的特点，灵活选择一种或多种运算律、简便运算性质，先凑整（整十、整百、整千数），再计算，遵循“能简则简、不简则按顺序算”的原则，避免盲目凑整导致错误。 关键技巧：先观察算式中数字的特点（是否有25、125、4、8等凑整数字），再判断运算类型（加减、乘除、混合），最后选择合适的运算律或性质。 ② 综合运用举例 1.加减混合简便运算：156 + 78 - 56 = 156 - 56 + 78 = 100 + 78 = 178（运用加法交换律，交换78和56的位置，先算减法凑整）。 2.乘除混合简便运算：25 × 32 ÷ 4 = 25 ÷ 4 × 32 = 25 ×（32 ÷ 4）= 25 × 8 = 200（运用乘法交换律，调整运算顺序，凑整计算）。 3.加减乘除混合简便运算：（125 + 75）× 8 - 400 = 125 × 8 + 75 × 8 - 400 = 1000 + 600 - 400 = 1200（运用乘法分配律，先展开计算，再按顺序加减）。 4.复杂简便运算：99 × 38 + 38 + 50 × 42 × 2 =（99 + 1）× 38 +（50 × 2）× 42 = 100 × 38 + 100 × 42 = 3800 + 4200 = 8000（同时运用乘法分配律逆向和乘法结合律）。 二、重难点突破 （1）难点1：理解并灵活运用乘法分配律（期中压轴重点） 核心难点：混淆乘法分配律与乘法结合律；正向运用时漏乘其中一个数；逆向运用时找不到隐藏的公因数（如单独的数转化为“数×1”）；符号混淆（差的分配时漏变号）；拆分不规范（如99拆成100-1后，忘记加括号）。 解题技巧： 1.吃透本质：乘法分配律的核心是“分”——将括号里的两个数分别与括号外的数相乘，再相加/减，可结合“几个几”的意义理解：表示“（a + b）个c”，也就是“a个c加b个c”，从根源杜绝漏乘问题。 2.牢记符号规则：和的分配用“+”，差的分配用“-”，括号里是减号，展开后也要用减号，例如，不能写成。 3.逆向运用技巧：找准相同的公因数，若算式中有单独的数（如78、35），可转化为“数×1”，再提取公因数，例如78 × 99 + 78 = 78 × 99 + 78 × 1 = 78 ×（99 + 1），口诀记忆：“单独的数，后面藏个小尾巴×1，找个朋友一起算”。 4.规范步骤：简便运算时，必须写出运用运算律的步骤（如展开、提取公因数），不跳步，避免因跳步导致漏乘、符号错误，例如计算99×45，需写出，再计算结果。 5.对比辨析：区分乘法分配律（适配“加减+乘”）和乘法结合律（适配“纯乘”），例如用分配律，用结合律，避免混淆。 （2）难点2：区分运算律与简便运算性质，灵活选择使用 核心难点：混淆加法结合律与乘法结合律、乘法分配律；分不清减法、除法的简便运算性质与加法、乘法运算律的区别；盲目凑整，忽略运算律的适用条件，导致计算错误。 解题技巧： 1.分类记忆，明确适用场景： - 加法运算律（交换律、结合律）：仅适用于加法算式，核心是“凑整求和”； - 乘法运算律（交换律、结合律、分配律）：仅适用于乘法算式（分配律含加减与乘的组合），核心是“凑整求积”； - 减法简便运算性质：仅适用于连减算式，核心是“连减变减和”； - 除法简便运算性质：仅适用于连除算式，核心是“连除变除积”。 2.先判断运算类型，再选择方法：拿到算式后，先看是加减、乘除还是混合运算，再观察数字特点，确定用运算律还是简便运算性质，例如连减用减法性质，连除用除法性质，乘加/乘减用乘法分配律。 3.避免盲目凑整：简便运算的前提是“符合运算律/性质”，不能为了凑整随意改变运算顺序，例如25 + 75 × 4，不能先算25 + 75，要先算75 × 4，再算加法，因为不符合任何运算律。 4.牢记易错口诀：“同级运算带符号搬家，加乘不变号，减除要变号”，帮助区分运算性质的符号规则。 （3）难点3：运算律在混合运算和实际应用题中的综合运用 核心难点：混合运算中，分不清运算顺序与运算律的关系，不知道何时用运算律、何时按顺序算；解决应用题时，找不到题目中的数量关系，无法选择合适的运算律简化计算；答题步骤不规范，漏写运用运算律的过程。 解题技巧： 1.混合运算优先级：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里的；若能运用运算律简化括号内或乘除部分的计算，可优先使用运算律，例如，先利用加法结合律计算括号内的36 + 64 = 100，再继续计算。 2.应用题解题步骤：先审题，圈出关键信息（已知条件、问题、关键词，如“一共”“每”“连续”），理清数量关系，判断是否需要用简便运算；再列式，选择合适的运算律简化计算；最后检验，确保算式符合数量关系，计算准确，步骤规范。 3.典型应用题适配技巧：购物问题、工程问题、行程问题中，若出现“相同单价×不同数量求和”“相同因数×两个数的和/差”，优先用乘法分配律；若出现“连续减去多个数”“连续除以多个数”，优先用减法、除法简便运算性质。 4. 规范答题：简便运算应用题，要写出运用运算律的步骤，不能直接写结果；答句要完整，包含单位，贴合问题要求。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：混淆乘法分配律与乘法结合律，例如将写成，或把写成； 纠正：牢记两者核心区别——乘法分配律是“加减与乘结合”，需要“分别相乘再相加/减”；乘法结合律是“纯乘法”，只改变运算顺序，不改变因数，例如，不能拆成。 易错点2：认为“所有算式都可以用简便运算”，盲目凑整，忽略运算律的适用条件，例如25 + 75 × 4，误算为（25 + 75）× 4 = 400； 纠正：简便运算必须符合运算律或简便运算性质，不能随意改变运算顺序，25 + 75 × 4 应先算乘法75 × 4 = 300，再算加法25 + 300 = 325。 易错点3：混淆减法、除法的简便运算性质与加法、乘法运算律，例如将写成，或把写成； 纠正：牢记减法性质“连减变减和”（括号内是加号），除法性质“连除变除积”（括号内是乘号），添括号时，括号前面是减号、除号，括号内符号要变号；前面是加号、乘号，符号不变。 易错点4：忽略乘法分配律的逆向运用，找不到隐藏的公因数，例如78 × 101 - 78，误算为78 × 101 - 78 × 78； 纠正：单独的数78可转化为78 × 1，逆向运用乘法分配律，提取公因数78，即78 × 101 - 78 = 78 ×（101 - 1）= 7800，牢记“隐形1”的技巧。 （2）计算类易错点 易错点1：乘法分配律正向运用时漏乘，例如，漏乘2 × 35； 纠正：乘法分配律要“分别相乘再相加/减”，括号里的每一个数都要与括号外的数相乘，正确计算：。 易错点2：乘法分配律差的分配时符号错误，例如，误将减号写成加号； 纠正：差的分配要保持符号一致，括号里是减号，展开后也要用减号，正确计算：。 易错点3：连减、连除简便运算时漏加括号，例如100 - 35 - 65 = 100 - 35 + 65 = 130； 纠正：连减变减和、连除变除积时，必须加上括号，正确计算：100 - 35 - 65 = 100 -（35 + 65）= 0；120 ÷ 5 ÷ 4 = 120 ÷（5 × 4）= 6。 易错点4：拆分数字不规范，例如99 × 38，误拆成100 - 1 × 38，漏加括号； 纠正：拆分数字后，要加上括号，再运用乘法分配律，正确拆分：99 × 38 =（100 - 1）× 38 = 100 × 38 - 1 × 38 = 4455。 易错点5：混合运算中，运算顺序与运算律混淆，例如，误算为25 × 4 + 8 ÷ 2； 纠正：有括号先算括号里的，再按从左到右的顺序算乘除，正确计算：。 易错点6：分数形式表示除法时，颠倒被除数和除数，例如5 ÷ 2 = ； 纠正：除法转化为分数时，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，正确写法：5 ÷ 2 = 。 （3）应用类易错点 易错点1：审题不清，找不到题目中的数量关系，无法选择合适的运算律，例如“每本笔记本8元，买5本，再买10支钢笔，每支12元，一共花多少钱”，误列式为（8 + 12）×（5 + 10）； 纠正：先圈出关键词，明确数量关系：笔记本的总价 + 钢笔的总价 = 总花费，正确列式：8 × 5 + 12 × 10 = 40 + 120 = 160（元），无需用运算律，按顺序计算即可。 易错点2：应用题中，运用运算律时步骤不规范，漏写运用运算律的过程，例如“水果店运来3箱苹果，每箱25千克，4箱梨，每箱25千克，一共运来多少千克”，直接写25 ×（3 + 4）= 175（千克），漏写步骤； 纠正：规范步骤：3 × 25 + 4 × 25 =（3 + 4）× 25 = 7 × 25 = 175（千克），明确写出逆向运用乘法分配律的过程。 易错点3：忽略应用题中的“连续”“一共”等关键词，误用运算律，例如“一根绳子长200米，第一次剪去50米，第二次剪去40米，还剩多少米”，误列式为200 -（50 - 40）= 190（米）； 纠正：连续剪去两个数，用减法简便运算性质，括号内应为两个数的和，正确列式：200 -（50 + 40）= 110（米）。 易错点4：答题时单位遗漏、答句不完整，例如问题“一共花了多少钱”，答句只写“160”，或“160千克”； 纠正：答句要完整，包含单位，贴合问题，正确答句：“一共花了160元”。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 运算律的字母表示与辨析 例题1：填空，写出对应的运算律名称。 （1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）；（4）（ ）。 解析：根据运算律和简便运算性质的定义，对应填写名称，注意区分运算律与减法性质。 答案：（1）加法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律；（4）减法的简便运算性质。 ② 单一运算律的简便计算 例题2：用简便方法计算下面各题。 （1）25 + 56 + 75 （2）125 × 32 × 25 （3）35 × 48 + 65 × 48 （4）100 - 67 - 33 解析： （1）运用加法交换律和结合律，凑整计算：25 + 56 + 75 =（25 + 75）+ 56 = 100 + 56 = 156； （2）运用乘法交换律和结合律，拆分32为8×4，凑整计算：125 × 32 × 25 =（125 × 8）×（4 × 25）= 1000 × 100 = 100000； （3）逆向运用乘法分配律，提取公因数48：35 × 48 + 65 × 48 =（35 + 65）× 48 = 100 × 48 = 4800； （4）运用减法简便运算性质，连减变减和：100 - 67 - 33 = 100 -（67 + 33）= 100 - 100 = 0。 答案：（1）156；（2）100000；（3）4800；（4）0。 ③ 除法与分数的转化 例题3：将下面的除法算式转化为分数形式（分子在上、中间横线、分母在下）。 （1）6 ÷ 5 （2）12 ÷ 4 （3）7 ÷ 2 （4）9 ÷ 10 解析：除法转化为分数，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，能化简的可化简。 答案：（1）；（2）（化简为3）；（3）；（4）。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 运算律的综合运用 例题4：用简便方法计算下面各题。 （1）156 + 89 - 56 + 11 （2）25 ×（40 + 4）- 25 × 4 （3）720 ÷ 8 ÷ 9 ÷ 5 （4）99 × 78 + 78 解析： （1）运用加法交换律和结合律，分组凑整：（156 - 56）+（89 + 11）= 100 + 100 = 200； （2）运用乘法分配律正向和逆向结合：25 × 40 + 25 × 4 - 25 × 4 = 25 × 40 +（25 × 4 - 25 × 4）= 1000 + 0 = 1000； （3）运用除法简便运算性质，连除变除积：720 ÷（8 × 9 × 5）= 720 ÷ 360 = 2； （4）逆向运用乘法分配律，补全隐形1：99 × 78 + 78 × 1 =（99 + 1）× 78 = 100 × 78 = 7800。 答案：（1）200；（2）1000；（3）2；（4）7800。 ② 混合运算中的简便计算 例题5：计算下面各题，能简算的要简算。 （1）[120 -（36 + 64）] × 25 （2）36 × 101 - 36 （3）125 × 88 （4）450 ÷（9 × 2） 解析： （1）先运用加法结合律计算括号内，再算乘法：[120 - 100] × 25 = 20 × 25 = 500； （2）逆向运用乘法分配律：36 ×（101 - 1）= 36 × 100 = 3600； （3）拆分88为8×11，运用乘法结合律：125 × 8 × 11 = 1000 × 11 = 11000； （4）逆向运用除法简便运算性质，去括号变号：450 ÷ 9 ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25。 答案：（1）500；（2）3600；（3）11000；（4）25。 ③ 基础应用题 例题6：学校买来4箱图书，每箱25本，分给三年级36本，剩下的分给四年级，四年级分到多少本图书？（用简便方法计算） 解析：先求图书总本数，运用乘法结合律简便计算，再求剩下的本数，运用减法计算。 总本数：4 × 25 = 100（本）；四年级分到的本数：100 - 36 = 64（本）。 答案：四年级分到64本图书。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：用简便方法计算：99 × 38 + 38 + 50 × 42 × 2 解析：分两部分简便计算，第一部分逆向运用乘法分配律，补全隐形1；第二部分运用乘法结合律，凑整计算，最后相加。 第一步：99 × 38 + 38 = 99 × 38 + 38 × 1 =（99 + 1）× 38 = 100 × 38 = 3800； 第二步：50 × 42 × 2 =（50 × 2）× 42 = 100 × 42 = 4200； 第三步：两部分相加：3800 + 4200 = 8000。 答案：8000。 例题8：水果店运来一批水果，苹果有125千克，梨的质量是苹果的8倍，香蕉的质量比苹果和梨的总质量少200千克，香蕉有多少千克？（用简便方法计算） 解析：先求梨的质量，运用乘法结合律简便计算；再求苹果和梨的总质量，运用乘法分配律；最后求香蕉的质量。 梨的质量：125 × 8 = 1000（千克）； 苹果和梨的总质量：125 + 1000 = 125 +（8 × 125）= 125 ×（1 + 8）= 125 × 9 = 1125（千克）； 香蕉的质量：1125 - 200 = 925（千克）。 答案：香蕉有925千克。 例题9：计算：36 × 25 + 45 × 25 + 19 × 25 解析：逆向运用乘法分配律，提取公因数25，将三个乘法算式合并为一个，简化计算。 36 × 25 + 45 × 25 + 19 × 25 =（36 + 45 + 19）× 25 = 100 × 25 = 2500。 答案：2500。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.运算律口诀： 加法交换律：交换加数位置，和不变；加法结合律：改变结合顺序，和不变。 乘法交换律：交换因数位置，积不变；乘法结合律：改变结合顺序，积不变。 乘法分配律：乘加乘减是朋友，括号外面找朋友；拆开分配别遗漏，合并同类更简便。 2.简便运算性质口诀： 减法性质：连减变减和，括号里面加号搁；交换减数位置，差不变。 除法性质：连除变除积，括号里面乘号立；交换除数位置，商不变。 3.凑整口诀：25配4，125配8，凑整计算顶呱呱；同级运算带符号搬家 六、闯关练习 基础题 1．填上合适的数或运算符号。 75×29＋25×29＝（_____＋_____）29       540÷45÷2＝540÷（__________） 2．如果A×B＝8，那么125×A×9×B＝( )。 3．刘老师购买了38个书包，每个书包125元，刘老师一共花了多少元？ 以上计算过程，实际上运用了（    ）律。 4．如果－＝25，那么4×－4×＝( )；如果227－＝126，＋＋＝147，那么－＝( )。 5．下面各算式中，只运用了乘法交换律的有__________；只运用了乘法结合律的有__________；既运用了乘法交换律又运用了乘法结合律的有__________。（填序号） ①51×A＝A×51                ②（50×62）×2＝62×（50×2） ③125×37×8＝125×8×37       ④（75×25）×40＝75×（25×40） ⑤56×5×2＝56×（5×2）       ⑥125×50×8×2＝（125×8）×（50×2） 6．小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大( )。 提升题 7．53×25＋49×25＝（53＋49）×25运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 8．静静在用计算器计算“58×276”时，按键“5”坏了，静静想出了好几种方法，错误的是（    ）。 A．29×2×276 B．（40＋18）×276 C．（60－2）×276 D．60×276－2 9．下面各图中，可以运用乘法分配律的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．小文在计算时，将算式转化成了进行计算，计算结果与正确结果相比，（    ）。 A．不多不少 B．多了1 C．多了82 D．少了82 11．下面是小慧在探究124×35的思考过程，其中表达一致的有（    ）。 ①124×30＋124×5        ② ③124×5×7                ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列运算过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 进阶题 13．简便计算下面各题。 720－256－44            243×104－243×4 125×56              158＋36＋42＋264 14．绵阳市东山运动公园河道景观区准备种梅花4800株，根据品种不同平均分成4块，每块有25行，平均每行种梅花多少株？ 15．学校组织部分教师参加了“东山健步行”活动，余老师通过计步器记录了自己在三个不同时间段的步数，分别是4267步、2812步和2733步。余老师在这三个时间段一共行了多少步？ 16．学校图书室有8个书架，每个书架有5层，共有图书8840册，平均每个书架每层放图书多少册？ 17．学校买了12个足球和12个篮球，每个足球118元，每个篮球82元。学校买球共用去了多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四年级下册数学人教版期中知识复习清单 【运算律】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 5 三、易错点点拨 .......................................................... 7 四、经典题型精讲 ........................................................ 9 五、学习宝典 ............................................................ 11 六、闯关练习 ........................................................... 11 目标 1.理解加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的核心含义，能准确用文字描述和字母表示每一种运算律，建立运算律的数学模型。 2.熟练掌握每一种运算律的适用场景，能灵活运用运算律进行简便计算，简化计算过程、提高计算准确率，理解“凑整”“提取公因数”等简便计算的核心思路。 3.掌握减法和除法的简便运算性质，能区分运算律与简便运算性质的差异，熟练运用“连减变减和”“连除变除积”等技巧解决计算问题。 4.能结合运算律解决实际应用题，理清题目中的数量关系，选择合适的运算律简化计算，提升数学应用能力和逻辑推理能力。 5.规避本单元高频易错点（如乘法分配律漏乘、混淆运算律、滥用简便运算等），能规范书写简便计算的步骤，熟练应对期中检测中的基础题、常考题和压轴题。 6.体会运算律在数学计算和生活中的应用价值，培养抽象思维、规范答题和主动检验的良好习惯，为期中复习夯实基础。 一、知识点精讲 （1）加法运算律（基础，期中必考） ① 加法交换律 核心意义：两个数相加，交换两个加数的位置，它们的和不变。这一规律体现了加法运算的对称性，是简便计算中“凑整”的基础方法之一。 字母表示：（其中a、b可以是任意整数、小数，四年级下册重点考查整数）。 举例说明：25 + 38 = 38 + 25 = 63；126 + 57 = 57 + 126 = 183；78 + 0 = 0 + 78 = 78（0与任何数相加，交换位置和不变）。 拓展：多个数相加，任意交换加数的位置，和不变。例如：25 + 38 + 75 = 25 + 75 + 38 = 100 + 38 = 138（交换38和75的位置，凑整计算更简便）。 ② 加法结合律 核心意义：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。核心作用是改变加法的运算顺序，实现“凑整”简化计算。 字母表示：（a、b、c均为整数，四年级重点考查整数运算）。 举例说明：（28 + 36）+ 64 = 28 +（36 + 64）= 28 + 100 = 128；（157 + 43）+ 89 = 157 +（43 + 89）= 157 + 132 = 289。 关键提醒：加法结合律常与加法交换律结合使用，先通过交换律调整加数位置，再用结合律凑整。例如：56 + 29 + 44 + 71 =（56 + 44）+（29 + 71）= 100 + 100 = 200（先交换29和44的位置，再分别结合凑整）。 （2）乘法运算律（重点，期中常考+压轴） ① 乘法交换律 核心意义：两个数相乘，交换两个因数的位置，它们的积不变。与加法交换律逻辑一致，适用于乘法凑整计算，是乘法简便运算的基础。 字母表示：（a、b为非0整数，四年级下册重点考查整数乘法，0乘任何数得0，交换位置积仍为0）。 举例说明：25 × 4 = 4 × 25 = 100；125 × 8 = 8 × 125 = 1000；36 × 0 = 0 × 36 = 0。 拓展：多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。例如：25 × 3 × 4 = 25 × 4 × 3 = 100 × 3 = 300（交换3和4的位置，利用25和4凑整）。 重点记忆：四年级简便计算的“黄金凑整组合”——25和4、125和8，这两组因数相乘能得到整百、整千数，是乘法简便运算的核心技巧，需熟练掌握。 ② 乘法结合律 核心意义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。核心作用是改变乘法运算顺序，结合“黄金凑整组合”简化计算。 字母表示：（a、b、c为非0整数，四年级重点考查整数运算）。 举例说明：（25 × 4）× 5 = 25 ×（4 × 5）= 25 × 20 = 500；（125 × 8）× 37 = 125 ×（8 × 37）= 1000 × 37 = 37000。 关键提醒：乘法结合律常与乘法交换律结合使用，先通过交换律调整因数位置，再用结合律凑整。例如：125 × 32 × 25 = 125 ×（8 × 4）× 25 =（125 × 8）×（4 × 25）= 1000 × 100 = 100000（先拆分32为8×4，再交换、结合凑整）。 ③ 乘法分配律（难点，期中压轴重点） 核心意义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。这是本单元最难、最易出错的运算律，也是期中检测的重点压轴考点。 字母表示：正向运用：；逆向运用：（a、b、c为整数，含0）；拓展（差的分配）：。 举例说明： 1.正向运用（和的分配）：（20 + 4）× 25 = 20 × 25 + 4 × 25 = 500 + 100 = 600；（100 + 8）× 125 = 100 × 125 + 8 × 125 = 12500 + 1000 = 13500。 2.逆向运用（提取公因数）：35 × 68 + 65 × 68 =（35 + 65）× 68 = 100 × 68 = 6800；72 × 39 - 72 × 29 = 72 ×（39 - 29）= 72 × 10 = 720。 3.拓展运用（差的分配）：（50 - 2）× 30 = 50 × 30 - 2 × 30 = 1500 - 60 = 1440；99 × 45 =（100 - 1）× 45 = 100 × 45 - 1 × 45 = 4500 - 45 = 4455。 关键提醒：乘法分配律的核心是“分别相乘、再相加/减”，不能漏乘其中一个数；逆向运用时，要找准相同的公因数（隐藏公因数需转化，如78 = 78 × 1），这是期中易错重点。 （3）减法的简便运算（常考，与加法运算律关联） ① 核心性质（两种形式，均为期中常考） 1.一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。核心作用是将“连减”转化为“减和”，若两个减数能凑整，可简化计算。 字母表示：（b、c均为整数，a ≥ b + c）。 举例：100 - 35 - 65 = 100 -（35 + 65）= 100 - 100 = 0；150 - 48 - 52 = 150 -（48 + 52）= 150 - 100 = 50；200 - 75 - 25 = 200 -（75 + 25）= 100。 2 一个数连续减去两个数，交换两个减数的位置，差不变。适用于其中一个减数与被减数能凑整的情况。 字母表示：（a ≥ b + c）。 举例：123 - 56 - 23 = 123 - 23 - 56 = 100 - 56 = 44；187 - 98 - 87 = 187 - 87 - 98 = 100 - 98 = 2。 关键提醒：运用减法简便运算时，若括号前面是减号，括号内的减号要变成加号（添括号变号）；反之，去括号时，括号前面是减号，括号内的加号要变成减号。 （4）除法的简便运算（常考，与乘法运算律关联） ① 核心性质（两种形式，期中高频考点） 1.一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。核心作用是将“连除”转化为“除积”，若两个除数能凑整（尤其是凑成与被除数能整除的数），可简化计算。 字母表示：（b、c均不为0，a能被b×c整除）。 举例：120 ÷ 5 ÷ 4 = 120 ÷（5 × 4）= 120 ÷ 20 = 6；720 ÷ 8 ÷ 9 = 720 ÷（8 × 9）= 720 ÷ 72 = 10；480 ÷（8 × 6）= 480 ÷ 8 ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10（逆向运用）。 2.一个数连续除以两个数，交换两个除数的位置，商不变。适用于其中一个除数能整除被除数的情况。 字母表示：（b、c均不为0）。 举例：240 ÷ 8 ÷ 3 = 240 ÷ 3 ÷ 8 = 80 ÷ 8 = 10；360 ÷ 4 ÷ 9 = 360 ÷ 9 ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10。 补充：除法与分数的关联（贴合分数书写要求）：除法算式可以转化为分数形式，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，即（b≠0）。例如：5 ÷ 2 = ，12 ÷ 4 = （可化简为3），这一转化在简便计算中可辅助理解除法性质。 （5）运算律的综合运用（期中常考，提升题型） ① 核心思路 根据算式的特点，灵活选择一种或多种运算律、简便运算性质，先凑整（整十、整百、整千数），再计算，遵循“能简则简、不简则按顺序算”的原则，避免盲目凑整导致错误。 关键技巧：先观察算式中数字的特点（是否有25、125、4、8等凑整数字），再判断运算类型（加减、乘除、混合），最后选择合适的运算律或性质。 ② 综合运用举例 1.加减混合简便运算：156 + 78 - 56 = 156 - 56 + 78 = 100 + 78 = 178（运用加法交换律，交换78和56的位置，先算减法凑整）。 2.乘除混合简便运算：25 × 32 ÷ 4 = 25 ÷ 4 × 32 = 25 ×（32 ÷ 4）= 25 × 8 = 200（运用乘法交换律，调整运算顺序，凑整计算）。 3.加减乘除混合简便运算：（125 + 75）× 8 - 400 = 125 × 8 + 75 × 8 - 400 = 1000 + 600 - 400 = 1200（运用乘法分配律，先展开计算，再按顺序加减）。 4.复杂简便运算：99 × 38 + 38 + 50 × 42 × 2 =（99 + 1）× 38 +（50 × 2）× 42 = 100 × 38 + 100 × 42 = 3800 + 4200 = 8000（同时运用乘法分配律逆向和乘法结合律）。 二、重难点突破 （1）难点1：理解并灵活运用乘法分配律（期中压轴重点） 核心难点：混淆乘法分配律与乘法结合律；正向运用时漏乘其中一个数；逆向运用时找不到隐藏的公因数（如单独的数转化为“数×1”）；符号混淆（差的分配时漏变号）；拆分不规范（如99拆成100-1后，忘记加括号）。 解题技巧： 1.吃透本质：乘法分配律的核心是“分”——将括号里的两个数分别与括号外的数相乘，再相加/减，可结合“几个几”的意义理解：表示“（a + b）个c”，也就是“a个c加b个c”，从根源杜绝漏乘问题。 2.牢记符号规则：和的分配用“+”，差的分配用“-”，括号里是减号，展开后也要用减号，例如，不能写成。 3.逆向运用技巧：找准相同的公因数，若算式中有单独的数（如78、35），可转化为“数×1”，再提取公因数，例如78 × 99 + 78 = 78 × 99 + 78 × 1 = 78 ×（99 + 1），口诀记忆：“单独的数，后面藏个小尾巴×1，找个朋友一起算”。 4.规范步骤：简便运算时，必须写出运用运算律的步骤（如展开、提取公因数），不跳步，避免因跳步导致漏乘、符号错误，例如计算99×45，需写出，再计算结果。 5.对比辨析：区分乘法分配律（适配“加减+乘”）和乘法结合律（适配“纯乘”），例如用分配律，用结合律，避免混淆。 （2）难点2：区分运算律与简便运算性质，灵活选择使用 核心难点：混淆加法结合律与乘法结合律、乘法分配律；分不清减法、除法的简便运算性质与加法、乘法运算律的区别；盲目凑整，忽略运算律的适用条件，导致计算错误。 解题技巧： 1.分类记忆，明确适用场景： - 加法运算律（交换律、结合律）：仅适用于加法算式，核心是“凑整求和”； - 乘法运算律（交换律、结合律、分配律）：仅适用于乘法算式（分配律含加减与乘的组合），核心是“凑整求积”； - 减法简便运算性质：仅适用于连减算式，核心是“连减变减和”； - 除法简便运算性质：仅适用于连除算式，核心是“连除变除积”。 2.先判断运算类型，再选择方法：拿到算式后，先看是加减、乘除还是混合运算，再观察数字特点，确定用运算律还是简便运算性质，例如连减用减法性质，连除用除法性质，乘加/乘减用乘法分配律。 3.避免盲目凑整：简便运算的前提是“符合运算律/性质”，不能为了凑整随意改变运算顺序，例如25 + 75 × 4，不能先算25 + 75，要先算75 × 4，再算加法，因为不符合任何运算律。 4.牢记易错口诀：“同级运算带符号搬家，加乘不变号，减除要变号”，帮助区分运算性质的符号规则。 （3）难点3：运算律在混合运算和实际应用题中的综合运用 核心难点：混合运算中，分不清运算顺序与运算律的关系，不知道何时用运算律、何时按顺序算；解决应用题时，找不到题目中的数量关系，无法选择合适的运算律简化计算；答题步骤不规范，漏写运用运算律的过程。 解题技巧： 1.混合运算优先级：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里的；若能运用运算律简化括号内或乘除部分的计算，可优先使用运算律，例如，先利用加法结合律计算括号内的36 + 64 = 100，再继续计算。 2.应用题解题步骤：先审题，圈出关键信息（已知条件、问题、关键词，如“一共”“每”“连续”），理清数量关系，判断是否需要用简便运算；再列式，选择合适的运算律简化计算；最后检验，确保算式符合数量关系，计算准确，步骤规范。 3.典型应用题适配技巧：购物问题、工程问题、行程问题中，若出现“相同单价×不同数量求和”“相同因数×两个数的和/差”，优先用乘法分配律；若出现“连续减去多个数”“连续除以多个数”，优先用减法、除法简便运算性质。 4. 规范答题：简便运算应用题，要写出运用运算律的步骤，不能直接写结果；答句要完整，包含单位，贴合问题要求。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：混淆乘法分配律与乘法结合律，例如将写成，或把写成； 纠正：牢记两者核心区别——乘法分配律是“加减与乘结合”，需要“分别相乘再相加/减”；乘法结合律是“纯乘法”，只改变运算顺序，不改变因数，例如，不能拆成。 易错点2：认为“所有算式都可以用简便运算”，盲目凑整，忽略运算律的适用条件，例如25 + 75 × 4，误算为（25 + 75）× 4 = 400； 纠正：简便运算必须符合运算律或简便运算性质，不能随意改变运算顺序，25 + 75 × 4 应先算乘法75 × 4 = 300，再算加法25 + 300 = 325。 易错点3：混淆减法、除法的简便运算性质与加法、乘法运算律，例如将写成，或把写成； 纠正：牢记减法性质“连减变减和”（括号内是加号），除法性质“连除变除积”（括号内是乘号），添括号时，括号前面是减号、除号，括号内符号要变号；前面是加号、乘号，符号不变。 易错点4：忽略乘法分配律的逆向运用，找不到隐藏的公因数，例如78 × 101 - 78，误算为78 × 101 - 78 × 78； 纠正：单独的数78可转化为78 × 1，逆向运用乘法分配律，提取公因数78，即78 × 101 - 78 = 78 ×（101 - 1）= 7800，牢记“隐形1”的技巧。 （2）计算类易错点 易错点1：乘法分配律正向运用时漏乘，例如，漏乘2 × 35； 纠正：乘法分配律要“分别相乘再相加/减”，括号里的每一个数都要与括号外的数相乘，正确计算：。 易错点2：乘法分配律差的分配时符号错误，例如，误将减号写成加号； 纠正：差的分配要保持符号一致，括号里是减号，展开后也要用减号，正确计算：。 易错点3：连减、连除简便运算时漏加括号，例如100 - 35 - 65 = 100 - 35 + 65 = 130； 纠正：连减变减和、连除变除积时，必须加上括号，正确计算：100 - 35 - 65 = 100 -（35 + 65）= 0；120 ÷ 5 ÷ 4 = 120 ÷（5 × 4）= 6。 易错点4：拆分数字不规范，例如99 × 38，误拆成100 - 1 × 38，漏加括号； 纠正：拆分数字后，要加上括号，再运用乘法分配律，正确拆分：99 × 38 =（100 - 1）× 38 = 100 × 38 - 1 × 38 = 4455。 易错点5：混合运算中，运算顺序与运算律混淆，例如，误算为25 × 4 + 8 ÷ 2； 纠正：有括号先算括号里的，再按从左到右的顺序算乘除，正确计算：。 易错点6：分数形式表示除法时，颠倒被除数和除数，例如5 ÷ 2 = ； 纠正：除法转化为分数时，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，正确写法：5 ÷ 2 = 。 （3）应用类易错点 易错点1：审题不清，找不到题目中的数量关系，无法选择合适的运算律，例如“每本笔记本8元，买5本，再买10支钢笔，每支12元，一共花多少钱”，误列式为（8 + 12）×（5 + 10）； 纠正：先圈出关键词，明确数量关系：笔记本的总价 + 钢笔的总价 = 总花费，正确列式：8 × 5 + 12 × 10 = 40 + 120 = 160（元），无需用运算律，按顺序计算即可。 易错点2：应用题中，运用运算律时步骤不规范，漏写运用运算律的过程，例如“水果店运来3箱苹果，每箱25千克，4箱梨，每箱25千克，一共运来多少千克”，直接写25 ×（3 + 4）= 175（千克），漏写步骤； 纠正：规范步骤：3 × 25 + 4 × 25 =（3 + 4）× 25 = 7 × 25 = 175（千克），明确写出逆向运用乘法分配律的过程。 易错点3：忽略应用题中的“连续”“一共”等关键词，误用运算律，例如“一根绳子长200米，第一次剪去50米，第二次剪去40米，还剩多少米”，误列式为200 -（50 - 40）= 190（米）； 纠正：连续剪去两个数，用减法简便运算性质，括号内应为两个数的和，正确列式：200 -（50 + 40）= 110（米）。 易错点4：答题时单位遗漏、答句不完整，例如问题“一共花了多少钱”，答句只写“160”，或“160千克”； 纠正：答句要完整，包含单位，贴合问题，正确答句：“一共花了160元”。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 运算律的字母表示与辨析 例题1：填空，写出对应的运算律名称。 （1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）；（4）（ ）。 解析：根据运算律和简便运算性质的定义，对应填写名称，注意区分运算律与减法性质。 答案：（1）加法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律；（4）减法的简便运算性质。 ② 单一运算律的简便计算 例题2：用简便方法计算下面各题。 （1）25 + 56 + 75 （2）125 × 32 × 25 （3）35 × 48 + 65 × 48 （4）100 - 67 - 33 解析： （1）运用加法交换律和结合律，凑整计算：25 + 56 + 75 =（25 + 75）+ 56 = 100 + 56 = 156； （2）运用乘法交换律和结合律，拆分32为8×4，凑整计算：125 × 32 × 25 =（125 × 8）×（4 × 25）= 1000 × 100 = 100000； （3）逆向运用乘法分配律，提取公因数48：35 × 48 + 65 × 48 =（35 + 65）× 48 = 100 × 48 = 4800； （4）运用减法简便运算性质，连减变减和：100 - 67 - 33 = 100 -（67 + 33）= 100 - 100 = 0。 答案：（1）156；（2）100000；（3）4800；（4）0。 ③ 除法与分数的转化 例题3：将下面的除法算式转化为分数形式（分子在上、中间横线、分母在下）。 （1）6 ÷ 5 （2）12 ÷ 4 （3）7 ÷ 2 （4）9 ÷ 10 解析：除法转化为分数，被除数作为分子，除数作为分母，中间用横线连接，能化简的可化简。 答案：（1）；（2）（化简为3）；（3）；（4）。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 运算律的综合运用 例题4：用简便方法计算下面各题。 （1）156 + 89 - 56 + 11 （2）25 ×（40 + 4）- 25 × 4 （3）720 ÷ 8 ÷ 9 ÷ 5 （4）99 × 78 + 78 解析： （1）运用加法交换律和结合律，分组凑整：（156 - 56）+（89 + 11）= 100 + 100 = 200； （2）运用乘法分配律正向和逆向结合：25 × 40 + 25 × 4 - 25 × 4 = 25 × 40 +（25 × 4 - 25 × 4）= 1000 + 0 = 1000； （3）运用除法简便运算性质，连除变除积：720 ÷（8 × 9 × 5）= 720 ÷ 360 = 2； （4）逆向运用乘法分配律，补全隐形1：99 × 78 + 78 × 1 =（99 + 1）× 78 = 100 × 78 = 7800。 答案：（1）200；（2）1000；（3）2；（4）7800。 ② 混合运算中的简便计算 例题5：计算下面各题，能简算的要简算。 （1）[120 -（36 + 64）] × 25 （2）36 × 101 - 36 （3）125 × 88 （4）450 ÷（9 × 2） 解析： （1）先运用加法结合律计算括号内，再算乘法：[120 - 100] × 25 = 20 × 25 = 500； （2）逆向运用乘法分配律：36 ×（101 - 1）= 36 × 100 = 3600； （3）拆分88为8×11，运用乘法结合律：125 × 8 × 11 = 1000 × 11 = 11000； （4）逆向运用除法简便运算性质，去括号变号：450 ÷ 9 ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25。 答案：（1）500；（2）3600；（3）11000；（4）25。 ③ 基础应用题 例题6：学校买来4箱图书，每箱25本，分给三年级36本，剩下的分给四年级，四年级分到多少本图书？（用简便方法计算） 解析：先求图书总本数，运用乘法结合律简便计算，再求剩下的本数，运用减法计算。 总本数：4 × 25 = 100（本）；四年级分到的本数：100 - 36 = 64（本）。 答案：四年级分到64本图书。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：用简便方法计算：99 × 38 + 38 + 50 × 42 × 2 解析：分两部分简便计算，第一部分逆向运用乘法分配律，补全隐形1；第二部分运用乘法结合律，凑整计算，最后相加。 第一步：99 × 38 + 38 = 99 × 38 + 38 × 1 =（99 + 1）× 38 = 100 × 38 = 3800； 第二步：50 × 42 × 2 =（50 × 2）× 42 = 100 × 42 = 4200； 第三步：两部分相加：3800 + 4200 = 8000。 答案：8000。 例题8：水果店运来一批水果，苹果有125千克，梨的质量是苹果的8倍，香蕉的质量比苹果和梨的总质量少200千克，香蕉有多少千克？（用简便方法计算） 解析：先求梨的质量，运用乘法结合律简便计算；再求苹果和梨的总质量，运用乘法分配律；最后求香蕉的质量。 梨的质量：125 × 8 = 1000（千克）； 苹果和梨的总质量：125 + 1000 = 125 +（8 × 125）= 125 ×（1 + 8）= 125 × 9 = 1125（千克）； 香蕉的质量：1125 - 200 = 925（千克）。 答案：香蕉有925千克。 例题9：计算：36 × 25 + 45 × 25 + 19 × 25 解析：逆向运用乘法分配律，提取公因数25，将三个乘法算式合并为一个，简化计算。 36 × 25 + 45 × 25 + 19 × 25 =（36 + 45 + 19）× 25 = 100 × 25 = 2500。 答案：2500。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.运算律口诀： 加法交换律：交换加数位置，和不变；加法结合律：改变结合顺序，和不变。 乘法交换律：交换因数位置，积不变；乘法结合律：改变结合顺序，积不变。 乘法分配律：乘加乘减是朋友，括号外面找朋友；拆开分配别遗漏，合并同类更简便。 2.简便运算性质口诀： 减法性质：连减变减和，括号里面加号搁；交换减数位置，差不变。 除法性质：连除变除积，括号里面乘号立；交换除数位置，商不变。 3.凑整口诀：25配4，125配8，凑整计算顶呱呱；同级运算带符号搬家 六、闯关练习 基础题 1．填上合适的数或运算符号。 75×29＋25×29＝（_____＋_____）29       540÷45÷2＝540÷（__________） 【答案】75；25；×；45；×；2 【分析】根据乘法分配律进行简便计算； 根据除法的性质，一个数连续除以两个数等于这个数除以后两个数的积。 【详解】 2．如果A×B＝8，那么125×A×9×B＝( )。 【答案】9000 【分析】根据题意，利用乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），125×A×9×B＝125×9×（A×B），再把A×B＝8，代入算式，再根据乘法交换律：a×b＝b×a，变算式为：125×8×9，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： A×B＝8 125×A×9×B ＝125×9×（A×B） ＝125×9×8 ＝125×8×9 ＝1000×9 ＝9000 如果A×B＝8，那么125×A×9×B＝9000。 3．刘老师购买了38个书包，每个书包125元，刘老师一共花了多少元？ 以上计算过程，实际上运用了（    ）律。 【答案】1000；8；30；3750；乘法分配 【分析】在乘法竖式计算125×38时，先计算125×8＝1000，这里的1000元是8个书包的价钱。再计算125×30＝3750，这里的30个书包的价钱是3750元。最后将这两个结果相加，1000＋3750＝4750（元），得到38个书包的总价钱。 把38拆分成30＋8，然后分别与125相乘，再把所得的积相加，这实际上运用了乘法分配律，即a×（c＋d）＝a×c＋a×d（这里a＝125，c＝30，d＝8）。 【详解】根据分析可知，125×8＝1000，这里的1000元是8个书包的价钱。 125×30＝3750，这里的30个书包的价钱是3750元。 这个计算过程，实际上运用了乘法分配律。 4．如果－＝25，那么4×－4×＝( )；如果227－＝126，＋＋＝147，那么－＝( )。 【答案】 100 78 【分析】根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为4×－4×＝4×（－），再把－＝25，代入数据计算出结果；如果227－＝126，根据减数＝被减数－差，可计算出＝227－126，再代入算式＋＋＝147，计算出值，再代入－，计算出结果即可。 【详解】根据分析可知： 4×－4×＝4×（－） －＝25 4×－4× ＝4×（－） ＝4×25 ＝100 227－＝126 ＝227－126＝101 ＋＋＝147 ＋＋101＝147 2×＝147－101 ＝46÷2 ＝23 －＝101－23＝78 5．下面各算式中，只运用了乘法交换律的有__________；只运用了乘法结合律的有__________；既运用了乘法交换律又运用了乘法结合律的有__________。（填序号） ①51×A＝A×51                ②（50×62）×2＝62×（50×2） ③125×37×8＝125×8×37       ④（75×25）×40＝75×（25×40） ⑤56×5×2＝56×（5×2）       ⑥125×50×8×2＝（125×8）×（50×2） 【答案】 ①③ ④⑤ ②⑥ 【分析】先明确乘法交换律和结合律的定义，再逐个分析每个算式运用的运算定律，最后根据分析结果将算式序号填入对应的空。 算式①，其中因数51和A的位置进行了交换，运算顺序未改变，因此只运用了乘法交换律。 算式②中，首先50和62的位置进行了交换，这符合乘法交换律；其次运算顺序从先算变为先算，这符合乘法结合律。因此，该算式既运用了乘法交换律又运用了乘法结合律。 算式③中，因数37和8的位置进行了交换，运算顺序未改变，符合乘法交换律的定义，因此只运用了乘法交换律。 算式④中，运算顺序从先算变为先算，因数位置未交换，因此只运用了乘法结合律。 算式⑤中，运算顺序从依次相乘变为先算，因数位置未交换，符合乘法结合律的定义，因此只运用了乘法结合律。 算式⑥中，首先交换了50和8的位置（运用乘法交换律），然后将125与8结合、50与2结合分别进行计算（运用乘法结合律），因此既运用了乘法交换律又运用了乘法结合律。 【详解】由分析可知，下面各算式中，只运用了乘法交换律的有①③；只运用了乘法结合律的有④⑤；既运用了乘法交换律又运用了乘法结合律的有②⑥。 6．小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大( )。 【答案】2999 【分析】36×2999表示36个2999，37×2999表示37个2999，37个2999比36个2999多1个2999，也就是得到的结果比正确结果大2999；乘法分配律逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c。 【详解】37×2999－36×2999 ＝（37－36）×2999 ＝2999 小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大2999。 提升题 7．53×25＋49×25＝（53＋49）×25运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 【答案】A 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加； 乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变； 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变； 加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【详解】53×25＋49×25＝（53＋49）×25符合乘法分配律。 故答案为：A 8．静静在用计算器计算“58×276”时，按键“5”坏了，静静想出了好几种方法，错误的是（    ）。 A．29×2×276 B．（40＋18）×276 C．（60－2）×276 D．60×276－2 【答案】D 【分析】根据题意，把58分成两个数的积的形式或者两数相加减的形式，再利用乘法运算定律进行计算，即可解决。 【详解】A．把58看作29乘2的积，再乘276，即58×276＝29×2×27，与原题结果相等，原方法正确； B．把58看作40加18的和，再乘276，即58×276＝（40＋18）×276，与原题结果相等，原方法正确； C．把58看作60减2的差，再乘276，即58×276＝（60－2）×276，与原题结果相等，原方法正确； D．根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把58看作（60－2），先用60乘276后，再减去2乘276，即58×276＝（60－2）×276＝60×276－2×276，不是60×276－2，原方法错误。 故答案为：D 9．下面各图中，可以运用乘法分配律的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；据此分析判断即可。 【详解】①计算25×18时，用18个位上的8乘25，再用18十位上的1乘25，再将两个积相加。25×18＝25×（8＋10）＝25×8＋25×10运用了乘法分配律。 ②黑球有3行，每行有5个，有（5×3）个。白球有3行，每行有3个，有（3×3）个。一共有（5×3＋3×3）个。也可以看作一行有（5＋3）个，3行有（5＋3）×3个。8×3＝（5＋3）×3＝5×3＋3×3运用了乘法分配律。 ③长方形的面积＝长×宽＝宽×长，4×3＝3×4运用了乘法交换律。 ④每本笔记本5元，4本笔记本（4×5）元。每支笔3元，4支笔（4×3）元。也可以看作一本笔记本和一支笔共（5＋3）元，4套共（5＋3）×4元。4×5＋4×3＝（5＋3）×4运用了乘法分配律。 综上可知，题图中运用了乘法分配律的有①②④，共3个。 故答案为：C 10．小文在计算时，将算式转化成了进行计算，计算结果与正确结果相比，（    ）。 A．不多不少 B．多了1 C．多了82 D．少了82 【答案】C 【分析】根据乘法分配律将小文转化成的算式改写为：82×99＋82×1，即82×99＋82，再与小文计算的算式作比较，即可求出计算结果与正确结果相比，是多了多少，还是少了多少，还是不多不少。 【详解】 ＝82×99＋82×1 ＝82×99＋82 据此可知，小文在计算时，将算式转化成了进行计算，计算结果与正确结果相比，多了82。 故答案为：C 11．下面是小慧在探究124×35的思考过程，其中表达一致的有（    ）。 ①124×30＋124×5        ② ③124×5×7                ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①35＝30＋5，所以，124×35＝124×（30＋5）再利用乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c 124×（30＋5）＝124×30＋124×5。 ②求长124宽35的长方形的面积，我们可以将宽35拆为30和5再把两个小长方形面积求和即可。大长方形的面积＝124×30＋124×5，利用乘法分配律。 ③乘法结合律a×b×c＝a×（b×c），35＝5×7，所以124×35＝124×（5×7）＝124×5×7。 ④将124×35进行竖式计算，利用乘法分配律原理。 【详解】①124×（30＋5）＝124×30＋124×5 ②大长方形的面积等于两个小长方形面积的和＝124×30＋124×5 ③124×35＝124×（5×7）＝124×5×7 ④ ①②④表达均一致。 故答案为：C 12．下列运算过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】99＝100－1，a－99＝a－（100－1），然后去括号为a－100＋1； 利用除法的性质，一个数连续除以两个数，等于这个数除以后面两个数的积，所以a÷11÷8＝a÷（11×8）； 乘法分配律逆运算，（a＋b）×c＝a×c＋b×c； 乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，利用乘法分配律，a×99＋a＝a×（99＋1）＝a×100。 【详解】A．a－99＝a－100＋1，原题干错误，符合题意； B．a÷11÷8＝a÷（11×8），原题干正确，不符合题意； C．（a＋b）×4＝a×4＋b×4，原题干正确，不符合题意； D．a×99＋a＝a×100，原题干正确，不符合题意。 进阶题 13．简便计算下面各题。 720－256－44            243×104－243×4 125×56              158＋36＋42＋264 【答案】420；24300 7000；500 【分析】（1）利用减法的性质，将连续减法转化为减去两个数的和，简化计算； （2）利用乘法分配律的逆运算简便计算即可； （3）将56写成8×7的形式，利用乘法结合律，先计算125×8，据此简化计算； （4）利用加法交换律和加法结合律，分组计算158＋42和36＋264最后相加，简化计算。 【详解】720－256－44 ＝720－（256＋44） ＝720－300 ＝420 243×104－243×4 ＝243×（104－4） ＝243×100 ＝24300 125×56 ＝125×（8×7） ＝125×8×7 ＝1000×7 ＝7000 158＋36＋42＋264 ＝158＋42＋36＋264 ＝（158＋42）＋（36＋264） ＝200＋300 ＝500 14．绵阳市东山运动公园河道景观区准备种梅花4800株，根据品种不同平均分成4块，每块有25行，平均每行种梅花多少株？ 【答案】48株 【分析】用总数依次除以分成的块数和每块的行数，就能求出平均每行种的株数。计算时注意使用除法的性质简算。 【详解】4800÷4÷25 ＝4800÷（4×25） ＝4800÷100 ＝48（株） 答：平均每行种梅花48株。 15．学校组织部分教师参加了“东山健步行”活动，余老师通过计步器记录了自己在三个不同时间段的步数，分别是4267步、2812步和2733步。余老师在这三个时间段一共行了多少步？ 【答案】9812步 【分析】把这三个步数连加求一共行了多少步。计算时可以运用加法交换律让计算更简便。 【详解】4267＋2812＋2733 ＝4267＋2733＋2812 ＝7000＋2812 ＝9812（步） 答：余老师在这三个时间段一共行了9812步。 16．学校图书室有8个书架，每个书架有5层，共有图书8840册，平均每个书架每层放图书多少册？ 【答案】221册 【分析】根据整数除法的意义，求平均每个书架每层放图书多少册，列式； 根据连除的性质，可以将原式变成，即可简算。 【详解】 （册） 答：平均每个书架每层放图书221册。 17．学校买了12个足球和12个篮球，每个足球118元，每个篮球82元。学校买球共用去了多少元？ 【答案】2400元 【分析】先分别算出买足球的总钱数和买篮球的总钱数，再相加，并利用乘法分配律的思想进行简便计算。 【详解】118×12＋82×12 ＝（118＋82）×12 ＝200×12 ＝2400（元） 答：学校买球共用去了2400元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $