期中知识复习清单：长方体和正方体 2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版期中知识复习清单 【长方体和正方体】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 1 三、易错点点拨 .......................................................... 1 四、经典题型精讲 ........................................................ 1 五、学习宝典 ............................................................. 1 六、闯关练习 ............................................................. 1 目标 1.认识长方体和正方体的特征，明确长方体和正方体的相同点与不同点，能准确区分长方体和正方体，掌握长方体、正方体棱长总和的计算方法，能解决相关基础计算问题。 2.理解长方体和正方体表面积的含义，牢记表面积计算公式，能熟练计算长方体、正方体的表面积，能结合生活实际，解决无盖、缺面等特殊场景的表面积问题。 3.理解体积和容积的意义，明确体积与容积的区别与联系，熟记体积单位（立方米、立方分米、立方厘米）和容积单位（升、毫升），能熟练进行单位换算（含分数形式的换算）。 4.掌握长方体和正方体体积的计算公式，能灵活运用公式计算体积，能解决与体积相关的实际应用题，学会用排水法测量不规则物体的体积。 5.规避本单元高频易错点（如混淆表面积与体积、单位换算错误、公式滥用等），规范答题步骤，提升逻辑思维和计算能力，体会数学与生活的联系，为期中检测夯实基础。 6.能结合长方体和正方体的特征，解决拼接、切割等拓展题型，提升空间想象能力和综合解题能力。 一、知识点精讲 （1）长方体和正方体的认识 ① 长方体的特征 长方体是由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，具有以下特征： 1.面：有6个面，相对的面完全相同（形状相同、大小相等）；特殊情况时，有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形。 2.棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，按长度可分为3组，每组4条棱长度相等（分别对应长、宽、高），即4条长、4条宽、4条高。 3.顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 补充：长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，通常用字母a（长）、b（宽）、h（高）表示。 ② 正方体的特征 正方体（也叫立方体）是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体），具有以下特征： 1.面：有6个面，6个面完全相同，都是正方形。 2.棱：有12条棱，12条棱的长度都相等，没有分组（因为长、宽、高相等），通常用字母a表示棱长。 3.顶点：有8个顶点，与长方体的顶点数量相同。 ③ 长方体和正方体的相同点与不同点 相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点；相对的面完全相同（正方体所有面都相同）；相对的棱长度相等（正方体所有棱都相等）。 不同点：1. 面的形状：长方体6个面是长方形（特殊情况2个正方形），正方体6个面是完全相同的正方形；2. 棱的长度：长方体12条棱分3组，每组4条相等，正方体12条棱全部相等；3. 关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高的长方体）。 ④ 棱长总和的计算方法（期中基础考点） 1.长方体棱长总和公式：棱长总和 = （长 + 宽 + 高）× 4，用字母表示为：L = （a + b + h）× 4。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，其棱长总和 = （5 + 3 + 2）× 4 = 10 × 4 = 40cm。 2.正方体棱长总和公式：棱长总和 = 棱长 × 12，用字母表示为：L = a × 12。 举例：一个正方体棱长4cm，其棱长总和 = 4 × 12 = 48cm。 补充：已知棱长总和，求长、宽、高（或棱长）：长方体的长+宽+高 = 棱长总和 ÷ 4；正方体的棱长 = 棱长总和 ÷ 12。 （2）长方体和正方体的表面积 ① 表面积的定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。注意：表面积是“面的面积总和”，单位是面积单位（平方厘米cm²、平方分米dm²、平方米m²）。 ② 表面积计算公式（期中重点考点） 1.长方体表面积公式：长方体表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2，用字母表示为：S = 2（ab + ah + bh）。 推导：长方体6个面分为3组相对的面，每组2个面面积相等，分别计算3组面的面积和，再乘2，即（长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2）= 2（ab + ah + bh）。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，表面积 = 2×（5×3 + 5×2 + 3×2）= 2×（15 + 10 + 6）= 2×31 = 62cm²。 2.正方体表面积公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为：S = 6a²。 推导：正方体6个面完全相同，每个面的面积是棱长×棱长，因此总表面积是6个面的面积和，即棱长×棱长×6。 举例：一个正方体棱长4cm，表面积 = 6×4×4 = 96cm²。 ③ 表面积的实际应用（期中常考题） 生活中，很多长方体物体并非有6个完整的面，计算表面积时需根据实际情况，减去缺少的面的面积，常见场景如下： 1.无盖长方体（如鱼缸、无盖水槽、无盖盒子）：表面积 = （长×高 + 宽×高）× 2 + 长×宽（缺少1个上底面）。 举例：一个无盖长方体鱼缸，长8dm、宽5dm、高6dm，表面积 = （8×6 + 5×6）× 2 + 8×5 = （48 + 30）× 2 + 40 = 156 + 40 = 196dm²。 2.只有4个面的长方体（如通风管、烟囱）：表面积 = （长×高 + 宽×高）× 2（缺少上、下两个底面），若通风管是正方形截面（即长=宽），则表面积 = 棱长×高×4。 3.拼接物体的表面积：两个或多个长方体、正方体拼接时，表面积会减少，减少的面积 = 拼接面的面积×2（两个物体各有1个面重合）。 举例：两个棱长3cm的正方体拼接成一个长方体，拼接后表面积减少 = 3×3×2 = 18cm²，拼接后的长方体表面积 = 2×（6×3 + 6×3 + 3×3）= 90cm²（或两个正方体总表面积 - 减少的面积 = 2×6×3² - 18 = 90cm²）。 （3）体积和容积的意义及单位 ① 体积的定义 物体所占空间的大小，叫做物体的体积。无论物体是实心还是空心，都有体积（空心物体的体积是它所占空间的大小，不包括内部空心部分）。 ② 容积的定义 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。容积仅针对容器（如盒子、杯子、油桶），实心物体没有容积；容器的容积是它内部能容纳物体的空间大小，通常小于它的体积（因为容器有厚度）。 ③ 体积单位和容积单位（期中基础考点） 1.体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个体积单位之间的进率是1000。 换算关系：1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，1立方米 = 1000000立方厘米。 2.容积单位：常用的容积单位有升（L）、毫升（mL），液体、气体通常用容积单位，固体容器也可以用体积单位表示容积。 换算关系：1升 = 1000毫升，1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。 3.分数形式的单位换算：例如，500立方厘米 = 500/1000 立方分米 = 1/2 立方分米；300毫升 = 300/1000 升 = 3/10 升；1/4 立方米 = 250立方分米。 补充：单位换算技巧：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，分数形式需化简为最简分数。 ④ 体积与容积的区别与联系 联系：体积和容积的计算方法相同（都用体积公式），单位可以相互换算（1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米）。 区别：1.意义不同：体积是物体所占空间的大小，容积是容器容纳物体的体积；2.测量方法不同：体积从物体外部测量长、宽、高，容积从容器内部测量长、宽、高；3.大小不同：同一容器，容积＜体积（因为容器有厚度）；4.适用对象不同：体积适用于所有物体，容积只适用于容器。 （4）长方体和正方体的体积计算 ① 体积计算公式（期中核心考点） 1.长方体体积公式：长方体体积 = 长×宽×高，用字母表示为：V = abh。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，体积 = 5×3×2 = 30cm³。 2.正方体体积公式：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为：V = a³（a³读作“a的立方”，表示3个a相乘，即a×a×a）。 举例：一个正方体棱长4cm，体积 = 4×4×4 = 64cm³。 3.通用体积公式：长方体和正方体的体积 = 底面积×高，用字母表示为：V = Sh（S表示底面积，h表示高）。 推导：长方体的底面积 = 长×宽，因此V = abh = Sh；正方体的底面积 = 棱长×棱长，因此V = a³ = a×a×a = Sh（h=a）。 举例：一个长方体底面积是15cm²，高是4cm，体积 = 15×4 = 60cm³；一个正方体底面积是16cm²，高是4cm，体积 = 16×4 = 64cm³。 ② 不规则物体体积的测量方法（期中常考题） 对于石块、苹果等不规则物体，无法直接用体积公式计算，常用“排水法”测量，核心原理：不规则物体的体积 = 它排开的水的体积。 规范步骤：1. 往量杯中倒入适量的水，记录水的体积（V₁）；2. 将不规则物体完全浸没在水中（水不溢出），记录此时水和物体的总体积（V₂）；3. 不规则物体的体积 = V₂ - V₁。 举例：量杯中原有水的体积是200mL，放入石块后，总体积是350mL，石块的体积 = 350 - 200 = 150mL = 150cm³。 ③ 体积的实际应用 1.求容器的容积：与求体积方法相同，从容器内部测量长、宽、高，代入体积公式计算，结果用容积单位（升、毫升）或体积单位均可。 举例：一个长方体油桶，从内部量长5dm、宽4dm、高3dm，容积 = 5×4×3 = 60dm³ = 60L。 2.切割物体的体积：把一个长方体或正方体切割成几个小长方体，总体积不变，每个小长方体的体积 = 总体积÷切割的个数；切割后表面积会增加，增加的面积 = 切割面的面积×2（每切割1次，增加2个面）。 举例：一个棱长6cm的正方体，切成2个相同的长方体，每个长方体的体积 = 6×6×6÷2 = 108cm³；切割后表面积增加 = 6×6×2 = 72cm²。 二、重难点突破 （1）难点1：区分长方体和正方体的特征，掌握棱长总和的计算及应用 核心难点：容易混淆长方体和正方体的棱的特点（长方体12条棱分3组，正方体12条棱全相等）；已知棱长总和求长、宽、高时，忘记除以4（长方体）或12（正方体）；忽略“正方体是特殊的长方体”这一关系，导致判断错误。 解题技巧： 1.口诀记忆特征：“长方体，六面形，相对面，全相同；十二棱，分三组，四长四宽四高齐；正方体，特殊形，六面都是正方形，十二棱，一样长，八个顶点记心上”。 2. 长总和计算口诀：“长方体棱长和，（长+宽+高）乘4；正方体棱长和，棱长乘12；已知总和求边长，长方体除以4，正方体除以12”。 3.关键区分：判断一个长方体是否是正方体，只需看“长、宽、高是否相等”，相等就是正方体，不相等就是一般长方体；正方体具备长方体的所有特征，是特殊的长方体。 （2）难点2：掌握表面积的计算，解决无盖、拼接等特殊场景的表面积问题 核心难点：混淆表面积的计算公式（长方体漏乘2、正方体漏乘6）；计算特殊场景（无盖、通风管、拼接）的表面积时，漏减或多减面的面积；拼接、切割时，不会计算表面积的变化量。 解题技巧： 1.牢记表面积公式，计算时先写公式，再代入数据，避免漏乘：长方体S=2(ab+ah+bh)，正方体S=6a²，计算后检查是否乘对系数。 2.特殊场景解题步骤：① 先判断“有几个完整的面”；② 计算完整6个面的表面积；③ 减去缺少的面的面积（无盖减1个底面，通风管减2个底面）；④ 拼接时，表面积=两个物体总表面积 - 拼接面面积×2（重合2个面）。 3.拼接、切割表面积变化规律：拼接次数=拼接个数-1，每次拼接减少2个面；切割次数=切割个数-1，每次切割增加2个面，重点关注“拼接/切割面的面积”（通常是最大面或最小面，题目有说明除外）。 （3）难点3：区分体积与容积，掌握体积单位换算及不规则物体体积的测量 核心难点：混淆体积与容积的意义，认为“体积=容积”；体积单位与容积单位换算错误（尤其是分数形式的换算）；用排水法测量不规则物体体积时，不会读取量杯数据或计算错误；混淆体积公式与表面积公式。 解题技巧： 1.体积与容积区分口诀：“体积是物体占空间，容积是容器装东西；同一容器，容积小，体积大；实心物体有体积，没有容积要记牢”。 2.单位换算技巧：牢记“相邻体积单位进率1000”“1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米”，大换小乘1000，小换大除以1000，分数形式换算后要化简（如600/1000 立方分米 = 3/5 立方分米）。 3.排水法测量步骤：牢记“物体体积=总体积-水的体积”，注意量杯的单位（mL或cm³），1mL=1cm³，计算时单位要统一；若物体未完全浸没，无法准确测量体积（排开的水的体积小于物体体积）。 4.公式区分：表面积是“面的面积和”，单位是面积单位（cm²、dm²），公式含“×2”“×6”；体积是“占空间的大小”，单位是体积单位（cm³、dm³），公式含“×长×宽×高”“×棱长×棱长×棱长”，避免混淆。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：认为“正方体不是长方体”，或“长方体一定有6个长方形的面”； 纠正：正方体是特殊的长方体（长=宽=高的长方体）；长方体特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是长方形，并非一定全是长方形。 易错点2：混淆“体积”与“表面积”，如“一个长方体的体积是60cm²”“一个正方体的表面积是64cm³”； 纠正：体积单位是立方（cm³、dm³），表面积单位是平方（cm²、dm²），单位不能混淆；体积表示物体占空间的大小，表面积表示面的总面积，意义不同。 易错点3：认为“容器的体积等于它的容积”； 纠正：容器有厚度，内部能容纳物体的空间（容积）小于它所占的空间（体积），只有忽略容器厚度时，才可近似认为体积=容积。 易错点4：混淆“棱长总和”与“表面积”“体积”，如“求长方体框架的用料，计算体积”； 纠正：求框架用料（铁丝长度），计算棱长总和；求表面用料（铁皮、纸皮），计算表面积；求容纳物体的多少，计算体积或容积。 （2）计算与操作类易错点 易错点1：计算长方体表面积时，漏乘2，如“（ab + ah + bh）”当作表面积，忘记乘2；计算正方体表面积时，漏乘6，如“a²”当作表面积； 纠正：牢记公式，长方体S=2(ab+ah+bh)，正方体S=6a²，计算时先算括号内的和，再乘对应系数，避免漏乘。 易错点2：体积单位、容积单位换算错误，如“1立方米=100立方分米”“1升=100毫升”，或分数换算不化简（如400/1000 升不化简为2/5升）； 纠正：牢记进率（相邻体积单位1000，1升=1000毫升），换算时认真计算，分数形式需化简为最简分数。 易错点3：用排水法测量不规则物体体积时，物体未完全浸没，就计算体积，导致结果偏小； 纠正：测量时必须让物体完全浸没在水中，且水不溢出，才能保证“物体体积=排开的水的体积”。 易错点4：计算拼接、切割物体的表面积时，错误计算增加或减少的面积，如“两个正方体拼接，减少1个面的面积”； 纠正：拼接时，两个物体各有1个面重合，因此减少2个面的面积；切割时，每切1次增加2个面的面积，牢记“拼接减2面，切割加2面”。 （3）应用类易错点 易错点1：解决无盖、通风管等特殊表面积问题时，多算或漏算面的面积，如“无盖鱼缸算6个面的面积”“通风管算2个底面”； 纠正：先判断物体有几个完整的面，无盖物体（鱼缸、盒子）算5个面（缺1个上底面），通风管算4个面（缺2个底面），结合生活实际，避免多算或漏算。 易错点2：求容器的容积时，从外部测量长、宽、高，导致结果偏大； 纠正：容积是容器内部能容纳物体的体积，必须从内部测量长、宽、高，若题目未说明“忽略厚度”，则需考虑厚度（通常期中题目会说明“忽略厚度”，直接按体积公式计算）。 易错点3：混淆体积公式与表面积公式，如“求长方体的体积，用表面积公式计算”； 纠正：根据问题判断公式，“求面积、用料”用表面积公式，“求空间大小、容纳多少”用体积公式，牢记公式的适用场景。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 棱长总和计算 例题1：一个长方体长6dm、宽4dm、高3dm，求它的棱长总和；一个正方体棱长5dm，求它的棱长总和。 解析：长方体棱长总和 = （长+宽+高）×4 = （6+4+3）×4 = 13×4 = 52dm；正方体棱长总和 = 棱长×12 = 5×12 = 60dm。 答案：长方体棱长总和是52dm，正方体棱长总和是60dm。 ② 表面积计算 例题2：计算一个长8cm、宽5cm、高4cm的长方体表面积，以及一个棱长6cm的正方体表面积。 解析：长方体表面积 = 2×（8×5 + 8×4 + 5×4）= 2×（40 + 32 + 20）= 2×92 = 184cm²；正方体表面积 = 6×6×6 = 216cm²。 答案：长方体表面积是184cm²，正方体表面积是216cm²。 ③ 体积计算及单位换算 例题3：一个长方体长7cm、宽5cm、高3cm，求它的体积；一个正方体棱长4cm，求它的体积；将2500立方厘米换算成立方分米（用分数表示）。 解析：长方体体积 = 7×5×3 = 105cm³；正方体体积 = 4×4×4 = 64cm³；2500立方厘米 = 2500/1000 立方分米 = 5/2 立方分米（或21/2 立方分米）。 答案：长方体体积是105cm³，正方体体积是64cm³，2500立方厘米 =5/2 立方分米。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 特殊场景表面积计算（无盖） 例题4：一个无盖长方体铁皮水槽，长10dm、宽6dm、高5dm，制作这个水槽至少需要多少平方分米的铁皮？ 解析：无盖水槽有5个面，表面积 = （长×高 + 宽×高）×2 + 长×宽 = （10×5 + 6×5）×2 + 10×6 = （50 + 30）×2 + 60 = 160 + 60 = 220dm²。 答案：至少需要220平方分米的铁皮。 ② 拼接物体的表面积和体积 例题5：将两个棱长4cm的正方体拼接成一个长方体，求拼接后的长方体的表面积和体积。 解析：拼接后长方体的长=4×2=8cm，宽=4cm，高=4cm；表面积 = 2×（8×4 + 8×4 + 4×4）= 2×（32 + 32 + 16）= 160cm²（或两个正方体总表面积 - 减少的面积 = 2×6×4² - 4×4×2 = 192 - 32 = 160cm²）；体积 = 8×4×4 = 128cm³（或两个正方体体积和 = 2×4×4×4 = 128cm³）。 答案：拼接后的长方体表面积是160cm²，体积是128cm³。 ③ 排水法测量不规则物体体积 例题6：一个量杯中装有150mL的水，将一个石块完全浸没在水中后，量杯中水的总体积是230mL，这个石块的体积是多少立方厘米？ 解析：石块体积 = 总体积 - 水的体积 = 230 - 150 = 80mL，因为1mL=1cm³，所以石块体积是80cm³。 答案：这个石块的体积是80立方厘米。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：一个长方体木块，长10cm、宽8cm、高6cm，把它切成两个完全相同的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 解析：切割一次增加2个面，增加的表面积取决于切割面的面积，切割面面积越大，增加的表面积越多，反之越少；长方体的3个面的面积分别是：10×8=80cm²、10×6=60cm²、8×6=48cm²；最多增加 = 80×2 = 160cm²，最少增加 = 48×2 = 96cm²。 答案：表面积最多增加160平方厘米，最少增加96平方厘米。 例题8：一个长方体容器，从内部量长5dm、宽4dm、高3dm，里面装有2dm深的水，将一个棱长2dm的正方体铁块完全浸没在水中，水面会上升多少分米？ 解析：正方体铁块的体积 = 2×2×2 = 8dm³；水面上升的体积 = 铁块的体积，容器底面积 = 5×4 = 20dm²；水面上升高度 = 铁块体积÷容器底面积 = 8÷20 = 0.4dm（或2/5 dm）。 答案：水面会上升0.4分米（或2/5 分米）。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.长方体和正方体特征口诀：长方体，六面长，相对面，一个样；十二棱，分三组，长宽高，各四支；正方体，六面方，十二棱，一个长；是特殊，长方体，长宽高，都一样。 2.棱长总和口诀：长方体，算棱长，长宽高和乘四强；正方体，算棱长，棱长乘十二记心上；已知总和求边长，除以系数莫慌张。 3.表面积口诀：长方体表面积，（长乘宽加长高加宽高）乘二；正方体表面积，棱长平方乘六记；无盖通风要注意，少算面数别忘记。 4.体积和容积口诀：体积空间大小定，容积容器装东西；体积单位立方记，升毫升是容积计；1升等于1立方分米，1毫升等于1立方厘；单位换算看进率，千进关系要牢记。 5.体积公式口诀：长方体体积长宽高，三者相乘错不了；正方体体积棱长立，三个棱长来相乘；通用公式底面积，乘上高来准没错。 （2）解题三步法（规范答题，减少失误） 第一步：审题，圈出关键信息，明确题目考查的知识点（棱长总和、表面积、体积、单位换算、实际应用），判断是否为特殊场景（无盖、拼接、切割、排水法）。 第二步：解题，根据题型选择对应公式和方法——棱长总和用对应公式，表面积区分完整面和特殊面，体积用体积公式，单位换算注意进率和分数化简，实际应用结合场景判断面的个数或计算方法。 第三步：检验，检查单位是否正确（面积单位、体积单位区分），计算是否有误（漏乘系数、单位换算错误），结果是否符合生活实际，规范书写结论（含单位）。 （3）避坑技巧（规避高频易错点） 1.公式区分：表面积带“平方”，体积带“立方”，棱长总和无“平方”“立方”，牢记公式的单位和适用场景，避免混淆。 2.特殊场景表面积：先数“完整面的个数”，再计算，无盖减1面，通风管减2面，拼接减2面/次，切割加2面/次，不盲目套用公式。 3.单位换算：牢记“相邻体积单位进率1000”“1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米”，分数换算后必须化简，避免出现非最简分数。 4.排水法测量：确保物体完全浸没、水不溢出，读数时视线与量杯内水面相平，避免读数错误。 5.拼接、切割：记住“拼接减面，切割加面”，每次都是2个面，面积是拼接/切割面的面积，不漏乘2。 （4）期中复习建议 1.基础巩固：每天练1道棱长总和、1道表面积、1道体积计算，熟练掌握公式，规范书写步骤；背诵单位换算关系和口诀，做到脱口而出。 2.重点突破：集中练习特殊场景的表面积（无盖、通风管、拼接）、单位换算（含分数）、排水法测量，总结解题规律，提升解题能力。 3.难点攻克：每周练2道压轴题（切割表面积变化、水面上升问题），结合空间想象，理解切割、拼接的规律，熟练运用体积公式解决拓展问题。 4.错题整理：将易错点（如漏乘系数、单位混淆、特殊面漏算）整理到错题本，标注错误原因和正确方法，每天复盘10分钟，避免重复犯错。 5.实践辅助：用长方体、正方体实物（如橡皮、魔方）观察，理解面、棱、顶点的特征，拼接、切割实物，直观感受表面积和体积的变化，提升空间想象能力。 六、闯关练习 基础题 1．正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形，它的( )条棱的长度相等，可以把它看成特殊的( )。它们的体积都可以用( )来计算，用字母可以表示为( )。 2．小伍用排水法求一个马铃薯的体积，他先在棱长为的正方体水槽中加水，水深，再将马铃薯放入，直至完全淹没，水面上升到8厘米，这个马铃薯的体积是( )。（水槽厚度忽略不计） 3．一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是120厘米，它的占地面积是( )平方厘米，做一个这样的鱼缸至少需要玻璃( )平方厘米。 4．一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是( )。 5．把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 6．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 提升题 7．一个长方体，长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米，如果它的高增加2厘米，新的长方体的体积比原来增加了（    ）立方厘米。 A．abc B．2ab C．2bc D．2ac 8．一个长方体木料长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把它锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．512 B．216 C．192 D．64 9．将两个完全一样的长方体木块拼成一个大长方体木块，说法正确的是（    ）。 A．表面积增加，体积不变 B．表面积减少，体积不变 C．表面积和体积都增加 D．表面积和体积都不变 10．下图中，甲与乙的表面积相比，甲的表面积（    ）乙的表面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 11．将300mL的水倒入500mL的烧杯中，放入4个体积相同的小球，水没有溢出，再放入一个相同的小球，水溢出一些，根据以上的过程，推测小球的体积大约在（    ）。 A．20mL～30mL B．30mL～40mL C．40mL～50mL D．50mL～60mL 12．一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（    ）盒香皂。 A．336 B．352 C．368 D．384 进阶题 13．计算下边图形的体积和表面积。 14．数学课上，李老师准备了一个长方体容器，从里面量得长12厘米，宽10厘米，高8厘米，现在这个长方体容器中注入深7.5厘米的水，再把一个棱长是5厘米的正方体铁块放入水中（完全浸没），容器溢出水的体积是多少毫升？ 15．一个长方体鱼缸，从里面量得长为8分米，宽为5分米，高为6分米，现在水深5.4分米，当把一个棱长为4分米的小正方体铁块完全浸没在水中后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么容器内的水深将会变成多少？ 16．一个房间长8米，宽4.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和屋顶粉刷涂料，如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 17．一个长方体容器，从里面量长是18厘米，宽是15厘米，高是14厘米，里面装了6厘米深的水。小明将一块石头放入水中后，水面上升到6.1厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版期中知识复习清单 【长方体和正方体】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 5 三、易错点点拨 .......................................................... 7 四、经典题型精讲 .........................................................8 五、学习宝典 ............................................................ 10 六、闯关练习 ............................................................ 11 目标 1.认识长方体和正方体的特征，明确长方体和正方体的相同点与不同点，能准确区分长方体和正方体，掌握长方体、正方体棱长总和的计算方法，能解决相关基础计算问题。 2.理解长方体和正方体表面积的含义，牢记表面积计算公式，能熟练计算长方体、正方体的表面积，能结合生活实际，解决无盖、缺面等特殊场景的表面积问题。 3.理解体积和容积的意义，明确体积与容积的区别与联系，熟记体积单位（立方米、立方分米、立方厘米）和容积单位（升、毫升），能熟练进行单位换算（含分数形式的换算）。 4.掌握长方体和正方体体积的计算公式，能灵活运用公式计算体积，能解决与体积相关的实际应用题，学会用排水法测量不规则物体的体积。 5.规避本单元高频易错点（如混淆表面积与体积、单位换算错误、公式滥用等），规范答题步骤，提升逻辑思维和计算能力，体会数学与生活的联系，为期中检测夯实基础。 6.能结合长方体和正方体的特征，解决拼接、切割等拓展题型，提升空间想象能力和综合解题能力。 一、知识点精讲 （1）长方体和正方体的认识 ① 长方体的特征 长方体是由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，具有以下特征： 1.面：有6个面，相对的面完全相同（形状相同、大小相等）；特殊情况时，有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形。 2.棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，按长度可分为3组，每组4条棱长度相等（分别对应长、宽、高），即4条长、4条宽、4条高。 3.顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 补充：长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，通常用字母a（长）、b（宽）、h（高）表示。 ② 正方体的特征 正方体（也叫立方体）是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体），具有以下特征： 1.面：有6个面，6个面完全相同，都是正方形。 2.棱：有12条棱，12条棱的长度都相等，没有分组（因为长、宽、高相等），通常用字母a表示棱长。 3.顶点：有8个顶点，与长方体的顶点数量相同。 ③ 长方体和正方体的相同点与不同点 相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点；相对的面完全相同（正方体所有面都相同）；相对的棱长度相等（正方体所有棱都相等）。 不同点：1. 面的形状：长方体6个面是长方形（特殊情况2个正方形），正方体6个面是完全相同的正方形；2. 棱的长度：长方体12条棱分3组，每组4条相等，正方体12条棱全部相等；3. 关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高的长方体）。 ④ 棱长总和的计算方法（期中基础考点） 1.长方体棱长总和公式：棱长总和 = （长 + 宽 + 高）× 4，用字母表示为：L = （a + b + h）× 4。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，其棱长总和 = （5 + 3 + 2）× 4 = 10 × 4 = 40cm。 2.正方体棱长总和公式：棱长总和 = 棱长 × 12，用字母表示为：L = a × 12。 举例：一个正方体棱长4cm，其棱长总和 = 4 × 12 = 48cm。 补充：已知棱长总和，求长、宽、高（或棱长）：长方体的长+宽+高 = 棱长总和 ÷ 4；正方体的棱长 = 棱长总和 ÷ 12。 （2）长方体和正方体的表面积 ① 表面积的定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。注意：表面积是“面的面积总和”，单位是面积单位（平方厘米cm²、平方分米dm²、平方米m²）。 ② 表面积计算公式（期中重点考点） 1.长方体表面积公式：长方体表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2，用字母表示为：S = 2（ab + ah + bh）。 推导：长方体6个面分为3组相对的面，每组2个面面积相等，分别计算3组面的面积和，再乘2，即（长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2）= 2（ab + ah + bh）。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，表面积 = 2×（5×3 + 5×2 + 3×2）= 2×（15 + 10 + 6）= 2×31 = 62cm²。 2.正方体表面积公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为：S = 6a²。 推导：正方体6个面完全相同，每个面的面积是棱长×棱长，因此总表面积是6个面的面积和，即棱长×棱长×6。 举例：一个正方体棱长4cm，表面积 = 6×4×4 = 96cm²。 ③ 表面积的实际应用（期中常考题） 生活中，很多长方体物体并非有6个完整的面，计算表面积时需根据实际情况，减去缺少的面的面积，常见场景如下： 1.无盖长方体（如鱼缸、无盖水槽、无盖盒子）：表面积 = （长×高 + 宽×高）× 2 + 长×宽（缺少1个上底面）。 举例：一个无盖长方体鱼缸，长8dm、宽5dm、高6dm，表面积 = （8×6 + 5×6）× 2 + 8×5 = （48 + 30）× 2 + 40 = 156 + 40 = 196dm²。 2.只有4个面的长方体（如通风管、烟囱）：表面积 = （长×高 + 宽×高）× 2（缺少上、下两个底面），若通风管是正方形截面（即长=宽），则表面积 = 棱长×高×4。 3.拼接物体的表面积：两个或多个长方体、正方体拼接时，表面积会减少，减少的面积 = 拼接面的面积×2（两个物体各有1个面重合）。 举例：两个棱长3cm的正方体拼接成一个长方体，拼接后表面积减少 = 3×3×2 = 18cm²，拼接后的长方体表面积 = 2×（6×3 + 6×3 + 3×3）= 90cm²（或两个正方体总表面积 - 减少的面积 = 2×6×3² - 18 = 90cm²）。 （3）体积和容积的意义及单位 ① 体积的定义 物体所占空间的大小，叫做物体的体积。无论物体是实心还是空心，都有体积（空心物体的体积是它所占空间的大小，不包括内部空心部分）。 ② 容积的定义 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。容积仅针对容器（如盒子、杯子、油桶），实心物体没有容积；容器的容积是它内部能容纳物体的空间大小，通常小于它的体积（因为容器有厚度）。 ③ 体积单位和容积单位（期中基础考点） 1.体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个体积单位之间的进率是1000。 换算关系：1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，1立方米 = 1000000立方厘米。 2.容积单位：常用的容积单位有升（L）、毫升（mL），液体、气体通常用容积单位，固体容器也可以用体积单位表示容积。 换算关系：1升 = 1000毫升，1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。 3.分数形式的单位换算：例如，500立方厘米 = 500/1000 立方分米 = 1/2 立方分米；300毫升 = 300/1000 升 = 3/10 升；1/4 立方米 = 250立方分米。 补充：单位换算技巧：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，分数形式需化简为最简分数。 ④ 体积与容积的区别与联系 联系：体积和容积的计算方法相同（都用体积公式），单位可以相互换算（1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米）。 区别：1.意义不同：体积是物体所占空间的大小，容积是容器容纳物体的体积；2.测量方法不同：体积从物体外部测量长、宽、高，容积从容器内部测量长、宽、高；3.大小不同：同一容器，容积＜体积（因为容器有厚度）；4.适用对象不同：体积适用于所有物体，容积只适用于容器。 （4）长方体和正方体的体积计算 ① 体积计算公式（期中核心考点） 1.长方体体积公式：长方体体积 = 长×宽×高，用字母表示为：V = abh。 举例：一个长方体长5cm、宽3cm、高2cm，体积 = 5×3×2 = 30cm³。 2.正方体体积公式：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为：V = a³（a³读作“a的立方”，表示3个a相乘，即a×a×a）。 举例：一个正方体棱长4cm，体积 = 4×4×4 = 64cm³。 3.通用体积公式：长方体和正方体的体积 = 底面积×高，用字母表示为：V = Sh（S表示底面积，h表示高）。 推导：长方体的底面积 = 长×宽，因此V = abh = Sh；正方体的底面积 = 棱长×棱长，因此V = a³ = a×a×a = Sh（h=a）。 举例：一个长方体底面积是15cm²，高是4cm，体积 = 15×4 = 60cm³；一个正方体底面积是16cm²，高是4cm，体积 = 16×4 = 64cm³。 ② 不规则物体体积的测量方法（期中常考题） 对于石块、苹果等不规则物体，无法直接用体积公式计算，常用“排水法”测量，核心原理：不规则物体的体积 = 它排开的水的体积。 规范步骤：1. 往量杯中倒入适量的水，记录水的体积（V₁）；2. 将不规则物体完全浸没在水中（水不溢出），记录此时水和物体的总体积（V₂）；3. 不规则物体的体积 = V₂ - V₁。 举例：量杯中原有水的体积是200mL，放入石块后，总体积是350mL，石块的体积 = 350 - 200 = 150mL = 150cm³。 ③ 体积的实际应用 1.求容器的容积：与求体积方法相同，从容器内部测量长、宽、高，代入体积公式计算，结果用容积单位（升、毫升）或体积单位均可。 举例：一个长方体油桶，从内部量长5dm、宽4dm、高3dm，容积 = 5×4×3 = 60dm³ = 60L。 2.切割物体的体积：把一个长方体或正方体切割成几个小长方体，总体积不变，每个小长方体的体积 = 总体积÷切割的个数；切割后表面积会增加，增加的面积 = 切割面的面积×2（每切割1次，增加2个面）。 举例：一个棱长6cm的正方体，切成2个相同的长方体，每个长方体的体积 = 6×6×6÷2 = 108cm³；切割后表面积增加 = 6×6×2 = 72cm²。 二、重难点突破 （1）难点1：区分长方体和正方体的特征，掌握棱长总和的计算及应用 核心难点：容易混淆长方体和正方体的棱的特点（长方体12条棱分3组，正方体12条棱全相等）；已知棱长总和求长、宽、高时，忘记除以4（长方体）或12（正方体）；忽略“正方体是特殊的长方体”这一关系，导致判断错误。 解题技巧： 1.口诀记忆特征：“长方体，六面形，相对面，全相同；十二棱，分三组，四长四宽四高齐；正方体，特殊形，六面都是正方形，十二棱，一样长，八个顶点记心上”。 2. 长总和计算口诀：“长方体棱长和，（长+宽+高）乘4；正方体棱长和，棱长乘12；已知总和求边长，长方体除以4，正方体除以12”。 3.关键区分：判断一个长方体是否是正方体，只需看“长、宽、高是否相等”，相等就是正方体，不相等就是一般长方体；正方体具备长方体的所有特征，是特殊的长方体。 （2）难点2：掌握表面积的计算，解决无盖、拼接等特殊场景的表面积问题 核心难点：混淆表面积的计算公式（长方体漏乘2、正方体漏乘6）；计算特殊场景（无盖、通风管、拼接）的表面积时，漏减或多减面的面积；拼接、切割时，不会计算表面积的变化量。 解题技巧： 1.牢记表面积公式，计算时先写公式，再代入数据，避免漏乘：长方体S=2(ab+ah+bh)，正方体S=6a²，计算后检查是否乘对系数。 2.特殊场景解题步骤：① 先判断“有几个完整的面”；② 计算完整6个面的表面积；③ 减去缺少的面的面积（无盖减1个底面，通风管减2个底面）；④ 拼接时，表面积=两个物体总表面积 - 拼接面面积×2（重合2个面）。 3.拼接、切割表面积变化规律：拼接次数=拼接个数-1，每次拼接减少2个面；切割次数=切割个数-1，每次切割增加2个面，重点关注“拼接/切割面的面积”（通常是最大面或最小面，题目有说明除外）。 （3）难点3：区分体积与容积，掌握体积单位换算及不规则物体体积的测量 核心难点：混淆体积与容积的意义，认为“体积=容积”；体积单位与容积单位换算错误（尤其是分数形式的换算）；用排水法测量不规则物体体积时，不会读取量杯数据或计算错误；混淆体积公式与表面积公式。 解题技巧： 1.体积与容积区分口诀：“体积是物体占空间，容积是容器装东西；同一容器，容积小，体积大；实心物体有体积，没有容积要记牢”。 2.单位换算技巧：牢记“相邻体积单位进率1000”“1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米”，大换小乘1000，小换大除以1000，分数形式换算后要化简（如600/1000 立方分米 = 3/5 立方分米）。 3.排水法测量步骤：牢记“物体体积=总体积-水的体积”，注意量杯的单位（mL或cm³），1mL=1cm³，计算时单位要统一；若物体未完全浸没，无法准确测量体积（排开的水的体积小于物体体积）。 4.公式区分：表面积是“面的面积和”，单位是面积单位（cm²、dm²），公式含“×2”“×6”；体积是“占空间的大小”，单位是体积单位（cm³、dm³），公式含“×长×宽×高”“×棱长×棱长×棱长”，避免混淆。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：认为“正方体不是长方体”，或“长方体一定有6个长方形的面”； 纠正：正方体是特殊的长方体（长=宽=高的长方体）；长方体特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是长方形，并非一定全是长方形。 易错点2：混淆“体积”与“表面积”，如“一个长方体的体积是60cm²”“一个正方体的表面积是64cm³”； 纠正：体积单位是立方（cm³、dm³），表面积单位是平方（cm²、dm²），单位不能混淆；体积表示物体占空间的大小，表面积表示面的总面积，意义不同。 易错点3：认为“容器的体积等于它的容积”； 纠正：容器有厚度，内部能容纳物体的空间（容积）小于它所占的空间（体积），只有忽略容器厚度时，才可近似认为体积=容积。 易错点4：混淆“棱长总和”与“表面积”“体积”，如“求长方体框架的用料，计算体积”； 纠正：求框架用料（铁丝长度），计算棱长总和；求表面用料（铁皮、纸皮），计算表面积；求容纳物体的多少，计算体积或容积。 （2）计算与操作类易错点 易错点1：计算长方体表面积时，漏乘2，如“（ab + ah + bh）”当作表面积，忘记乘2；计算正方体表面积时，漏乘6，如“a²”当作表面积； 纠正：牢记公式，长方体S=2(ab+ah+bh)，正方体S=6a²，计算时先算括号内的和，再乘对应系数，避免漏乘。 易错点2：体积单位、容积单位换算错误，如“1立方米=100立方分米”“1升=100毫升”，或分数换算不化简（如400/1000 升不化简为2/5升）； 纠正：牢记进率（相邻体积单位1000，1升=1000毫升），换算时认真计算，分数形式需化简为最简分数。 易错点3：用排水法测量不规则物体体积时，物体未完全浸没，就计算体积，导致结果偏小； 纠正：测量时必须让物体完全浸没在水中，且水不溢出，才能保证“物体体积=排开的水的体积”。 易错点4：计算拼接、切割物体的表面积时，错误计算增加或减少的面积，如“两个正方体拼接，减少1个面的面积”； 纠正：拼接时，两个物体各有1个面重合，因此减少2个面的面积；切割时，每切1次增加2个面的面积，牢记“拼接减2面，切割加2面”。 （3）应用类易错点 易错点1：解决无盖、通风管等特殊表面积问题时，多算或漏算面的面积，如“无盖鱼缸算6个面的面积”“通风管算2个底面”； 纠正：先判断物体有几个完整的面，无盖物体（鱼缸、盒子）算5个面（缺1个上底面），通风管算4个面（缺2个底面），结合生活实际，避免多算或漏算。 易错点2：求容器的容积时，从外部测量长、宽、高，导致结果偏大； 纠正：容积是容器内部能容纳物体的体积，必须从内部测量长、宽、高，若题目未说明“忽略厚度”，则需考虑厚度（通常期中题目会说明“忽略厚度”，直接按体积公式计算）。 易错点3：混淆体积公式与表面积公式，如“求长方体的体积，用表面积公式计算”； 纠正：根据问题判断公式，“求面积、用料”用表面积公式，“求空间大小、容纳多少”用体积公式，牢记公式的适用场景。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 棱长总和计算 例题1：一个长方体长6dm、宽4dm、高3dm，求它的棱长总和；一个正方体棱长5dm，求它的棱长总和。 解析：长方体棱长总和 = （长+宽+高）×4 = （6+4+3）×4 = 13×4 = 52dm；正方体棱长总和 = 棱长×12 = 5×12 = 60dm。 答案：长方体棱长总和是52dm，正方体棱长总和是60dm。 ② 表面积计算 例题2：计算一个长8cm、宽5cm、高4cm的长方体表面积，以及一个棱长6cm的正方体表面积。 解析：长方体表面积 = 2×（8×5 + 8×4 + 5×4）= 2×（40 + 32 + 20）= 2×92 = 184cm²；正方体表面积 = 6×6×6 = 216cm²。 答案：长方体表面积是184cm²，正方体表面积是216cm²。 ③ 体积计算及单位换算 例题3：一个长方体长7cm、宽5cm、高3cm，求它的体积；一个正方体棱长4cm，求它的体积；将2500立方厘米换算成立方分米（用分数表示）。 解析：长方体体积 = 7×5×3 = 105cm³；正方体体积 = 4×4×4 = 64cm³；2500立方厘米 = 2500/1000 立方分米 = 5/2 立方分米（或21/2 立方分米）。 答案：长方体体积是105cm³，正方体体积是64cm³，2500立方厘米 =5/2 立方分米。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 特殊场景表面积计算（无盖） 例题4：一个无盖长方体铁皮水槽，长10dm、宽6dm、高5dm，制作这个水槽至少需要多少平方分米的铁皮？ 解析：无盖水槽有5个面，表面积 = （长×高 + 宽×高）×2 + 长×宽 = （10×5 + 6×5）×2 + 10×6 = （50 + 30）×2 + 60 = 160 + 60 = 220dm²。 答案：至少需要220平方分米的铁皮。 ② 拼接物体的表面积和体积 例题5：将两个棱长4cm的正方体拼接成一个长方体，求拼接后的长方体的表面积和体积。 解析：拼接后长方体的长=4×2=8cm，宽=4cm，高=4cm；表面积 = 2×（8×4 + 8×4 + 4×4）= 2×（32 + 32 + 16）= 160cm²（或两个正方体总表面积 - 减少的面积 = 2×6×4² - 4×4×2 = 192 - 32 = 160cm²）；体积 = 8×4×4 = 128cm³（或两个正方体体积和 = 2×4×4×4 = 128cm³）。 答案：拼接后的长方体表面积是160cm²，体积是128cm³。 ③ 排水法测量不规则物体体积 例题6：一个量杯中装有150mL的水，将一个石块完全浸没在水中后，量杯中水的总体积是230mL，这个石块的体积是多少立方厘米？ 解析：石块体积 = 总体积 - 水的体积 = 230 - 150 = 80mL，因为1mL=1cm³，所以石块体积是80cm³。 答案：这个石块的体积是80立方厘米。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：一个长方体木块，长10cm、宽8cm、高6cm，把它切成两个完全相同的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 解析：切割一次增加2个面，增加的表面积取决于切割面的面积，切割面面积越大，增加的表面积越多，反之越少；长方体的3个面的面积分别是：10×8=80cm²、10×6=60cm²、8×6=48cm²；最多增加 = 80×2 = 160cm²，最少增加 = 48×2 = 96cm²。 答案：表面积最多增加160平方厘米，最少增加96平方厘米。 例题8：一个长方体容器，从内部量长5dm、宽4dm、高3dm，里面装有2dm深的水，将一个棱长2dm的正方体铁块完全浸没在水中，水面会上升多少分米？ 解析：正方体铁块的体积 = 2×2×2 = 8dm³；水面上升的体积 = 铁块的体积，容器底面积 = 5×4 = 20dm²；水面上升高度 = 铁块体积÷容器底面积 = 8÷20 = 0.4dm（或2/5 dm）。 答案：水面会上升0.4分米（或2/5 分米）。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.长方体和正方体特征口诀：长方体，六面长，相对面，一个样；十二棱，分三组，长宽高，各四支；正方体，六面方，十二棱，一个长；是特殊，长方体，长宽高，都一样。 2.棱长总和口诀：长方体，算棱长，长宽高和乘四强；正方体，算棱长，棱长乘十二记心上；已知总和求边长，除以系数莫慌张。 3.表面积口诀：长方体表面积，（长乘宽加长高加宽高）乘二；正方体表面积，棱长平方乘六记；无盖通风要注意，少算面数别忘记。 4.体积和容积口诀：体积空间大小定，容积容器装东西；体积单位立方记，升毫升是容积计；1升等于1立方分米，1毫升等于1立方厘；单位换算看进率，千进关系要牢记。 5.体积公式口诀：长方体体积长宽高，三者相乘错不了；正方体体积棱长立，三个棱长来相乘；通用公式底面积，乘上高来准没错。 （2）解题三步法（规范答题，减少失误） 第一步：审题，圈出关键信息，明确题目考查的知识点（棱长总和、表面积、体积、单位换算、实际应用），判断是否为特殊场景（无盖、拼接、切割、排水法）。 第二步：解题，根据题型选择对应公式和方法——棱长总和用对应公式，表面积区分完整面和特殊面，体积用体积公式，单位换算注意进率和分数化简，实际应用结合场景判断面的个数或计算方法。 第三步：检验，检查单位是否正确（面积单位、体积单位区分），计算是否有误（漏乘系数、单位换算错误），结果是否符合生活实际，规范书写结论（含单位）。 （3）避坑技巧（规避高频易错点） 1.公式区分：表面积带“平方”，体积带“立方”，棱长总和无“平方”“立方”，牢记公式的单位和适用场景，避免混淆。 2.特殊场景表面积：先数“完整面的个数”，再计算，无盖减1面，通风管减2面，拼接减2面/次，切割加2面/次，不盲目套用公式。 3.单位换算：牢记“相邻体积单位进率1000”“1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米”，分数换算后必须化简，避免出现非最简分数。 4.排水法测量：确保物体完全浸没、水不溢出，读数时视线与量杯内水面相平，避免读数错误。 5.拼接、切割：记住“拼接减面，切割加面”，每次都是2个面，面积是拼接/切割面的面积，不漏乘2。 （4）期中复习建议 1.基础巩固：每天练1道棱长总和、1道表面积、1道体积计算，熟练掌握公式，规范书写步骤；背诵单位换算关系和口诀，做到脱口而出。 2.重点突破：集中练习特殊场景的表面积（无盖、通风管、拼接）、单位换算（含分数）、排水法测量，总结解题规律，提升解题能力。 3.难点攻克：每周练2道压轴题（切割表面积变化、水面上升问题），结合空间想象，理解切割、拼接的规律，熟练运用体积公式解决拓展问题。 4.错题整理：将易错点（如漏乘系数、单位混淆、特殊面漏算）整理到错题本，标注错误原因和正确方法，每天复盘10分钟，避免重复犯错。 5.实践辅助：用长方体、正方体实物（如橡皮、魔方）观察，理解面、棱、顶点的特征，拼接、切割实物，直观感受表面积和体积的变化，提升空间想象能力。 六、闯关练习 基础题 1．正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形，它的( )条棱的长度相等，可以把它看成特殊的( )。它们的体积都可以用( )来计算，用字母可以表示为( )。 【答案】 6 12 长方体 长×宽×高 V＝abh 【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 正方体6个面都是正方形，且面积相等，有8个顶点，12条棱长度都相等。 长方体的体积：V＝长×宽×高，即V＝abh， 【详解】根据分析可知： 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，它的12条棱的长度相等，可以把它看成特殊的长方体。它们的体积都可以用长×宽×高来计算，用字母可以表示为V＝abh。 2．小伍用排水法求一个马铃薯的体积，他先在棱长为的正方体水槽中加水，水深，再将马铃薯放入，直至完全淹没，水面上升到8厘米，这个马铃薯的体积是( )。（水槽厚度忽略不计） 【答案】200 【分析】由题可知，马铃薯的体积等于水面上升部分水的体积，马铃薯的体积＝底面积乘上升水的高。 【详解】 （） 3．一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是120厘米，它的占地面积是( )平方厘米，做一个这样的鱼缸至少需要玻璃( )平方厘米。 【答案】 14400 72000 【分析】正方体的占地面积是正方体的底面积，用正方体底面积＝棱长×棱长进行计算。无盖的正方体玻璃鱼缸表示这个鱼缸有5个面，求需要多少平方厘米的玻璃，需用正方体表面积＝棱长×棱长×5进行计算。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 它的占地面积是14400平方厘米。做一个这样的鱼缸至少需要玻璃72000平方厘米。 4．一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是( )。 【答案】2 【分析】把这个长方体木料沿横截面截成两段，需要锯1次，每锯一次就会多出2个长方体的横截面，由此可得锯成2段后表面积是增加了2个横截面的面积，由此可以求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，即可解答． 【详解】80dm2＝0.8m2 0.8÷2×5 ＝0.4×5 ＝2（m3） 5．把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【答案】(1) 4 4 (2)64 【分析】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【详解】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 6．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【答案】500 【分析】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。 【详解】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 提升题 7．一个长方体，长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米，如果它的高增加2厘米，新的长方体的体积比原来增加了（    ）立方厘米。 A．abc B．2ab C．2bc D．2ac 【答案】B 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，，先分别求出原长方体和高增加2厘米后的新长方体体积，再用新体积减去原体积，即可求出增加的体积。 【详解】原长方体体积：a×b×c＝abc（立方厘米） 新长方体体积：a×b×（c＋2）＝（abc＋2ab）立方厘米 增加的体积：（abc＋2ab）－abc ＝abc＋2ab－abc ＝2ab（立方厘米） 新的长方体的体积比原来增加了2ab立方厘米。 8．一个长方体木料长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把它锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．512 B．216 C．192 D．64 【答案】D 【分析】以长方体的最短棱长为棱长的正方体是长方体里面最大的正方体，先确定正方体的棱长，再根据“”求出这个正方体的体积。 【详解】因为8厘米＞6厘米＞4厘米，所以最大正方体的棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 这个正方体的体积是64立方厘米。 9．将两个完全一样的长方体木块拼成一个大长方体木块，说法正确的是（    ）。 A．表面积增加，体积不变 B．表面积减少，体积不变 C．表面积和体积都增加 D．表面积和体积都不变 【答案】B 【分析】两个完全一样的长方体拼接时，相接触的两个面会重合，因此表面积减少了两个拼接面的面积。体积是物体所占空间的大小，大长方体所占空间等于两个小长方体所占空间之和，所以体积不变。 【详解】将两个完全一样的长方体木块拼成一个大长方体木块，表面积减少，体积不变。 10．下图中，甲与乙的表面积相比，甲的表面积（    ）乙的表面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】C 【分析】从图中可知，甲是棱长为8cm的正方体，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出甲的表面积； 乙的右上角拿掉了一个小长方体，减少了3个面，同时又露出了同样大小的3个面，所以乙剩下部分的表面积和原来棱长为8cm的正方体的表面积一样大。 【详解】甲、乙的表面积都是： 8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 甲与乙的表面积相比，甲的表面积等于乙的表面积。 11．将300mL的水倒入500mL的烧杯中，放入4个体积相同的小球，水没有溢出，再放入一个相同的小球，水溢出一些，根据以上的过程，推测小球的体积大约在（    ）。 A．20mL～30mL B．30mL～40mL C．40mL～50mL D．50mL～60mL 【答案】C 【分析】要求每个小球的体积在哪一个范围内，根据题意，先用500－300求出5个小球的体积应该大于多少，再除以5，可以推测出一个小球的体积应该大于多少，再根据放入4个体积相同的小球，水没有溢出判断出一个小球的体积最大是多少。 【详解】4＋1＝5（个） 500－300＝200（mL） 一个小球的体积应大于： 200÷5＝40（mL） 放入4个体积相同的小球，水没有溢出，此时说明4个小球的体积最多是200mL， 一个小球的体积最多是： 200÷4＝50（mL） 所以推测小球的体积大约在40mL～50mL。 12．一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（    ）盒香皂。 A．336 B．352 C．368 D．384 【答案】D 【分析】要计算纸箱最多能放多少盒香皂，需要分别计算纸箱的长、宽、高方向各能容纳多少个香皂的长、宽、高，再将三个方向的数量相乘。 【详解】80÷10＝8（盒） 48÷6＝8（盒） 30÷5＝6（盒） 8×8×6＝384（盒） 这个纸箱里最多能放384盒香皂。 进阶题 13．计算下边图形的体积和表面积。 【答案】（1）105立方分米；142平方分米； （2）64立方厘米；96平方厘米 【分析】长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：长×宽×高； 代入数据进行计算。 根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】（1）7×5×3 ＝35×3 ＝105（立方分米） （7×5＋7×3＋5×3）×2 ＝（35＋21＋15）×2 ＝71×2 ＝142（平方分米） 所以，长方体的体积是105立方分米，表面积是142平方分米。 （2）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 所以，正方体的体积是64立方厘米，表面积是96平方厘米。 14．数学课上，李老师准备了一个长方体容器，从里面量得长12厘米，宽10厘米，高8厘米，现在这个长方体容器中注入深7.5厘米的水，再把一个棱长是5厘米的正方体铁块放入水中（完全浸没），容器溢出水的体积是多少毫升？ 【答案】 65 毫升 【分析】本题考查长方体和正方体体积的实际应用。解决此题的关键是理解溢出水的体积等于放入物体的体积减去容器内剩余空间的体积。首先需要计算正方体铁块的体积，其次计算容器内未装水部分的体积（即剩余空间），最后用铁块体积减去剩余空间体积即可得到溢出水的体积，注意体积单位与容积单位的换算。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 65 立方厘米 ＝ 65 毫升 答：容器溢出水的体积是 65 毫升。 15．一个长方体鱼缸，从里面量得长为8分米，宽为5分米，高为6分米，现在水深5.4分米，当把一个棱长为4分米的小正方体铁块完全浸没在水中后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么容器内的水深将会变成多少？ 【答案】40升；4.4分米 【分析】（1）求溢出水的体积：根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，先计算铁块的体积，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，计算鱼缸内剩余空间的体积。若铁块体积大于剩余空间体积，则差值为溢出水的体积，根据1立方分米＝1升进行换算单位。 （2）求取出铁块后的水深：溢出水的体积即为容器内减少的水的体积。用溢出水的体积除以鱼缸底面积，得到水面下降的高度，再用原水深减去下降的高度即可得到现在的水深。 【详解】（立方分米） （立方分米） （立方分米） 40dm3＝40升 （平方分米） （分米） （分米） 答：水会溢出40升，如果再将铁块取出，那么容器内的水深将会变成4.4分米。 16．一个房间长8米，宽4.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和屋顶粉刷涂料，如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 【答案】51.5千克 【分析】粉刷的面共 5 个面，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，求出5个墙面的面积，再减去门窗的面积，再用要粉刷的面积×每平方米需要涂料的重量，即可解答。 【详解】[8×4.5＋（8×3＋4.5×3）×2－8]×0.5 ＝[36＋（24＋13.5）×2－8]×0.5 ＝[36＋37.5×2－8]×0.5 ＝[36＋75－8]×0.5 ＝[111－8]×0.5 ＝103×0.5 ＝51.5（千克） 答：一共需要涂料51.5千克。 17．一个长方体容器，从里面量长是18厘米，宽是15厘米，高是14厘米，里面装了6厘米深的水。小明将一块石头放入水中后，水面上升到6.1厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】27立方厘米 【分析】水面上升部分体积等于石头的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】18×15×（6.1－6） ＝18×15×0.1 ＝270×0.1 ＝27（立方厘米） 答：这块石头的体积是27立方厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $