期中知识复习清单：因数和倍数 2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版期中知识复习清单 【因数和倍数】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 5 三、易错点点拨 .......................................................... 7 四、经典题型精讲 .........................................................8 五、学习宝典 ............................................................ 10 六、闯关练习 ............................................................ 11 目标 1.理解因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的关系，能准确判断两个非0自然数之间的因数与倍数关系，掌握因数和倍数的核心特征。 2.熟练掌握找一个数的因数和倍数的方法，能快速找出1~100以内一个数的所有因数，能列举出一个数的若干个倍数，明确因数和倍数的个数特点。 3.牢记2、3、5的倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、3、5的倍数，能找出同时是2和5、2和3、3和5、2、3和5的倍数的数，理解奇数和偶数的意义及判断方法。 4.理解质数、合数的意义，能准确区分质数、合数和1，熟记100以内的质数，掌握分解质因数的方法，能将一个合数正确分解质因数。 5.掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的意义，能熟练运用列举法、短除法等方法求两个数的最大公因数和最小公倍数，能解决与公因数、公倍数相关的简单实际问题。 6.规避本单元高频易错点，规范答题步骤，提升逻辑推理和计算能力，体会因数和倍数知识与分数约分、通分的关联，为期中检测夯实基础。 一、知识点精讲 （1）因数和倍数的意义及相互关系 ① 核心定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。需要特别注意：因数和倍数的研究范围是非0自然数（0除外），小数、分数不存在因数和倍数关系。 举例：12÷2=6，商是整数且没有余数，所以12是2和6的倍数，2和6是12的因数；18÷3=6，18是3和6的倍数，3和6是18的因数；5÷2=2.5，商不是整数，因此5和2、2.5之间不存在因数和倍数关系。 ② 因数和倍数的相互依存性 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数，也不能单独说某个数是倍数，必须说明“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”。 易错辨析：“6是因数，12是倍数”这种说法是错误的，正确说法是“6是12的因数，12是6的倍数”；同理，“3是因数”“18是倍数”的表述也不正确，必须明确两个数的依存关系。 ③ 找一个数的因数的方法 核心方法：枚举法（成对列举），从1开始，依次用这个数除以1、2、3……，直到除数和商相等（或除数大于商），能整除的除数和商都是这个数的因数，确保不重复、不遗漏。 步骤：1. 从1开始，用这个数除以1，若能整除，1和这个数本身都是它的因数；2. 依次除以2、3……，直到除数大于商；3. 把所有能整除的除数和商整理成有序的因数列表。 举例：找18的因数，18÷1=18（1和18是因数），18÷2=9（2和9是因数），18÷3=6（3和6是因数），18÷4=4.5（不能整除），除数4＞商4.5，停止列举，因此18的因数有1、2、3、6、9、18。 特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 ④ 找一个数的倍数的方法 核心方法：乘法法，用这个数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是这个数的倍数；也可以用除法法，从这个数本身开始，依次加这个数，得到的数都是它的倍数。 步骤：1. 用这个数乘1，得到第一个倍数（即这个数本身）；2. 依次乘2、3、4……，得到后续的倍数；3. 标注“……”表示倍数的个数是无限的（除非题目有明确范围限制）。 举例：找5的倍数，5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20……，因此5的倍数有5、10、15、20……；找12的倍数（100以内），12×1=12，12×2=24……，12×8=96，12×9=108（超过100），因此100以内12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96。 特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）2、3、5的倍数的特征及奇数、偶数 ① 2的倍数的特征 一个数的个位上是0、2、4、6、8，这个数就是2的倍数。例如：2、14、26、38、50、102，这些数的个位都是0、2、4、6、8，因此都是2的倍数。 延伸：能被2整除的数叫做偶数（0也是偶数），不能被2整除的数叫做奇数。偶数的个位是0、2、4、6、8，奇数的个位是1、3、5、7、9。 举例：偶数：0、8、22、56、100；奇数：1、7、19、35、99。 ② 5的倍数的特征 一个数的个位上是0或5，这个数就是5的倍数。例如：5、10、15、20、35、50，这些数的个位是0或5，因此都是5的倍数。 延伸：同时是2和5的倍数的特征：个位上必须是0，因为只有个位是0的数，既能被2整除，也能被5整除。例如：10、20、30、100，都是2和5的公倍数。 ③ 3的倍数的特征（期中重点、难点） 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。注意：3的倍数的特征与个位数字无关，只与各位数字之和有关，这是与2、5的倍数特征的核心区别。 举例：判断123是否是3的倍数，1+2+3=6，6是3的倍数，因此123是3的倍数；判断45是否是3的倍数，4+5=9，9是3的倍数，因此45是3的倍数；判断74是否是3的倍数，7+4=11，11不是3的倍数，因此74不是3的倍数。 延伸：同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各位上的数字之和是3的倍数。例如：30（个位0，3+0=3是3的倍数）、60（个位0，6+0=6是3的倍数）、90（个位0，9+0=9是3的倍数）。 ④ 奇数和偶数的运算性质 1.奇数±奇数=偶数；例如：3+5=8（偶数），9-5=4（偶数）； 2.偶数±偶数=偶数；例如：4+6=10（偶数），12-8=4（偶数）； 3.奇数±偶数=奇数；例如：5+4=9（奇数），11-6=5（奇数）； 4.奇数×奇数=奇数；例如：3×5=15（奇数），7×9=63（奇数）； 5.偶数×偶数=偶数；例如：2×4=8（偶数），6×8=48（偶数）； 6.奇数×偶数=偶数；例如：3×4=12（偶数），5×6=30（偶数）。 （3）质数、合数和1的意义 ① 核心定义 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。例如：2、3、5、7、11，这些数的因数只有1和它本身，因此都是质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4（因数1、2、4）、6（因数1、2、3、6）、8（因数1、2、4、8）、9（因数1、3、9），都是合数。 3.1的特殊性：1只有1这一个因数，因此1既不是质数，也不是合数。这是期中判断题的高频考点，必须牢记。 ② 关键辨析（期中重点） 1.最小的质数是2，也是所有质数中唯一的偶数；除2以外，所有的质数都是奇数，但奇数不一定是质数（如9是奇数，但不是质数）。 2.最小的合数是4，合数可以是奇数（如9、15），也可以是偶数（如4、6、8）。 3.自然数（非0）按因数的个数可分为三类：质数（2个因数）、合数（≥3个因数）、1（1个因数）。 ③ 100以内的质数（必背，期中填空题、选择题高频考点） 100以内共有25个质数，分别是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 记忆技巧：可以分组记忆，如10以内（2、3、5、7），11~20（11、13、17、19），21~30（23、29），31~40（31、37），41~50（41、43、47），51~60（53、59），61~70（61、67），71~80（71、73、79），81~90（83、89），91~100（97）。 （4）分解质因数 ① 核心概念 1.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。例如：12=2×2×3，其中2和3都是质数，也是12的因数，因此2和3是12的质因数。 2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。分解质因数只针对合数，质数不能分解质因数（因为质数只有1和它本身两个因数），1也不能分解质因数。 ② 分解质因数的方法（期中重点） 1.短除法（最常用，规范方法）：用这个合数的最小质因数去除，除到商是质数为止，再把所有的除数和最后的商相乘，就是这个合数的质因数分解式。 步骤：1. 写出合数，画短除号，用这个合数的最小质因数（通常从2开始，2不行用3，依次类推）去除；2. 得到的商如果是合数，继续用它的最小质因数去除；3. 重复步骤2，直到商是质数为止；4. 把所有的除数和最后的商按从小到大的顺序相乘，写出分解式。 举例：分解48的质因数，短除法步骤：48÷2=24，24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3（3是质数），因此48=2×2×2×2×3；分解30的质因数，30÷2=15，15÷3=5（5是质数），因此30=2×3×5。 2.枚举法：把合数写成两个数相乘的形式，再把这两个数分别分解质因数，直到所有因数都是质数为止。例如：18=2×9，9=3×3，因此18=2×3×3。 （5）公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数 ① 核心概念 1.公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 2.公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16、20、24……，6的倍数有6、12、18、24、30……，4和6的公倍数有12、24、36……，最小公倍数是12。 3.互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。例如：3和5（公因数只有1）、7和11（公因数只有1）、8和9（公因数只有1），都是互质数。 ② 求最大公因数的方法（期中重点） 1.列举法：分别找出两个数的所有因数，再找出它们的公因数，最后找出最大的一个。适合较小的数。 举例：求16和24的最大公因数，16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，公因数有1、2、4、8，最大公因数是8。 2.短除法：用两个数的最小质因数去除，除到两个数的商互质为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。适合所有情况，尤其是较大的数。 举例：求24和60的最大公因数，短除法步骤：24和60同时除以2，商是12和30；再同时除以2，商是6和15；再同时除以3，商是2和5（2和5互质），因此最大公因数=2×2×3=12。 3.特殊情况： - 如果两个数成倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数；例如：12和24（24是12的倍数），最大公因数是12。 - 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；例如：5和7（互质数），最大公因数是1。 ③ 求最小公倍数的方法（期中重点） 1.列举法：分别找出两个数的若干个倍数，再找出它们的公倍数，最后找出最小的一个。适合较小的数。 举例：求8和12的最小公倍数，8的倍数有8、16、24、32……，12的倍数有12、24、36……，公倍数有24、48……，最小公倍数是24。 2.短除法：用两个数的最小质因数去除，除到两个数的商互质为止，再把所有的除数和最后的两个商相乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 举例：求12和18的最小公倍数，短除法步骤：12和18同时除以2，商是6和9；再同时除以3，商是2和3（2和3互质），因此最小公倍数=2×3×2×3=36。 3.公式法：两个数的乘积=这两个数的最大公因数×最小公倍数，即：最小公倍数=两个数的乘积÷最大公因数。适合已知最大公因数的情况。 举例：已知15和20的最大公因数是5，求它们的最小公倍数，15×20=300，300÷5=60，因此最小公倍数是60。 4.特殊情况： - 如果两个数成倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数；例如：7和21（21是7的倍数），最小公倍数是21。 - 如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积；例如：3和8（互质数），最小公倍数=3×8=24。 二、重难点突破 （1）难点1：理解因数和倍数的相互依存关系，掌握找因数、倍数的方法 核心难点：容易孤立地说“某个数是因数”“某个数是倍数”，忽略相互依存的关系；找因数时容易遗漏1或这个数本身，找倍数时容易遗漏“……”（忘记倍数个数无限），或混淆“倍数”与“倍”的概念（“倍”可以用于小数、分数，“倍数”只用于非0自然数）。 解题技巧： 1.牢记“依存关系”：判断或表述时，必须带上“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”，避免孤立表述；例如，不能说“8是因数”，要说是“8是24的因数”。 2.找因数的口诀：“成对找，从1起，除数商，不重复，不遗漏，到相等，就停止”，找完后按从小到大的顺序排列，检查是否有遗漏（重点检查1和这个数本身）。 3.找倍数的口诀：“乘1、乘2、乘3，依次往下算，倍数无限多，最小是本身”，除非题目有范围限制（如“100以内”），否则必须标注“……”，区分“倍数”与“倍”（如“5是2的2.5倍”正确，“5是2的倍数”错误）。 （2）难点2：掌握3的倍数的特征，区分2、3、5的倍数特征 核心难点：容易混淆3的倍数特征与2、5的倍数特征，误认为“3的倍数的个位是3、6、9”；判断3的倍数时，只看个位，忽略“各位数字之和”；同时判断2、3、5的倍数时，容易遗漏其中一个条件（如只看个位是0，忽略各位数字之和是3的倍数）。 解题技巧： 1.口诀记忆特征：“2看个位0、2、4、6、8，5看个位0或5，3看和，不看位”，明确区分三者的特征，重点记住3的倍数看“各位数字之和”。 2.判断3的倍数的步骤：先计算这个数各位上的数字之和，再判断和是否是3的倍数，和是3的倍数，这个数就是3的倍数；例如，判断135，1+3+5=9，9是3的倍数，因此135是3的倍数。 3.同时是2、3、5的倍数的判断方法：先看个位是否是0（满足2和5的倍数特征），再看各位数字之和是否是3的倍数（满足3的倍数特征），两个条件同时满足，才是2、3、5的倍数。 （3）难点3：区分质数、合数和1，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用 核心难点：容易把1归为质数或合数，混淆“质数”与“奇数”、“合数”与“偶数”的关系；用短除法求最大公因数和最小公倍数时，容易混淆“除数相乘”（最大公因数）和“除数×最后的商”（最小公倍数）；解决实际问题时，无法判断是求最大公因数还是最小公倍数。 解题技巧： 1.区分质数、合数和1：牢记“1既不是质数也不是合数”，质数只有2个因数（1和本身），合数至少有3个因数；用“因数个数”判断，不用“奇偶性”判断（如9是奇数但不是质数，2是偶数但不是合数）。 2.短除法求最大公因数和最小公倍数口诀：“短除先找最小质因数，除到互质就停止；最大公因数，除数来相乘；最小公倍数，除数乘商不忘记”，举例对比练习，加深记忆（如用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数，对比除数、商的用法）。 3.实际应用题判断技巧：“平均分、裁段、分组（没有剩余）”，求最大公因数；“铺正方形、找共同时间、至少多少（刚好装满）”，求最小公倍数；结合生活场景，举例理解，如“把长12cm、宽8cm的长方形裁成正方形，无剩余，正方形最大边长”，求12和8的最大公因数。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：孤立表述因数和倍数，如“7是因数，28是倍数”，忽略相互依存关系； 纠正：因数和倍数相互依存，必须说明“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，正确表述为“7是28的因数，28是7的倍数”。 易错点2：认为“因数和倍数可以用于小数、分数”，如“2.4是0.6的倍数，0.6是2.4的因数”； 纠正：因数和倍数的研究范围是非0自然数，小数、分数之间不存在因数和倍数关系，该说法错误。 易错点3：混淆“质数”与“奇数”、“合数”与“偶数”，如“所有奇数都是质数”“所有偶数都是合数”； 纠正：奇数不一定是质数（如9、15是奇数但不是质数），偶数不一定是合数（如2是偶数但不是合数），1是奇数但既不是质数也不是合数。 易错点4：认为“1是质数”或“1是合数”； 纠正：1只有1这一个因数，既不符合质数（2个因数）的定义，也不符合合数（≥3个因数）的定义，因此1既不是质数也不是合数。 易错点5：混淆“最大公因数”和“最小公倍数”的概念，如“12和18的最大公因数是36”“12和18的最小公倍数是6”； 纠正：最大公因数是几个数公有的因数中最大的一个，最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的一个，12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36。 （2）计算与操作类易错点 易错点1：找因数时遗漏1或这个数本身，如找16的因数，只写2、4、8、16，遗漏1； 纠正：找因数时从1开始成对列举，确保不遗漏1和这个数本身，16的因数完整列表是1、2、4、8、16。 易错点2：找倍数时忘记标注“……”，或遗漏最小倍数（本身），如找5的倍数，只写10、15、20……，遗漏5； 纠正：一个数的最小倍数是它本身，倍数个数无限，除非有范围限制，否则必须标注“……”，5的倍数正确写法是5、10、15、20……。 易错点3：分解质因数不彻底，或把1当作质因数，如把18分解为18=2×9（9是合数，未分解彻底），或18=1×2×3×3（1不是质因数）； 纠正：分解质因数时，所有因数必须是质数，1不能作为质因数，18正确的分解式是18=2×3×3。 易错点4：用短除法求最大公因数和最小公倍数时，计算错误，如求24和36的最大公因数，误算为2×2=4（正确应为2×2×3=12）； 纠正：短除法求最大公因数，把所有除数相乘；求最小公倍数，把所有除数和最后的商相乘，计算时认真核对，避免漏乘。 （3）应用类易错点 易错点1：解决实际问题时，混淆最大公因数和最小公倍数的应用场景，如“把长15m、宽10m的长方形草坪，分成相同的小正方形，无剩余，小正方形最大边长”，误求15和10的最小公倍数； 纠正：“分成相同小正方形、无剩余”，求最大边长，用最大公因数；“铺正方形、找共同时间”，求最小公倍数，该题应求15和10的最大公因数5m。 易错点2：判断3的倍数时，只看个位，如认为“43是3的倍数”（个位是3）； 纠正：3的倍数看各位数字之和，4+3=7，7不是3的倍数，因此43不是3的倍数，牢记“3看和，不看位”。 易错点3：求两个数的最小公倍数时，忽略特殊情况，如求7和21的最小公倍数，误算为147（正确应为21）； 纠正：两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，7和21成倍数关系，最小公倍数是21。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 找因数和倍数 例题1：找出36的所有因数和100以内36的倍数。 解析：找36的因数，用成对列举法，36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6，除数6=商6，停止列举，因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；找100以内36的倍数，用乘法法，36×1=36，36×2=72，36×3=108（超过100），因此100以内36的倍数有36、72。 答案：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；100以内36的倍数有36、72。 ② 判断2、3、5的倍数 例题2：判断下面各数是否是2、3、5的倍数，说明理由。（1）125 （2）180 （3）72 解析：（1）125：个位是5，是5的倍数；个位不是0、2、4、6、8，不是2的倍数；1+2+5=8，8不是3的倍数，不是3的倍数；（2）180：个位是0，是2和5的倍数；1+8+0=9，9是3的倍数，是3的倍数，因此180是2、3、5的倍数；（3）72：个位是2，是2的倍数；个位不是0或5，不是5的倍数；7+2=9，9是3的倍数，是3的倍数。 答案：（1）125是5的倍数，不是2、3的倍数；（2）180是2、3、5的倍数；（3）72是2、3的倍数，不是5的倍数。 ③ 区分质数、合数和1 例题3：判断下面各数是质数、合数还是1。（1）17 （2）25 （3）1 （4）49 解析：（1）17的因数只有1和17，是质数；（2）25的因数有1、5、25，有3个因数，是合数；（3）1只有1个因数，既不是质数也不是合数；（4）49的因数有1、7、49，有3个因数，是合数。 答案：（1）质数；（2）合数；（3）既不是质数也不是合数；（4）合数。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 分解质因数 例题4：用短除法把54和72分解质因数。 解析：54的短除法：54÷2=27，27÷3=9，9÷3=3（3是质数），因此54=2×3×3×3；72的短除法：72÷2=36，36÷2=18，18÷2=9，9÷3=3（3是质数），因此72=2×2×2×3×3。 答案：54=2×3×3×3；72=2×2×2×3×3。 ② 求最大公因数和最小公倍数 例题5：求18和24的最大公因数和最小公倍数。 解析：方法一（短除法）：18和24同时除以2，商是9和12；再同时除以3，商是3和4（3和4互质）；最大公因数=2×3=6；最小公倍数=2×3×3×4=72；方法二（公式法）：18×24=432，432÷6=72，最小公倍数是72。 答案：最大公因数是6，最小公倍数是72。 ③ 奇数和偶数的运算性质 例题6：判断下面算式的结果是奇数还是偶数。（1）35+47 （2）86-22 （3）19×48 解析：（1）35是奇数，47是奇数，奇数+奇数=偶数，结果是偶数；（2）86是偶数，22是偶数，偶数-偶数=偶数，结果是偶数；（3）19是奇数，48是偶数，奇数×偶数=偶数，结果是偶数。 答案：（1）偶数；（2）偶数；（3）偶数。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：有一包糖果，无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给12个小朋友，都正好分完，这包糖果至少有多少块？如果这包糖果的数量在50~60之间，这包糖果有多少块？ 解析：“平均分给8个或12个小朋友，都正好分完”，说明糖果数量是8和12的公倍数，“至少有多少块”求最小公倍数；先求8和12的最大公因数，8和12的最大公因数是4，最小公倍数=（8×12）÷4=24；50~60之间，8和12的公倍数是48（24×2）、72（24×3，超过60），因此50~60之间的公倍数是48。 答案：这包糖果至少有24块；50~60之间，这包糖果有48块。 例题8：把一张长48cm、宽36cm的长方形纸，裁成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少个这样的正方形？ 解析：正方形边长最大是48和36的最大公因数，用短除法求48和36的最大公因数，48和36同时除以2，商是24和18；再除以2，商是12和9；再除以3，商是4和3（互质），最大公因数=2×2×3=12cm；长方形纸的面积=48×36=1728cm²，正方形面积=12×12=144cm²，裁成的个数=1728÷144=12个；或用（48÷12）×（36÷12）=4×3=12个。 答案：正方形的边长最大是12厘米，一共可以裁成12个这样的正方形。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.因数和倍数口诀：因数倍数相互依，非0自然数来辨析；因数有限成对找，最小是1最大己；倍数无限乘1起，最小是己无最值。 2.2、3、5倍数口诀：2看个位0、2、4、6、8，5看个位0或5，3看和，不看位；同时是2、5，个位0；同时是2、3、5，个位0且和是3。 3.质数合数口诀：质数只有1和己，合数至少三知己；1既不是质也不合，2是唯一偶质数；100以内质数要牢记，成对记忆更省力。 4.最大公因数和最小公倍数口诀：短除先找最小质因数，除到互质就停止；最大公因数，除数来相乘；最小公倍数，除数乘商不忘记；倍数关系看大小，互质关系看乘积。 （2）解题三步法（规范答题，减少失误） 第一步：审题，圈出关键信息，明确题目考查的知识点（找因数、倍数，判断2、3、5的倍数，质数合数辨析，分解质因数，求最大公因数、最小公倍数，实际应用）。 第二步：解题，根据题型选择对应方法——找因数用成对列举法，找倍数用乘法法，判断2、3、5的倍数对照特征，分解质因数用短除法，求最大公因数、最小公倍数用短除法或公式法，实际应用先判断是求最大公因数还是最小公倍数。 第三步：检验，检查答案是否符合要求（如因数是否遗漏、倍数是否标注“……”、分解质因数是否彻底、最大公因数和最小公倍数计算是否正确），规范书写结论。 （3）避坑技巧（规避高频易错点） 1.表述因数和倍数时，必须带上“谁是谁的”，避免孤立表述，牢记“非0自然数”的范围限制。 2.找因数时，成对列举，重点检查1和这个数本身，避免遗漏；找倍数时，牢记“最小倍数是本身”，无限倍数标注“……”。 3.判断3的倍数，坚决不看个位，先算各位数字之和，再判断和是否是3的倍数。 4.分解质因数时，所有因数必须是质数，1不能作为质因数，确保分解彻底（直到商是质数）。 5.实际应用题，先判断场景：“平均分、无剩余”求最大公因数，“找共同、求至少”求最小公倍数，结合口诀快速判断。 6.牢记1、2的特殊性：1既不是质数也不是合数，2是最小的质数、唯一的偶质数。 （4）期中复习建议 1.基础巩固：每天练1道找因数、1道找倍数、1道判断2、3、5的倍数题，熟练掌握核心概念和方法；背诵100以内的质数，做到脱口而出。 2.重点突破：集中练习分解质因数、求最大公因数和最小公倍数的题目，熟练掌握短除法的用法，对比练习，避免混淆。 3.难点攻克：每周练2道实际应用题，重点练习“最大公因数”“最小公倍数”的应用，总结判断技巧，提升解题能力。 4.错题整理：将易错点（如孤立表述因数倍数、分解质因数不彻底、混淆最大公因数和最小公倍数）整理到错题本，标注错误原因和正确方法，每天复盘10分钟。 5.综合练习：每周做1套本单元综合题，模拟期中题型，规范答题步骤，提升综合解题能力，查漏补缺，为期中检测做好准备。 六、闯关练习 基础题 1．一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是( )，请写出它的所有因数是( )。奇数与偶数的和是( )，奇数与偶数的积是( )。 2．在6中，最大填上( )就含有因数2；在49中，至少填上( )就是3的倍数；要使85是2的倍数又是5的倍数，方框里一定要填( )。 3．乐乐和涵涵下围棋，一段时间后，他们发现棋盘上黑棋的数量是20以内最大的质数，白棋的数量是30以内4的最大倍数，则此时棋盘上黑棋有( )枚，白棋有( )枚。 4．阳阳和爸爸玩猜数游戏，爸爸说：“这是一个四位数，最高位既是奇数又是合数，百位上是最小的质数和最小的合数的和，最低位既是偶数又是质数，剩下一个数既不是质数也不是合数，也不是0。”这个数是( )。 5．笑笑在猜数游戏中提出：三个连续偶数的和是42，这三个连续的偶数中最大的偶数是( )。一个数既是56的因数，又是14的倍数，这个数可能是( )。在97，91，2，1，4这5个数中，合数有( )，质数有( )。 6．《三十六计》或称《三十六策》，是指中国古代三十六个兵法策略。其中数字36的最大因数是( )；比36小的两位数中，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 提升题 7．中国云南省昆明市被称为“春城”。因其独特的气候、丰富的历史文化和多样的旅游资源而闻名。暑假，乐乐一家从贵阳出发，乘坐高铁去昆明旅游，购票时乐乐发现开往昆明的火车车次都用奇数表示，从昆明开出的火车车次都用偶数表示。下面的车次，有（    ）个是开往昆明的。 G2865    G2801      G1422       G1236        G2128 A．2 B．3 C．4 D．5 8．如果，且、均为大于0的自然数，那么下面选项中错误的是（    ）。 A．a一定是b的倍数 B．20不是a的因数 C．b一定是a的因数 D．20一定是a的因数 9．如果（），那么（    ）。 A．a是b的因数 B．b和c都是a的倍数 C．b和c都是a的因数 D．a是c的因数 10．时代广场做促销活动，准备把56盒牙膏装进袋子里，使每袋牙膏的盒数相同且数量大于1，有（    ）种不同的装法。 A．5 B．6 C．7 D．8 11．毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，1＋2＋3＝6，所以6就是“完全数”。按照这样推理，下面的数是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．28 C．36 D．12 12．在三位数1☐0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．3 D．无法确定 进阶题 13．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10        7和16         45和60         24和30 14．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 15．重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 16．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版期中知识复习清单 【因数和倍数】 一、知识点精讲 .......................................................... 1 二、重难点突破 .......................................................... 1 三、易错点点拨 .......................................................... 1 四、经典题型精讲 ........................................................ 1 五、学习宝典 ............................................................. 1 六、闯关练习 ............................................................. 1 目标 1.理解因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的关系，能准确判断两个非0自然数之间的因数与倍数关系，掌握因数和倍数的核心特征。 2.熟练掌握找一个数的因数和倍数的方法，能快速找出1~100以内一个数的所有因数，能列举出一个数的若干个倍数，明确因数和倍数的个数特点。 3.牢记2、3、5的倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、3、5的倍数，能找出同时是2和5、2和3、3和5、2、3和5的倍数的数，理解奇数和偶数的意义及判断方法。 4.理解质数、合数的意义，能准确区分质数、合数和1，熟记100以内的质数，掌握分解质因数的方法，能将一个合数正确分解质因数。 5.掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的意义，能熟练运用列举法、短除法等方法求两个数的最大公因数和最小公倍数，能解决与公因数、公倍数相关的简单实际问题。 6.规避本单元高频易错点，规范答题步骤，提升逻辑推理和计算能力，体会因数和倍数知识与分数约分、通分的关联，为期中检测夯实基础。 一、知识点精讲 （1）因数和倍数的意义及相互关系 ① 核心定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。需要特别注意：因数和倍数的研究范围是非0自然数（0除外），小数、分数不存在因数和倍数关系。 举例：12÷2=6，商是整数且没有余数，所以12是2和6的倍数，2和6是12的因数；18÷3=6，18是3和6的倍数，3和6是18的因数；5÷2=2.5，商不是整数，因此5和2、2.5之间不存在因数和倍数关系。 ② 因数和倍数的相互依存性 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数，也不能单独说某个数是倍数，必须说明“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”。 易错辨析：“6是因数，12是倍数”这种说法是错误的，正确说法是“6是12的因数，12是6的倍数”；同理，“3是因数”“18是倍数”的表述也不正确，必须明确两个数的依存关系。 ③ 找一个数的因数的方法 核心方法：枚举法（成对列举），从1开始，依次用这个数除以1、2、3……，直到除数和商相等（或除数大于商），能整除的除数和商都是这个数的因数，确保不重复、不遗漏。 步骤：1. 从1开始，用这个数除以1，若能整除，1和这个数本身都是它的因数；2. 依次除以2、3……，直到除数大于商；3. 把所有能整除的除数和商整理成有序的因数列表。 举例：找18的因数，18÷1=18（1和18是因数），18÷2=9（2和9是因数），18÷3=6（3和6是因数），18÷4=4.5（不能整除），除数4＞商4.5，停止列举，因此18的因数有1、2、3、6、9、18。 特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 ④ 找一个数的倍数的方法 核心方法：乘法法，用这个数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是这个数的倍数；也可以用除法法，从这个数本身开始，依次加这个数，得到的数都是它的倍数。 步骤：1. 用这个数乘1，得到第一个倍数（即这个数本身）；2. 依次乘2、3、4……，得到后续的倍数；3. 标注“……”表示倍数的个数是无限的（除非题目有明确范围限制）。 举例：找5的倍数，5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20……，因此5的倍数有5、10、15、20……；找12的倍数（100以内），12×1=12，12×2=24……，12×8=96，12×9=108（超过100），因此100以内12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96。 特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）2、3、5的倍数的特征及奇数、偶数 ① 2的倍数的特征 一个数的个位上是0、2、4、6、8，这个数就是2的倍数。例如：2、14、26、38、50、102，这些数的个位都是0、2、4、6、8，因此都是2的倍数。 延伸：能被2整除的数叫做偶数（0也是偶数），不能被2整除的数叫做奇数。偶数的个位是0、2、4、6、8，奇数的个位是1、3、5、7、9。 举例：偶数：0、8、22、56、100；奇数：1、7、19、35、99。 ② 5的倍数的特征 一个数的个位上是0或5，这个数就是5的倍数。例如：5、10、15、20、35、50，这些数的个位是0或5，因此都是5的倍数。 延伸：同时是2和5的倍数的特征：个位上必须是0，因为只有个位是0的数，既能被2整除，也能被5整除。例如：10、20、30、100，都是2和5的公倍数。 ③ 3的倍数的特征（期中重点、难点） 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。注意：3的倍数的特征与个位数字无关，只与各位数字之和有关，这是与2、5的倍数特征的核心区别。 举例：判断123是否是3的倍数，1+2+3=6，6是3的倍数，因此123是3的倍数；判断45是否是3的倍数，4+5=9，9是3的倍数，因此45是3的倍数；判断74是否是3的倍数，7+4=11，11不是3的倍数，因此74不是3的倍数。 延伸：同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各位上的数字之和是3的倍数。例如：30（个位0，3+0=3是3的倍数）、60（个位0，6+0=6是3的倍数）、90（个位0，9+0=9是3的倍数）。 ④ 奇数和偶数的运算性质 1.奇数±奇数=偶数；例如：3+5=8（偶数），9-5=4（偶数）； 2.偶数±偶数=偶数；例如：4+6=10（偶数），12-8=4（偶数）； 3.奇数±偶数=奇数；例如：5+4=9（奇数），11-6=5（奇数）； 4.奇数×奇数=奇数；例如：3×5=15（奇数），7×9=63（奇数）； 5.偶数×偶数=偶数；例如：2×4=8（偶数），6×8=48（偶数）； 6.奇数×偶数=偶数；例如：3×4=12（偶数），5×6=30（偶数）。 （3）质数、合数和1的意义 ① 核心定义 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。例如：2、3、5、7、11，这些数的因数只有1和它本身，因此都是质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4（因数1、2、4）、6（因数1、2、3、6）、8（因数1、2、4、8）、9（因数1、3、9），都是合数。 3.1的特殊性：1只有1这一个因数，因此1既不是质数，也不是合数。这是期中判断题的高频考点，必须牢记。 ② 关键辨析（期中重点） 1.最小的质数是2，也是所有质数中唯一的偶数；除2以外，所有的质数都是奇数，但奇数不一定是质数（如9是奇数，但不是质数）。 2.最小的合数是4，合数可以是奇数（如9、15），也可以是偶数（如4、6、8）。 3.自然数（非0）按因数的个数可分为三类：质数（2个因数）、合数（≥3个因数）、1（1个因数）。 ③ 100以内的质数（必背，期中填空题、选择题高频考点） 100以内共有25个质数，分别是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 记忆技巧：可以分组记忆，如10以内（2、3、5、7），11~20（11、13、17、19），21~30（23、29），31~40（31、37），41~50（41、43、47），51~60（53、59），61~70（61、67），71~80（71、73、79），81~90（83、89），91~100（97）。 （4）分解质因数 ① 核心概念 1.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。例如：12=2×2×3，其中2和3都是质数，也是12的因数，因此2和3是12的质因数。 2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。分解质因数只针对合数，质数不能分解质因数（因为质数只有1和它本身两个因数），1也不能分解质因数。 ② 分解质因数的方法（期中重点） 1.短除法（最常用，规范方法）：用这个合数的最小质因数去除，除到商是质数为止，再把所有的除数和最后的商相乘，就是这个合数的质因数分解式。 步骤：1. 写出合数，画短除号，用这个合数的最小质因数（通常从2开始，2不行用3，依次类推）去除；2. 得到的商如果是合数，继续用它的最小质因数去除；3. 重复步骤2，直到商是质数为止；4. 把所有的除数和最后的商按从小到大的顺序相乘，写出分解式。 举例：分解48的质因数，短除法步骤：48÷2=24，24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3（3是质数），因此48=2×2×2×2×3；分解30的质因数，30÷2=15，15÷3=5（5是质数），因此30=2×3×5。 2.枚举法：把合数写成两个数相乘的形式，再把这两个数分别分解质因数，直到所有因数都是质数为止。例如：18=2×9，9=3×3，因此18=2×3×3。 （5）公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数 ① 核心概念 1.公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 2.公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16、20、24……，6的倍数有6、12、18、24、30……，4和6的公倍数有12、24、36……，最小公倍数是12。 3.互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。例如：3和5（公因数只有1）、7和11（公因数只有1）、8和9（公因数只有1），都是互质数。 ② 求最大公因数的方法（期中重点） 1.列举法：分别找出两个数的所有因数，再找出它们的公因数，最后找出最大的一个。适合较小的数。 举例：求16和24的最大公因数，16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，公因数有1、2、4、8，最大公因数是8。 2.短除法：用两个数的最小质因数去除，除到两个数的商互质为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。适合所有情况，尤其是较大的数。 举例：求24和60的最大公因数，短除法步骤：24和60同时除以2，商是12和30；再同时除以2，商是6和15；再同时除以3，商是2和5（2和5互质），因此最大公因数=2×2×3=12。 3.特殊情况： - 如果两个数成倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数；例如：12和24（24是12的倍数），最大公因数是12。 - 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；例如：5和7（互质数），最大公因数是1。 ③ 求最小公倍数的方法（期中重点） 1.列举法：分别找出两个数的若干个倍数，再找出它们的公倍数，最后找出最小的一个。适合较小的数。 举例：求8和12的最小公倍数，8的倍数有8、16、24、32……，12的倍数有12、24、36……，公倍数有24、48……，最小公倍数是24。 2.短除法：用两个数的最小质因数去除，除到两个数的商互质为止，再把所有的除数和最后的两个商相乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 举例：求12和18的最小公倍数，短除法步骤：12和18同时除以2，商是6和9；再同时除以3，商是2和3（2和3互质），因此最小公倍数=2×3×2×3=36。 3.公式法：两个数的乘积=这两个数的最大公因数×最小公倍数，即：最小公倍数=两个数的乘积÷最大公因数。适合已知最大公因数的情况。 举例：已知15和20的最大公因数是5，求它们的最小公倍数，15×20=300，300÷5=60，因此最小公倍数是60。 4.特殊情况： - 如果两个数成倍数关系，那么较大的数就是它们的最小公倍数；例如：7和21（21是7的倍数），最小公倍数是21。 - 如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积；例如：3和8（互质数），最小公倍数=3×8=24。 二、重难点突破 （1）难点1：理解因数和倍数的相互依存关系，掌握找因数、倍数的方法 核心难点：容易孤立地说“某个数是因数”“某个数是倍数”，忽略相互依存的关系；找因数时容易遗漏1或这个数本身，找倍数时容易遗漏“……”（忘记倍数个数无限），或混淆“倍数”与“倍”的概念（“倍”可以用于小数、分数，“倍数”只用于非0自然数）。 解题技巧： 1.牢记“依存关系”：判断或表述时，必须带上“谁是谁的因数”“谁是谁的倍数”，避免孤立表述；例如，不能说“8是因数”，要说是“8是24的因数”。 2.找因数的口诀：“成对找，从1起，除数商，不重复，不遗漏，到相等，就停止”，找完后按从小到大的顺序排列，检查是否有遗漏（重点检查1和这个数本身）。 3.找倍数的口诀：“乘1、乘2、乘3，依次往下算，倍数无限多，最小是本身”，除非题目有范围限制（如“100以内”），否则必须标注“……”，区分“倍数”与“倍”（如“5是2的2.5倍”正确，“5是2的倍数”错误）。 （2）难点2：掌握3的倍数的特征，区分2、3、5的倍数特征 核心难点：容易混淆3的倍数特征与2、5的倍数特征，误认为“3的倍数的个位是3、6、9”；判断3的倍数时，只看个位，忽略“各位数字之和”；同时判断2、3、5的倍数时，容易遗漏其中一个条件（如只看个位是0，忽略各位数字之和是3的倍数）。 解题技巧： 1.口诀记忆特征：“2看个位0、2、4、6、8，5看个位0或5，3看和，不看位”，明确区分三者的特征，重点记住3的倍数看“各位数字之和”。 2.判断3的倍数的步骤：先计算这个数各位上的数字之和，再判断和是否是3的倍数，和是3的倍数，这个数就是3的倍数；例如，判断135，1+3+5=9，9是3的倍数，因此135是3的倍数。 3.同时是2、3、5的倍数的判断方法：先看个位是否是0（满足2和5的倍数特征），再看各位数字之和是否是3的倍数（满足3的倍数特征），两个条件同时满足，才是2、3、5的倍数。 （3）难点3：区分质数、合数和1，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用 核心难点：容易把1归为质数或合数，混淆“质数”与“奇数”、“合数”与“偶数”的关系；用短除法求最大公因数和最小公倍数时，容易混淆“除数相乘”（最大公因数）和“除数×最后的商”（最小公倍数）；解决实际问题时，无法判断是求最大公因数还是最小公倍数。 解题技巧： 1.区分质数、合数和1：牢记“1既不是质数也不是合数”，质数只有2个因数（1和本身），合数至少有3个因数；用“因数个数”判断，不用“奇偶性”判断（如9是奇数但不是质数，2是偶数但不是合数）。 2.短除法求最大公因数和最小公倍数口诀：“短除先找最小质因数，除到互质就停止；最大公因数，除数来相乘；最小公倍数，除数乘商不忘记”，举例对比练习，加深记忆（如用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数，对比除数、商的用法）。 3.实际应用题判断技巧：“平均分、裁段、分组（没有剩余）”，求最大公因数；“铺正方形、找共同时间、至少多少（刚好装满）”，求最小公倍数；结合生活场景，举例理解，如“把长12cm、宽8cm的长方形裁成正方形，无剩余，正方形最大边长”，求12和8的最大公因数。 三、易错点点拨 （1）概念辨析类易错点 易错点1：孤立表述因数和倍数，如“7是因数，28是倍数”，忽略相互依存关系； 纠正：因数和倍数相互依存，必须说明“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，正确表述为“7是28的因数，28是7的倍数”。 易错点2：认为“因数和倍数可以用于小数、分数”，如“2.4是0.6的倍数，0.6是2.4的因数”； 纠正：因数和倍数的研究范围是非0自然数，小数、分数之间不存在因数和倍数关系，该说法错误。 易错点3：混淆“质数”与“奇数”、“合数”与“偶数”，如“所有奇数都是质数”“所有偶数都是合数”； 纠正：奇数不一定是质数（如9、15是奇数但不是质数），偶数不一定是合数（如2是偶数但不是合数），1是奇数但既不是质数也不是合数。 易错点4：认为“1是质数”或“1是合数”； 纠正：1只有1这一个因数，既不符合质数（2个因数）的定义，也不符合合数（≥3个因数）的定义，因此1既不是质数也不是合数。 易错点5：混淆“最大公因数”和“最小公倍数”的概念，如“12和18的最大公因数是36”“12和18的最小公倍数是6”； 纠正：最大公因数是几个数公有的因数中最大的一个，最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的一个，12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36。 （2）计算与操作类易错点 易错点1：找因数时遗漏1或这个数本身，如找16的因数，只写2、4、8、16，遗漏1； 纠正：找因数时从1开始成对列举，确保不遗漏1和这个数本身，16的因数完整列表是1、2、4、8、16。 易错点2：找倍数时忘记标注“……”，或遗漏最小倍数（本身），如找5的倍数，只写10、15、20……，遗漏5； 纠正：一个数的最小倍数是它本身，倍数个数无限，除非有范围限制，否则必须标注“……”，5的倍数正确写法是5、10、15、20……。 易错点3：分解质因数不彻底，或把1当作质因数，如把18分解为18=2×9（9是合数，未分解彻底），或18=1×2×3×3（1不是质因数）； 纠正：分解质因数时，所有因数必须是质数，1不能作为质因数，18正确的分解式是18=2×3×3。 易错点4：用短除法求最大公因数和最小公倍数时，计算错误，如求24和36的最大公因数，误算为2×2=4（正确应为2×2×3=12）； 纠正：短除法求最大公因数，把所有除数相乘；求最小公倍数，把所有除数和最后的商相乘，计算时认真核对，避免漏乘。 （3）应用类易错点 易错点1：解决实际问题时，混淆最大公因数和最小公倍数的应用场景，如“把长15m、宽10m的长方形草坪，分成相同的小正方形，无剩余，小正方形最大边长”，误求15和10的最小公倍数； 纠正：“分成相同小正方形、无剩余”，求最大边长，用最大公因数；“铺正方形、找共同时间”，求最小公倍数，该题应求15和10的最大公因数5m。 易错点2：判断3的倍数时，只看个位，如认为“43是3的倍数”（个位是3）； 纠正：3的倍数看各位数字之和，4+3=7，7不是3的倍数，因此43不是3的倍数，牢记“3看和，不看位”。 易错点3：求两个数的最小公倍数时，忽略特殊情况，如求7和21的最小公倍数，误算为147（正确应为21）； 纠正：两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，7和21成倍数关系，最小公倍数是21。 四、经典题型精讲 （1）基础题型（期中必拿分，巩固核心知识点） ① 找因数和倍数 例题1：找出36的所有因数和100以内36的倍数。 解析：找36的因数，用成对列举法，36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6，除数6=商6，停止列举，因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；找100以内36的倍数，用乘法法，36×1=36，36×2=72，36×3=108（超过100），因此100以内36的倍数有36、72。 答案：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；100以内36的倍数有36、72。 ② 判断2、3、5的倍数 例题2：判断下面各数是否是2、3、5的倍数，说明理由。（1）125 （2）180 （3）72 解析：（1）125：个位是5，是5的倍数；个位不是0、2、4、6、8，不是2的倍数；1+2+5=8，8不是3的倍数，不是3的倍数；（2）180：个位是0，是2和5的倍数；1+8+0=9，9是3的倍数，是3的倍数，因此180是2、3、5的倍数；（3）72：个位是2，是2的倍数；个位不是0或5，不是5的倍数；7+2=9，9是3的倍数，是3的倍数。 答案：（1）125是5的倍数，不是2、3的倍数；（2）180是2、3、5的倍数；（3）72是2、3的倍数，不是5的倍数。 ③ 区分质数、合数和1 例题3：判断下面各数是质数、合数还是1。（1）17 （2）25 （3）1 （4）49 解析：（1）17的因数只有1和17，是质数；（2）25的因数有1、5、25，有3个因数，是合数；（3）1只有1个因数，既不是质数也不是合数；（4）49的因数有1、7、49，有3个因数，是合数。 答案：（1）质数；（2）合数；（3）既不是质数也不是合数；（4）合数。 （2）中档题型（期中常考题，重点突破） ① 分解质因数 例题4：用短除法把54和72分解质因数。 解析：54的短除法：54÷2=27，27÷3=9，9÷3=3（3是质数），因此54=2×3×3×3；72的短除法：72÷2=36，36÷2=18，18÷2=9，9÷3=3（3是质数），因此72=2×2×2×3×3。 答案：54=2×3×3×3；72=2×2×2×3×3。 ② 求最大公因数和最小公倍数 例题5：求18和24的最大公因数和最小公倍数。 解析：方法一（短除法）：18和24同时除以2，商是9和12；再同时除以3，商是3和4（3和4互质）；最大公因数=2×3=6；最小公倍数=2×3×3×4=72；方法二（公式法）：18×24=432，432÷6=72，最小公倍数是72。 答案：最大公因数是6，最小公倍数是72。 ③ 奇数和偶数的运算性质 例题6：判断下面算式的结果是奇数还是偶数。（1）35+47 （2）86-22 （3）19×48 解析：（1）35是奇数，47是奇数，奇数+奇数=偶数，结果是偶数；（2）86是偶数，22是偶数，偶数-偶数=偶数，结果是偶数；（3）19是奇数，48是偶数，奇数×偶数=偶数，结果是偶数。 答案：（1）偶数；（2）偶数；（3）偶数。 （3）压轴题型（期中难题，提升能力） 例题7：有一包糖果，无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给12个小朋友，都正好分完，这包糖果至少有多少块？如果这包糖果的数量在50~60之间，这包糖果有多少块？ 解析：“平均分给8个或12个小朋友，都正好分完”，说明糖果数量是8和12的公倍数，“至少有多少块”求最小公倍数；先求8和12的最大公因数，8和12的最大公因数是4，最小公倍数=（8×12）÷4=24；50~60之间，8和12的公倍数是48（24×2）、72（24×3，超过60），因此50~60之间的公倍数是48。 答案：这包糖果至少有24块；50~60之间，这包糖果有48块。 例题8：把一张长48cm、宽36cm的长方形纸，裁成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少个这样的正方形？ 解析：正方形边长最大是48和36的最大公因数，用短除法求48和36的最大公因数，48和36同时除以2，商是24和18；再除以2，商是12和9；再除以3，商是4和3（互质），最大公因数=2×2×3=12cm；长方形纸的面积=48×36=1728cm²，正方形面积=12×12=144cm²，裁成的个数=1728÷144=12个；或用（48÷12）×（36÷12）=4×3=12个。 答案：正方形的边长最大是12厘米，一共可以裁成12个这样的正方形。 五、学习宝典 （1）记忆口诀（快速掌握核心知识点） 1.因数和倍数口诀：因数倍数相互依，非0自然数来辨析；因数有限成对找，最小是1最大己；倍数无限乘1起，最小是己无最值。 2.2、3、5倍数口诀：2看个位0、2、4、6、8，5看个位0或5，3看和，不看位；同时是2、5，个位0；同时是2、3、5，个位0且和是3。 3.质数合数口诀：质数只有1和己，合数至少三知己；1既不是质也不合，2是唯一偶质数；100以内质数要牢记，成对记忆更省力。 4.最大公因数和最小公倍数口诀：短除先找最小质因数，除到互质就停止；最大公因数，除数来相乘；最小公倍数，除数乘商不忘记；倍数关系看大小，互质关系看乘积。 （2）解题三步法（规范答题，减少失误） 第一步：审题，圈出关键信息，明确题目考查的知识点（找因数、倍数，判断2、3、5的倍数，质数合数辨析，分解质因数，求最大公因数、最小公倍数，实际应用）。 第二步：解题，根据题型选择对应方法——找因数用成对列举法，找倍数用乘法法，判断2、3、5的倍数对照特征，分解质因数用短除法，求最大公因数、最小公倍数用短除法或公式法，实际应用先判断是求最大公因数还是最小公倍数。 第三步：检验，检查答案是否符合要求（如因数是否遗漏、倍数是否标注“……”、分解质因数是否彻底、最大公因数和最小公倍数计算是否正确），规范书写结论。 （3）避坑技巧（规避高频易错点） 1.表述因数和倍数时，必须带上“谁是谁的”，避免孤立表述，牢记“非0自然数”的范围限制。 2.找因数时，成对列举，重点检查1和这个数本身，避免遗漏；找倍数时，牢记“最小倍数是本身”，无限倍数标注“……”。 3.判断3的倍数，坚决不看个位，先算各位数字之和，再判断和是否是3的倍数。 4.分解质因数时，所有因数必须是质数，1不能作为质因数，确保分解彻底（直到商是质数）。 5.实际应用题，先判断场景：“平均分、无剩余”求最大公因数，“找共同、求至少”求最小公倍数，结合口诀快速判断。 6.牢记1、2的特殊性：1既不是质数也不是合数，2是最小的质数、唯一的偶质数。 （4）期中复习建议 1.基础巩固：每天练1道找因数、1道找倍数、1道判断2、3、5的倍数题，熟练掌握核心概念和方法；背诵100以内的质数，做到脱口而出。 2.重点突破：集中练习分解质因数、求最大公因数和最小公倍数的题目，熟练掌握短除法的用法，对比练习，避免混淆。 3.难点攻克：每周练2道实际应用题，重点练习“最大公因数”“最小公倍数”的应用，总结判断技巧，提升解题能力。 4.错题整理：将易错点（如孤立表述因数倍数、分解质因数不彻底、混淆最大公因数和最小公倍数）整理到错题本，标注错误原因和正确方法，每天复盘10分钟。 5.综合练习：每周做1套本单元综合题，模拟期中题型，规范答题步骤，提升综合解题能力，查漏补缺，为期中检测做好准备。 六、闯关练习 基础题 1．一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是( )，请写出它的所有因数是( )。奇数与偶数的和是( )，奇数与偶数的积是( )。 【答案】 24 1、2、3、4、6、8、12、24 奇数 偶数 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。根据奇数和偶数的运算性质判断奇数与偶数的和、奇数与偶数的积。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是24； 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的所有因数是：1、2、3、4、6、8、12、24； 奇数与偶数的和是奇数； 奇数与偶数的积是偶数。 2．在6中，最大填上( )就含有因数2；在49中，至少填上( )就是3的倍数；要使85是2的倍数又是5的倍数，方框里一定要填( )。 【答案】 8 2 0 【分析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；3的倍数的特征是一个数各位上的数字之和是3的倍数；5的倍数的特征是个位上是0或5；同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0。 【详解】根据2的倍数特征，个位可以是0、2、4、6、8，最大为8。 4＋9＝13，13至少加2得15，15是3的倍数，所以至少填上2。 根据2和5的倍数特征，个位只能是0，所以填0。 3．乐乐和涵涵下围棋，一段时间后，他们发现棋盘上黑棋的数量是20以内最大的质数，白棋的数量是30以内4的最大倍数，则此时棋盘上黑棋有( )枚，白棋有( )枚。 【答案】 19 28 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，20以内的最大的质数是19；4的倍数即能被4整除的数，30以内4的最大倍数是28。据此填空即可。 【详解】乐乐和涵涵下围棋，一段时间后，他们发现棋盘上黑棋的数量是20以内最大的质数，白棋的数量是30以内4的最大倍数，则此时棋盘上黑棋有19枚，白棋有28枚。 4．阳阳和爸爸玩猜数游戏，爸爸说：“这是一个四位数，最高位既是奇数又是合数，百位上是最小的质数和最小的合数的和，最低位既是偶数又是质数，剩下一个数既不是质数也不是合数，也不是0。”这个数是( )。 【答案】9612 【分析】自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。按数位逐一分析，确定每一位的数字。 【详解】一位数中，既是奇数又是合数的数是9，因此千位是9； 最小的质数是2，最小的合数是4，二者和为2＋4＝6，因此百位是6； 唯一既是偶数又是质数的数是2，因此个位是2； 既不是质数也不是合数、且不为0的数是1，因此十位是1。 综上，组合后得到这个四位数是9612。 5．笑笑在猜数游戏中提出：三个连续偶数的和是42，这三个连续的偶数中最大的偶数是( )。一个数既是56的因数，又是14的倍数，这个数可能是( )。在97，91，2，1，4这5个数中，合数有( )，质数有( )。 【答案】 16 14/28/56 91、4 97、2 【分析】用三个连续偶数的和除以3，求出中间的偶数，再用中间的偶数加2即可求出最大的偶数。 如果a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数，先写出56的所有因数，再在这些因数中找出14的倍数。 自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。 【详解】42÷3＝14 14＋2＝16 这三个连续的偶数中最大的偶数是16。 56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56，其中14的倍数有14、28、56。 一个数既是56的因数，又是14的倍数，这个数可能是14、28、56。 在97，91，2，1，4这5个数中，合数有91、4，质数有97、2。 6．《三十六计》或称《三十六策》，是指中国古代三十六个兵法策略。其中数字36的最大因数是( )；比36小的两位数中，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】 36 12、18、24、30 【分析】一个数最大的因数是它本身。既是2的倍数又是3的倍数的数，是6（2×3＝6）的倍数，需要找出比36小的两位数，也就是从10到35之间所有6的倍数。 【详解】36的最大因数是36。 在10~35之间，6的倍数有12（6×2＝12）、18（6×3＝18）、24（6×4＝24）、30（6×5＝30），所以既是2的倍数，又是3的倍数的有12、18、24、30。 提升题 7．中国云南省昆明市被称为“春城”。因其独特的气候、丰富的历史文化和多样的旅游资源而闻名。暑假，乐乐一家从贵阳出发，乘坐高铁去昆明旅游，购票时乐乐发现开往昆明的火车车次都用奇数表示，从昆明开出的火车车次都用偶数表示。下面的车次，有（    ）个是开往昆明的。 G2865      G2801        G1422         G1236          G2128 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；个位是0，2，4，6，8的数是偶数，个位是1，3，5，7，9的数是奇数，据此可以判断。 【详解】奇数有2865，2801，因此有G2865和G2801两个是开往昆明的。 8．如果，且、均为大于0的自然数，那么下面选项中错误的是（    ）。 A．a一定是b的倍数 B．20不是a的因数 C．b一定是a的因数 D．20一定是a的因数 【答案】B 【分析】根据因数与倍数的定义：若两个自然数相除的商为自然数且没有余数，则被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。据此逐项分析。 【详解】A．因为a÷b＝20，说明a能被b整除，符合倍数的定义，因此a一定是b的倍数，该选项正确。 B．由a÷b＝20可推出a＝20×b，这说明a能被20整除，因此20是a的因数，该选项错误。 C．因为a÷b＝20，说明a能被b整除，符合因数的定义，因此b一定是a的因数，该选项正确。 D．由a÷b＝20可知，a能被20整除，符合因数的定义，因此20一定是a的因数，该选项正确。 9．如果（），那么（    ）。 A．a是b的因数 B．b和c都是a的倍数 C．b和c都是a的因数 D．a是c的因数 【答案】C 【分析】因数和倍数：如果a÷b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么b、c是a的因数，a是b、c的倍数；如：36÷4＝9，4和9是36的因数，36是4和9的倍数。 【详解】A．如果a÷b＝c（b≠0），那么a是b的倍数；原说法错误； B．如果a÷b＝c（b≠0），那么b和c都是a的因数；原说法错误； C．如果a÷b＝c（b≠0），那么b和c都是a的因数；原说法正确； D．如果a÷b＝c（b≠0），那么a是c的倍数；原说法错误。 10．时代广场做促销活动，准备把56盒牙膏装进袋子里，使每袋牙膏的盒数相同且数量大于1，有（    ）种不同的装法。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】每袋牙膏的盒数相同且数量大于1，只需找出56的所有因数即可解答。 【详解】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8。 符合条件的装法（每袋数量大于1）：每袋2盒，装28袋；每袋4盒，装14袋；每袋7盒，装8袋；每袋8盒，装7袋；每袋14盒，装4袋；每袋28盒，装2袋；每袋56盒，装1袋。共7种不同装法。 11．毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，1＋2＋3＝6，所以6就是“完全数”。按照这样推理，下面的数是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．28 C．36 D．12 【答案】B 【分析】先找出每个选项的所有因数，再把除本身外的因数相加，看和是否等于这个数，符合的就是完全数。 【详解】A．16的因数：1、2、4、8、16 除本身外的因数和：1＋2＋4＋8＝15，15＜16，所以16不是完全数。 B．28的因数：1、2、4、7、14、28 除本身外的因数和：1＋2＋4＋7＋14＝28，28＝28，所以28是完全数。 C．36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 除本身外的因数和：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，55＞36，36不是完全数。 D．12的因数：1、2、3、4、6、12 除本身外的因数和：1＋2＋3＋4＋6＝16，16＞12，12不是完全数。 12．在三位数1☐0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】三位数1□0的个位是0，满足同时是2、5的倍数。只需再满足3的倍数特征，即各数位上的数字之和（1＋□＋0）能被3整除，据此分别填入数字进行计算即可。 【详解】当□＝2时，1＋2＝3，能被3整除； 当□＝5时，1＋5＝6，能被3整除； 当□＝8时，1＋8＝9，能被3整除。 因此，□可以填2、5、8，最多有3种填法。 进阶题 13．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10        7和16         45和60         24和30 【答案】最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 14．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 【答案】4种 【分析】根据题意，行数×列数＝60，即行数和列数是60的一对因数，并且需要满足条件：行数≥3，列数≥3，每行人数＞每列人数，根据乘法算式列出60的因数，看满足条件的有几对即可。 【详解】1×60＝60（1＜3，不符合） 2×30＝60（2＜3，不符合） 3×20＝60（每行20人，每列3人，符合条件） 4×15＝60（每行15人，每列4人，符合条件） 5×12＝60（每行12人，每列5人，符合条件） 6×10＝60（每行10人，每列6人，符合条件） 综上：有4种不同排法。 答：有4种不同的排法。 15．重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【答案】3件装 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【详解】根据题意分析：153不是2和5的倍数。 1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。 答：用3件装的纸箱正好装完。 16．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 【答案】楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份；理由见详解 【分析】分别检查表格中每个字体对应的数量是否为合数，即能否找到两个大于1的整数相乘等于该数量。 质数是指大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他因数的数，因此可以分解为两个大于1的整数的乘积。 【详解】答：楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。理由： 隶书：31的因数只有1和31，不能平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）； 楷书：57的因数有1、3、19、57，可分成3份，每份19幅，或分成19份，每份3幅，能平均分成若干份； 行书：91的因数有1、7、13、91，可分成7份，每份13幅，或分成13份，每份7幅，能平均分成若干份； 草书：42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，可分成2份，每份21幅，或分成3份，每份14幅，或分成6份，每份7幅等，能平均分成若干份； 所以楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。因为57、91、42都是合数，除了1和它本身之外还有其他因数，而31是质数，只有1和它本身两个因数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $