精品解析：四川内江市资中县育才学校2025--2026学年九年下学期第一次数学月练习试卷

资中县育才学校九年下册第一次数学月练习试卷 （A卷100分） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 给出四个数0，，－1，3其中最小的是（ ） A. 0 B. C. －1 D. 3 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列函数中，二次函数是（　　） A. y=﹣2x﹣1 B. y=2x2 C. y= D. y=ax2+bx+c 4. 为了了解我市参加中考的39 000名学生的视力情况，抽查了2 000名学生的视力进行统计分析，下面四个判断中，正确的是（　　） A. 39 000名学生是总体 B. 每名学生是总体的一个个体 C. 2 000名学生的视力情况是总体的一个样本 D. 上述调查是普查 5. 二次函数的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 6. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 7. 如图，内接于，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 11. 如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. “Welcome to Senior High School．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O出现的频率是________． 14. 若是二次函数，则的值为______． 15. 如果函数的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，那么平移后的解析式为________________． 16. 某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为_________． 三、解答题（共5小题，满分44分） 17. 计算：． 18. 线段、相交于点E，，，求证：． 19. 结合书香校园阅读活动，某市中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）本次活动的获奖人数有___人，在扇形统计图中，二等奖部分所占的圆心角的度数为___； （2）补全条形统计图； （3）获得一等奖的同学中有1名来自七年级，2名来自八年级，其余来自九年级，何老师准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 20. 如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 21. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． B卷 22. 因式分解：______． 23. 在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________． 24. 如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __． 25. 用火柴棍摆出一组如图所示的图形： 按照这种规律摆下去，则第个图形用火柴棍的根数为_____（用含的式子表示）． 26. 某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元． （1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 27. 如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求的半径； （2）求证：是的切线； （3）若弦与直径相交于点，当时，求图中阴影部分的面积． 28. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． （3）在直线找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资中县育才学校九年下册第一次数学月练习试卷 （A卷100分） 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 给出四个数0，，－1，3其中最小的是（ ） A. 0 B. C. －1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：负数＜0＜正数．故选C． 考点：实数 点评：本题难度较低，主要考查学生对实数的学习． 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列函数中，二次函数是（　　） A. y=﹣2x﹣1 B. y=2x2 C. y= D. y=ax2+bx+c 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐一判断可得． 【详解】A．y=2x﹣1是一次函数，不符合题意； B．y=2x2是二次函数，符合题意； C．y=是反比例函数，不符合题意； D．y=ax2+bx+c当a≠0时才是二次函数，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 4. 为了了解我市参加中考的39 000名学生的视力情况，抽查了2 000名学生的视力进行统计分析，下面四个判断中，正确的是（　　） A. 39 000名学生是总体 B. 每名学生是总体的一个个体 C. 2 000名学生的视力情况是总体的一个样本 D. 上述调查是普查 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意：A.39 000名学生的视力情况是总体，故本选项错误； B.每名学生的视力情况是总体的一个个体，故本选项错误； C.2 000名学生的视力情况是总体的一个样本，故本选项正确； D.上述调查是抽样调查，故本选项错误．故选C． 5. 二次函数的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的顶点式是关键． 二次函数的对称轴可从顶点式直接确定． 【详解】解：由二次函数可得，其顶点坐标为，对称轴为直线． 故选：C． 6. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 【答案】D 【解析】 【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2． 故选：D． 7. 如图，内接于，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵内接于，， ∴． 8. 如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，圆周角定理，由等边对等角可得，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，四边形内接于圆O，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出． 根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵对的圆周角是，圆心角是，， ∴， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 11. 如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查切线长定理、三角形的周角等知识，推导出是解题的关键．由切线长定理得，，，而的周长是，可推导出，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵射线，切于点A，B， ∴， ∵直线切于点C，交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，，再结合图象判断各结论． 【详解】解：∵由函数图象可得各系数的关系：，， ∴①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当，，，，故正确； ④对称轴为直线，则当和时的取值相同，则，故错误； ⑤由对称轴，得，又时，，代入，则，故正确． ∴所有正确结论的序号是①②③⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象性质与系数的关系：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左侧、当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交于；对称轴左右两边的图象是对称的；图象上的点的坐标满足函数关系式等，难度中等，熟记函数图象性质与系数的关系是顺利解题的关键． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. “Welcome to Senior High School．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O出现的频率是________． 【答案】0.2 【解析】 【详解】该题考查频率概念 “Welcome to Senior High School．”单词总数为25个, 其中“o”这个英文字母有5个， 那么字母O出现的频率为，化简可得0.2 14. 若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 15. 如果函数的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，那么平移后的解析式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据二次函数图象平移的规律，左加右减，上加下减，进行变换． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，将x替换为，得； 再向上平移3个单位，整个函数加3，得． 故答案为：． 16. 某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：解：这张扇形纸板的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，满分44分） 17. 计算：． 【答案】解：原式= × -1+2 +（1- ）， ="1-1+2" +1- ， = +1． 【解析】 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】原式=×-1+2+（1-）， =1-1+2+1-， =+1． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 18. 线段、相交于点E，，，求证：． 【答案】 证明：∵线段、相交于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 结合书香校园阅读活动，某市中小学推广普及中华经典诵读，让孩子们掌握国学经典作品“读、诵、吟”等基本方法，培养中华经典诵读活动的爱好者、传播者，营造浓郁的文化氛围．2025年9月某初中学校开展了国学经典诵读活动，老师对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： （1）本次活动的获奖人数有___人，在扇形统计图中，二等奖部分所占的圆心角的度数为___； （2）补全条形统计图； （3）获得一等奖的同学中有1名来自七年级，2名来自八年级，其余来自九年级，何老师准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市级国学经典诵读大赛，请用列表或画树状图的方法求所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 【答案】（1）40，72 （2）见解析 （3）图表见解析， 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中“参与奖”的人数除以扇形统计图中“参与奖”的百分比可得获奖总人数，再用360°乘以“二等奖”的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）先求得获得一等奖的人数，进而可以将条形统计图补充完整； （3）根据（2）中的结果，可以画出相应的树状图，从而可以求得所选出的两人中既有七年级又有八年级同学的概率． 【小问1详解】 解：由题意得，获奖总人数为（人）， ∴获得二等奖部分所占的圆心角的度数为． 故答案为：40，72； 【小问2详解】 解：获得一等奖的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：由上可知，获得一等奖的人数有4人，则七年级1人，八年级2人，九年级1人画树状图如下： 从上图中可知，从4个一等奖获得者中抽取两人共有12种等可能情况，其中两人中既有七年级又有八年级同学的有4种情况，所以所求事件的概率为： ． 20. 如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理和勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：设轮子的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 21. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 【答案】（1） 利用描点法画出函数图象如下： （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法，将、、代入，即可求出函数解析式； （3）①找出函数图象位于x轴上方时，x的取值范围即可； ②由函数图象可知，当时的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由表格可知，将、、代入，得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 由二次函数图象可知， ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握描点法画函数图象和待定系数法求函数解析式是解题的关键． B卷 22. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 23. 在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键． 24. 如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __． 【答案】## 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解． 【详解】如图，取的中点，连接，， 矩形，，， ，， 点是的中点， ， ， ，点是的中点， ， 在中，， 当点在上时，， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． 25. 用火柴棍摆出一组如图所示的图形： 按照这种规律摆下去，则第个图形用火柴棍的根数为_____（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，由图中有火柴棍（根），图中有火柴棍（根），图中有火柴棍（根），，总结规律即可，解题的关键是根据所给的图形总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】解：图中有火柴棍（根）， 图中有火柴棍（根）， 图中有火柴棍（根）， ， 第个图形用火柴棍的根数为， 故答案为：． 26. 某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元． （1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元； （2）利润最大为4400元． 【解析】 【分析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”即可列方程组求解； （2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少于4100元”即可列不等式组求解. 【详解】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元； （2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台， 根据题意得：， 解得：24≤m≤26， 因为m要为整数，所以m可以取24、25、26， 从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台， ②电脑箱：25台，液晶显示器：25台； ③电脑箱：26台，液晶显示器：24台． ∴方案一的利润：24×10+26×160=4400， 方案二的利润：25×10+25×160=4250， 方案三的利润：26×10+24×160=4100， ∴方案一的利润最大为4400元． 答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元． 【点睛】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握. 27. 如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求的半径； （2）求证：是的切线； （3）若弦与直径相交于点，当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）见证明过程：（3） 【解析】 【分析】（1）首先连接，由弦垂直平分半径，根据垂径定理可求得与的关系，求得的长，然后根据直角三角形的性质，求得，根据三角函数的性质，则可求得的半径； （2）由垂径定理，可得，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，即可求得的度数，又由，可求得的度数，继而求得，即可证得是的切线； （3）由，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，然后根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：连接． 垂直平分半径， ， ，， ， ； （2）证明：由（1）知：，， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：连接． ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 28. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． （3）在直线找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点． 【答案】（1） （2） （3）Q点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法，将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）由于Q点在直线上，根据等腰三角形的性质，分四种情况进行讨论，即可求得Q点坐标． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴． ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 【小问3详解】 ①∵， ∴， ∴， ∴当点Q与点B重合时，满足为等腰三角形， ∴； ②当时，过点Q作于点D，如图， ∵， ∴ ， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴． ∴Q； ③当时，过点Q作于点E，如图， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点Q作于点F，如图， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，直线找一点Q，使得为等腰三角形，Q点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合运用，解题的关键是采用数形结合主要思想，同时注意等腰三角形求解时需要进行多种情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $