精品解析：四川省内江市资中县银山中学2024-2025学年九年级下册3月月考数学试卷

四川省内江市资中县2024-2025九年级3月月考数学试卷 本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷满分100分；B卷满分60分．全卷满分160分，120分钟完卷． 注意事项： 1、所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应的位置上，在试卷上、草稿纸上答无效； 2、书写潦草或用改正液（纸）涂改的题视为无效或记为0分！ A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子，正确的是（　　） A. B. C. 2﹣1＝﹣2 D. x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2 5. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数、中位数是（ ） A. 56、56 B. 60、60 C. 63、61.5 D. 72、63 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人同时分别从，两地沿同一条公路骑自行车到地，已知，两地间的距离为千米，，两地间的距离为千米，甲骑自行车的平均速度比乙快千米时，结果两人同时到达地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为千米时，由题意列出方程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若a、b 是正数，a-b=l，ab=2，则a+b=（　　） A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9 9. 如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　） A. B. C. D. 11. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，…在x轴上，已知正方形的边长为1，，…则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 若点与点关于轴对称，则的值是________． 14. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 15. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 19. 2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图表： 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次活动共有 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 ； （2）求出扇形统计图中C对应的圆心角度数； （3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率． 20. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 分解因式： ________． 23. 已知m，n是方程的两根，则＝________． 24. 如图，中，E、D是边上的三等分点，F是的中点，交、于G，H，则________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为____________________ 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 为庆祝建党100周年，某校计划组织开展讲党史故事比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一本A、B、C三种价格不同的党史学习书籍．已知用2000元购买A种书籍的数量和用1200元购买B种书籍的数量一样多，A种书籍单价比B种书籍单价多10元，C种书籍单价为20元．设获一、二、三等奖的人数分别为a人，b人，c人，且． （1）求A种书籍和B种书籍的单价； （2）因学校购买的书籍数量较多，书商给予以下优惠：每购买1本A种书籍和1本B种书籍赠送2本C种书籍． ①若赠送的C种书籍的数量恰好足够奖励给获三等奖的学生，求怎样购买最省钱； ②若获二等奖的人数是一等奖的人数的1.5倍，在购买奖品时，赠送的C种书籍不足以奖励给所有获三等奖的学生，还需要再购买一部分C种书籍，求购买奖品的金额． 27. 在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D． （1）如图1，求证：AB为的切线； （2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F． ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由． ②若，求的值． 28. 如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值； （3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市资中县2024-2025九年级3月月考数学试卷 本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷满分100分；B卷满分60分．全卷满分160分，120分钟完卷． 注意事项： 1、所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应的位置上，在试卷上、草稿纸上答无效； 2、书写潦草或用改正液（纸）涂改的题视为无效或记为0分！ A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 3. 下列几何体中主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可． 【详解】A、圆锥的主视图为等腰三角形，不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形，不符合题意； C、球的主视图为圆，符合题意； D、圆柱的主视图为矩形，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力． 4. 下列式子，正确的是（　　） A. B. C. 2﹣1＝﹣2 D. x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、负整数指数幂和完全平方公式判断． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，故错误； B、正确； C、原式＝，故错误； D、与完全平方公式不符，故错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减及乘法和完全平方公式的计算． 5. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数、中位数是（ ） A. 56、56 B. 60、60 C. 63、61.5 D. 72、63 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的概念．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：∵60出现的次数最多， ∴众数为60； 把数据从小到大排列为56，60，60，60，63，72，位于正中间的两个数均为60，60， ∴中位数为． 故选：B 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 7. 甲、乙两人同时分别从，两地沿同一条公路骑自行车到地，已知，两地间的距离为千米，，两地间的距离为千米，甲骑自行车的平均速度比乙快千米时，结果两人同时到达地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为千米时，由题意列出方程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了列分式方程，根据甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间，据此列出方程即可，解题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系列出方程． 【详解】解：由题意得：甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间， ∴， 故选：． 8. 若a、b 是正数，a-b=l，ab=2，则a+b=（　　） A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据（a+b）2=（a-b）2+4ab，代值计算，再开平方求解．注意若a、b 是正数，则a+b＞0． 【详解】解：∵（a+b）2=（a-b）2+4ab=12+4×2=9， 开平方，得a+b=±3， 又∵a、b 是正数， ∴a+b＞0， ∴a+b=3． 故选B． 【点睛】本题考查完全平方公式.熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 9. 如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，从而得到，，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴可设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 10. 如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E、F、G、H四个， 所以小球从E出口落出的概率是：； 故选：C． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 11. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 12. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，…在x轴上，已知正方形的边长为1，，…则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 同理可求正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 若点与点关于轴对称，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标变换轴对称，代数式求值．掌握关于轴对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 14. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，由二次根式和分式有意义的条件得且，即可求解． 【详解】解：由题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】π﹣2 【解析】 【分析】先根据圆周角定理证得∠BOC=90°，从而得出△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得． 【详解】解：∵∠BAC=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∵OB=2， ∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=π×22-×2×2=π-2． 故答案为π﹣2 【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形的性质得到点E为的中点，则为的中位线，可证明，得到，进一步可证明；根据三角形中线平分三角形面积得到，由平行四边形的性质得到，则，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，且交于点E， ∴点E为的中点， ∵，即点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵点F为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点E在反比例函数图象上，且反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数，根据二次根式的性质可得：，根据特殊角的三角函数可得：，根据任何非数的次幂为，可得：，根据负整指数幂的定义可得：，根据绝对值的定义可得：，从而可得：原式，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）2cm． 【解析】 【分析】（1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 19. 2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：A宣传公益，B清洁街道，C摆放车辆，D关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图表： 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次活动共有 名学生报名参加，扇形统计图中m的值为 ； （2）求出扇形统计图中C对应的圆心角度数； （3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率． 【答案】（1）50，20； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，列表法或树状图法求解答随机事件的概率，掌握正确计算的前提，列举出所有可能出现的结果情况是正确求出概率的关键． （1）由B活动人数及其所占百分比可得总人数，用A活动人数除以总人数可得m的值； （2）根据四个活动人数之和减去其他三项总人数可得C人数，算出C占全部的百分比，用乘以C活动人数所占比例可得答案； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知：（人）， 故答案为：50，20 【小问2详解】 答：扇形统计图中C对应的圆心角度数是； 【小问3详解】 A B C D A \ B \ C \ D \ 由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为. 20. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 【答案】米． 【解析】 【分析】作于点F，于点G，首先解直角三角形求出米，然后由山坡的坡度，得到，利用勾股定理求出米，米，得到是等腰直角三角形，求出（米），进而求解即可． 【详解】解：作于点F，于点G 在中，∵ ∴， ∴米， ∵山坡的坡度，米， ∴，即， ∵ ∴ ∴米，米， ∵ ∴四边形是矩形 ∴米，（米）， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴（米）， ∴． 答：这块宣传牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质和判定，熟练掌握特殊角的三角函数值，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），． 【解析】 【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式； (2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围； (3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标. 【详解】解：（1）反比例函数经过， ， 反比例函数为， 在比例函数的图象上， ， ， 直线经过，， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）观察图象，的的取值范围是或； （3）设， ， ， 即， ， 解得，（舍去）， 点坐标为(，)． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 23. 已知m，n是方程的两根，则＝________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 24. 如图，中，E、D是边上的三等分点，F是的中点，交、于G，H，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、比例的性质，结合图形添加平行线的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，通过证明，得到，，则有，根据三等分点的定义以及等量代换可得，，再通过证明，，再利用相似三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵E、D是边上的三等分点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为____________________ 【答案】（，0） 【解析】 【分析】点A向右平移2单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可． 【详解】解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q， 此时MQ+EQ最小， ∵PQ=2，DE=CE=2，AE= ∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行， 即AP+EQ=MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N， 设CQ=x，则NQ=6-2-x=4-x， ∵△MNQ∽△FCQ， ∴ ∵MN=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=4-x， ∴ 解得：x= ∴BP=6-2-= 故点P的坐标为：（，0） 故答案为：（，0） 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，掌握矩形的性质，灵活运用相似三角形是解题的关键． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 为庆祝建党100周年，某校计划组织开展讲党史故事比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一本A、B、C三种价格不同的党史学习书籍．已知用2000元购买A种书籍的数量和用1200元购买B种书籍的数量一样多，A种书籍单价比B种书籍单价多10元，C种书籍单价为20元．设获一、二、三等奖的人数分别为a人，b人，c人，且． （1）求A种书籍和B种书籍的单价； （2）因学校购买的书籍数量较多，书商给予以下优惠：每购买1本A种书籍和1本B种书籍赠送2本C种书籍． ①若赠送的C种书籍的数量恰好足够奖励给获三等奖的学生，求怎样购买最省钱； ②若获二等奖的人数是一等奖的人数的1.5倍，在购买奖品时，赠送的C种书籍不足以奖励给所有获三等奖的学生，还需要再购买一部分C种书籍，求购买奖品的金额． 【答案】（1）25、15 （2）①1020元，②1065元 【解析】 【分析】（1）设A种书籍单价为x元，B种书籍的单价为（x－10）元，根据数量关系列出分式方程，解出答案即可； （2）①由题可知c=2a，b=100－3a，结合，可知a的范围，利用总价=单价×数量，列出总价w与a的函数关系式，利用函数性质即可求出结果； ②由题可知b=1.5a，c=100－2.5a，解出a的范围，再结合a、b均为整数，可推出具体值，从而求出c，再由总价=单价×数量，得到最终结果． 【小问1详解】 解：设A种书籍单价为x元，B种书籍的单价为（x－10）元， 根据题意，列出方程：，解得：， 经检验，是方程的解； 答：A种书籍单价为25元，B种书籍的单价为15元． 【小问2详解】 ①由题可知：c=2a，b=100－3a， ∵， ∴， ∴； 设购买书籍的金额为w元，则， ∵， ∴w随着a的增大而减小，且a为整数 ∴当a=24时，w取得最小值，最小值=－20×24＋1500=1020元； 答：购买书籍的最小金额为1020元． ②由题可知：b=1.5a，c=100－2.5a， ∵赠送的C种书籍不足以奖励给所有获三等奖的学生， ∴三等奖的学生人数大于一等奖的两倍，即，解得：， ∵a、b均为正整数， ∴a=22，b=33， ∴c=100－2.5a=45, ∴购买金额=25×22＋15×33＋20×（45－22×2）=1065元， 答：购买书籍的金额为1065元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，及一次函数的应用，找准关系式，列出方程是解题的关键． 27. 在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D． （1）如图1，求证：AB为的切线； （2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F． ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由． ②若，求的值． 【答案】 （1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G， ∵OA平分交BC于点O， ∴OG=OC， ∴点G在上， 即AB与相切； （2）①OA垂直平分CE，理由见解析； ② 【解析】 【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明； （2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论； ②根据求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果. 【详解】解：（1）略 （2）①OA垂直平分CE，理由是： 连接OE， ∵AB与相切于点E，AC与相切于点C， ∴AE=AC， ∵OE=OC， ∴OA垂直平分CE； ②∵， 则FC=2OF，在△OCF中， ， 解得：OF=，则CF=， 由①得：OA⊥CE， 则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°， ∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°， ∴△OCF∽△OAC， ∴，即， 解得：AC=6， ∵AB与圆O切于点E， ∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B， ∴△BEO∽△BCA， ∴，设BO=x，BE=y， 则， 可得：， 解得：，即BO=5，BE=4， ∴tanB==. 【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论. 28. 如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值； （3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可． （2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根据勾股定理即可求解． （3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理确定，进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定系数法求出直线AC解析式，进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得 解得 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N． ∵、， ∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2． ∴MA=MB． ∴MB+MC=MA+MC． ∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴． ∴OC=2． ∴． ∴MB+MC的最小值为． 【小问3详解】 解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d． ∵OA=2，OC=2， ∴OA=OC． ∴． ∵PD⊥x轴， ∴∠ADE=90°． ∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°． ∴∠QEP=∠DEA=45°． ∵PQ⊥AC， ∴∠PQE=90°，． ∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°． ∴∠QPE=∠QEP． ∴QE=PQ． ∴． ∴． ∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值． 把点A和点C坐标代入直线AC解析式得 解得 ∴直线AC解析式为． ∴． ∴． ∴当时，EP取得最大值． ∴． ∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，综合应用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $