期中复习讲义03 解三角形6大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义03 解三角形 【考点一】 余弦定理 【考点四】 三角形面积公式及其应用 【考点二】 正弦定理解三角形 【考点五】 正、余弦定理在几何中的应用 【考点三】 正弦定理求外接圆半径 【考点六】 正、余弦定理的实际应用 一、解三角形基础（基础考点，必记衔接） 1. 核心前提（衔接三角恒等变换） 解三角形的核心是利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理、三角恒等变换公式，解决三角形的边、角求解、面积计算及形状判定问题，核心前提的常用结论如下： 三角形内角和定理：（为三角形三个内角，对应边分别为），常用变形：， 三角恒等变换常用结论（适配解三角形化简）：，， 边角对应关系：在中，“大角对大边，大边对大角”，即（可由正弦定理证明） 2. 核心思想 以正弦定理、余弦定理为工具，实现三角形中边与角的相互转化，核心方法：根据已知条件（边、角）选择合适的定理，结合内角和定理、面积公式，解决求值、化简、判定问题，遵循“有斜用弦、有直用勾、有边用余弦、有角用正弦”的原则。 二、正弦定理（期中必考，核心考点） 1. 核心公式（含几何意义，易记易用） 在任意中，各边与它所对角的正弦的比相等，核心公式及几何意义如下： 标准公式： 几何意义：为外接圆的直径（为外接圆半径），是正弦定理变形应用的核心依据 核心变形（高频应用，解题关键）： 边化角：，，（将边的关系转化为角的关系，适配化简、求值） 角化边：，，（将角的关系转化为边的关系，适配判定三角形形状） 边角比例：（快速判断边角对应关系） 2. 适用场景（精准匹配，规避误用） 正弦定理主要适用于已知“两角一边”或“两边及其中一边的对角”的解三角形问题，具体分为两类： 已知两角和任一边（如）：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理求另外两边，解唯一。 已知两边和其中一边的对角（如）：需判断三角形解的个数（重点易错点），结合“大边对大角”及正弦函数值域分析，具体判定方法见下文专项说明。 3. 三角形解的个数判定（高频易错，专项突破） 已知（为的对边，为的对边），解的个数分三种情况，结合代数与几何角度判定： 当为锐角时： 若无解（无法构成三角形）； 若：一解（直角三角形，）； 若：两解（为锐角或钝角，均满足三角形内角和定理）； 若：一解（为锐角，且）。 当为钝角或直角时： 若：一解（为锐角，且）； 若：无解（，无法满足三角形内角和定理）。 三、余弦定理（期中必考，重点难点） 1. 核心公式（三种形式，按需选用） 余弦定理揭示了三角形三边与其中一角的关系，是勾股定理的推广，适用于任意三角形，核心公式及变形如下： 基础形式（已知两边及夹角，求第三边）： . . . 变形形式（已知三边，求任意角，高频应用）： . . . 2. 适用场景（与正弦定理互补，精准选用） 余弦定理主要适用于已知“两边及夹角”或“三边”的解三角形问题，解唯一（无需判断解的个数），具体应用场景： 已知两边和它们的夹角（如）：直接用基础形式求第三边，再用变形形式求另外两个角（或用正弦定理，优先选余弦定理，避免判断解的个数）。 已知三角形三边（）：用变形形式求任意两个角，再由内角和定理求第三个角，注意角的范围（）。 判断三角形形状（高频应用）：通过余弦定理判断角的类型，进而确定三角形形状（锐角、直角、钝角三角形）。 3. 三角形形状判定（结合余弦定理，精准高效） 在中，设最大边为，对应最大角为，则： 若，则，，三角形为直角三角形（勾股定理，余弦定理特例）； 若，则，，三角形为锐角三角形； 若，则，，三角形为钝角三角形。 四、三角形面积公式（期中高频，灵活应用） 1. 核心公式（多种形式，按需选用） 三角形面积公式可结合正弦定理、余弦定理变形，适配不同已知条件，核心公式如下（表示的面积）： 基础形式（已知底和高）：（简单直观，适用于已知底和对应高的情况）； 边角形式（高频应用，适配解三角形）： （已知两边及夹角，优先选用）； 结合正弦定理变形：（已知角及外接圆半径）； 结合余弦定理变形：，可由（为锐角）推导，适配已知三边求面积。 2. 核心应用场景 直接求值：已知两边及夹角、一边及对应高、三角及外接圆半径等，直接套用对应公式计算面积。 综合应用：结合正弦定理、余弦定理，先求未知的边或角，再计算面积（期中大题高频考法，如“求三角形面积的最大值”）。 证明与化简：利用面积公式推导正弦定理，或结合三角恒等变换，化简与面积相关的表达式。 【考点一】余弦定理 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【详解】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得. 【详解】因，即角与角分别为的最大角与最小角， 由余弦定理，， 因，则，故. 故选：B. 3．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由得, 由于，所以，故， 故选：B 4.（24-25高一下·四川成都·期中）已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 【答案】 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，由题意得， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）， 所以岛与岛的距离为海里. 故答案为：. 5．（24-25高一下·湖南·期中）在中，，则__________. 【答案】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得 ， 故答案为：. 6．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 【答案】/ 【分析】应用余弦定理及已知列方程求边长. 【详解】由题设，则， 所以，可得，负值舍去. 故答案为： 7．（22-23高一下·陕西西安·期中）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为______. 【答案】 【分析】利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】由余弦定理，代入，得， 整理得：， 则， 当仅当时取“”， 由因为，所以， 所以角B的最大值为. 故答案为：. 8.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，边的长分别为. (1)利用向量知识证明：； (2)已知，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，将两边平方由数量积的运算律及定义即可得证； （2）利用余弦定理计算可得. 【详解】（1） 在中，∵， ∴ . ∵、、的长分别为、、， ∴，，， ∴. （2）因为， 由余弦定理，即， 即，解得， 所以. 9．（23-24高一下·广东汕尾·期中）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若，， (1)求边a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】由余弦定理得出以及，进而得出，最后由二倍角公式求解即可. 【详解】（1） （2） 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）结合图形，利用向量的加法法则表示出两向量，再由数量积的运算律结合向量垂直的条件可证明； （2）在中由余弦定理计算可得. 【详解】（1） 证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，，所以， 所以， 即，得证． （2）在中，由余弦定理得：， 在中由余弦定理得：，则． 【考点二】正弦定理解三角形 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 12．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可. 【详解】由题意可知，， 又， 则由正弦定理可得，. 故选：D 13．（24-25高一下·四川泸州·期中）在中，，则大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，所以或. 故选：B 14.（24-25高一下·吉林长春·期中）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得. 故答案为： 15．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，，则________． 【答案】或 【分析】利用正弦定理可求得，进而求得，利用三角形内角和定理可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，又， 所以，解得， 因为，所以，所以或， 当时，，当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案. 【详解】因为的三个内角满足， 所以由正弦定理得，设， 则是最小角，由余弦定理得. 故答案为：. 17．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶A的仰角为，则塔高______. 【答案】米； 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故答案为：米 18.（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求a; (2)若， ， ，求B; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理直接求解. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以. （2）在中，， ， ， 由正弦定理得，，即，由，得， 所以. 19．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)求c的值； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦定理求； （2）由题设得，结合三角形内角的性质、和角余弦公式得，再应用余弦定理求边长； （3）由（2）应用平方关系求. 【详解】（1）由题设； （2）由题设，易知为锐角，则，且， 所以， 由； （3）由题设及（2），有为锐角，则. 20．（24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求得； （2）由两角差的正弦公式即可求得，再由正弦定理求，从而得． 【详解】（1）因为是正三角形，则，所以， 因为，，所以， 在中， 由余弦定理得. （2）因为，则为锐角，所以， 则， 在中，由正弦定理，得， 因为，所以. 【考点三】正弦定理求外接圆半径 21.（23-24高一下·浙江温州·期中）若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得：, 所以. 故选：C 22．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的周长. 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，所以， 所以，所以外接圆的周长为. 故选：A. 23．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求外接圆半径，进而求圆的面积. 【详解】由题设，则， 所以外接圆半径，故圆的面积为. 故选：D 24.（24-25高一下·山东·期中）已知平面向量满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造平面图形，利用正弦定理可求的最大值. 【详解】 如图，设，，则， 故，，故外接圆的半径为， 且在优弧上运动变化，设外接圆的圆心为，的中点为， 延长至，使得，连接， 则，且，， 而，故， 故，当且仅当过时取最大值， 此时在优弧上， 故选：C. 25.（23-24高一下·云南昆明·期中）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子・离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，满足，则______．    【答案】/ 【分析】运用正弦定理，结合外接圆可解. 【详解】设的外接圆半径为，则（cm）， 由正弦定理，可得. 故答案为：. 26．（23-24高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为______. 【答案】 【分析】根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解，再由得，最后由正弦定理求得外接圆半径即可. 【详解】由及正弦定理得， 即，即，由，则，所以， 因为，所以，所以， 所以由正弦定理得，的外接圆半径为. 故答案为： 27．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，已知，是的外心，若，则______. 【答案】 【分析】通过正弦定理，求出外接圆的半径，求出与的数量积，列方程求得结果. 【详解】中，已知，由余弦定理可得： ，则， 是的外心，设的外接圆半径为， 由正弦定理可得：，可得， 分别为的中点，如图所示，   ，， ，， ， 又，， 解得，所以. 故答案为：. 28.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， (1)求的外接圆半径； (2)周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角，进而求出三角形外接圆半径. （2）由（1）中信息，利用基本不等式求出周长范围. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，而，则， 所以的外接圆半径. （2）由（1）知， 则，当且仅当时取等号， 因此，解得，而，即， 则，所以周长的取值范围是. 29．（24-25高一下·海南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设的外接圆的半径为，由条件利用正弦定理化边为角可得，化简可得，由此可求，再求的外接圆面积； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）可得，利用三角恒等变换公式可得，结合角的范围及特殊角三角函数值可得结论. 【详解】（1）设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 所以， 在中，由， 可得，又 所以 所以 所以， 所以， 而，所以，即， 因为为内角，所以，所以 所以，故， 所以外接圆的面积为， （2）由，可得， 在中，由正弦定理得，由（1） 所以， 因为，所以， 所以， 则，得， ，或， 或. 30．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用商数关系和平方关系化简求得，再利用正弦定理求解； （2）先利用余弦定理得到，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：依题意， 解得， 故的外接圆半径. （2）由余弦定理得， 因为，则， 则，故， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为. 【考点四】三角形面积公式及其应用 31.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故选：D 32．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 33．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 34.（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为的面积__________. 【答案】/ 【分析】由三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 35．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知的面积为，则的值为_____； 【答案】/ 【分析】由三角形的面积公式和余弦定理结合同角的三角函数关系化简可得. 【详解】由三角形的面积公式可得， 变形可得， 又余弦定理有，解得. 故答案为：. 36．（24-25高一下·吉林长春·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段AD的长度为__________. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式得到，又，从而得到方程，求出答案. 【详解】在中，由面积公式得， 又， 故，解得 故答案为： 37．（24-25高一下·山东烟台·期中）如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】（1）根据题意，得到为的中点，且为的平分线，由，得到，结合，再由，可得，求得，，结合为的中点，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】解：由，且， 所以为的中点，且为的平分线， 因为，可得， 所以， 则， 所以. 由，可得，且， 所以，， 因为为的中点，可得， 所以， 因为，可得，则， 当时，即时，可得的最大值为. 38.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 39．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【详解】（1）在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. （3）由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 40．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理列出关于的表达式，化简即可. （2）先求出，再根据三角形面积得到关于的表达式，利用二倍角和辅助角等公式化简，最后根据的取值范围即可求解. 【详解】（1）由，则，则， 在中，由正弦定理有，即， 化简，得. （2）由面积公式得， 由以上可得 ， 又，且，则，， ，则， 故的取值范围为. 【考点五】正、余弦定理在几何中的应用 41.（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形. 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 42．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理边角互化得，进而将问题转化为，根据锐角三角形得角的范围，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】由正弦定理以及可得,故， 又, 由于为锐角三角形，故,故， 因此， 故， 故选：A 43．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【详解】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 44.（24-25高一下·湖北·期中）在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】满足三角形有两个的条件为，又因为，， 所以，所以. 故答案为：. 45．（24-25高一下·河南·期中）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，求得边上的高为，由满足条件的有且只有两个，得到，即可求解. 【详解】因为，可得边上的高为， 若满足条件的有且只有两个，则满足， 所以的取值范围是. 故答案为：. 46．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，三边长分别为4，6，8，则为______________三角形．（选填“锐角”、“直角”、“钝角”） 【答案】钝角 【分析】设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断. 【详解】设边长为8的边对应的角为， 由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形， 故答案为：钝角. 47.（24-25高一下·浙江杭州·期中）中，若，，则的面积的取值范围______. 【答案】 【分析】由已知可求得，利用正弦定理可得，利用，结合边化角与三角恒等变换可求得的面积的取值范围. 【详解】由和余弦定理， 可得， 即，所以， 因为，所以， 又因为， 由正弦定理，， 则得， ， 因为，所以， 所以，则， 故的面积的取值范围. 故答案为：. 48.（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 49．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． (1)求B； (2)求的面积； (3)求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合已知条件和正弦定理即可求出b，再根据余弦定理求出cosB，从而可求B； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）利用向量及其数量积计算法则即可计算. 【详解】（1）∵ ∴根据正弦定理得， 又∵，. 根据余弦定理得， 又∵， （2）. （3）∵E是中点， ， ∴. 50．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 【考点六】正、余弦定理的实际应用 51.（24-25高一下·广西·期中）3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理列式计算得解. 【详解】在中，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 52．（23-24高一下·甘肃白银·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 53．（24-25高一下·云南文山·期中）小明和小王周末相约去爬300m高的山，爬到山顶发现山下有一座信号塔，两人通过测量测得塔顶与塔底的俯角分别是，，如图，那么塔高为（   ） A．200m B．m C．m D．100m 【答案】A 【分析】设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B，利用直角三角形边角关系求出的长即可得解. 【详解】设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B， 则，，， 易得，， 所以. 故选：A． 54.（24-25高一下·广东·期中）两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为_____km. 【答案】7 【分析】首先画出方位图，得到，再利用余弦定理求解即可 【详解】如图所示：由题意可得，且，， 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 55．（24-25高一下·江西萍乡·期中）萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 【答案】 【分析】根据仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可确定长. 【详解】如图，依题意，，， 故，则， 在中，， 故米. 故答案为：. 56．（24-25高一下·甘肃白银·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．    【答案】2 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇，      由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 57．（24-25高一下·重庆北碚·期中）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 【答案】27.5/ 【分析】在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果. 【详解】因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上， 所以，，所以. 由正弦定理可得：， 米，，. 所以米. 在中，，根据正切函数， 所以米. 故答案为：27.5 58.（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【详解】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 59．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【答案】(1) (2)时，张角最大 【分析】（1）利用直角三角形知识可求，利用两角和的正切公式可求； （2）利用两角和的正切公式表示出，利用基本不等式可求答案. 【详解】（1）由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. （2）设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上为增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 60．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义03 解三角形 【考点一】 余弦定理 【考点四】 三角形面积公式及其应用 【考点二】 正弦定理解三角形 【考点五】 正、余弦定理在几何中的应用 【考点三】 正弦定理求外接圆半径 【考点六】 正、余弦定理的实际应用 一、解三角形基础（基础考点，必记衔接） 1. 核心前提（衔接三角恒等变换） 解三角形的核心是利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理、三角恒等变换公式，解决三角形的边、角求解、面积计算及形状判定问题，核心前提的常用结论如下： 三角形内角和定理：（为三角形三个内角，对应边分别为），常用变形：， 三角恒等变换常用结论（适配解三角形化简）：，， 边角对应关系：在中，“大角对大边，大边对大角”，即（可由正弦定理证明） 2. 核心思想 以正弦定理、余弦定理为工具，实现三角形中边与角的相互转化，核心方法：根据已知条件（边、角）选择合适的定理，结合内角和定理、面积公式，解决求值、化简、判定问题，遵循“有斜用弦、有直用勾、有边用余弦、有角用正弦”的原则。 二、正弦定理（期中必考，核心考点） 1. 核心公式（含几何意义，易记易用） 在任意中，各边与它所对角的正弦的比相等，核心公式及几何意义如下： 标准公式： 几何意义：为外接圆的直径（为外接圆半径），是正弦定理变形应用的核心依据 核心变形（高频应用，解题关键）： 边化角：，，（将边的关系转化为角的关系，适配化简、求值） 角化边：，，（将角的关系转化为边的关系，适配判定三角形形状） 边角比例：（快速判断边角对应关系） 2. 适用场景（精准匹配，规避误用） 正弦定理主要适用于已知“两角一边”或“两边及其中一边的对角”的解三角形问题，具体分为两类： 已知两角和任一边（如）：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理求另外两边，解唯一。 已知两边和其中一边的对角（如）：需判断三角形解的个数（重点易错点），结合“大边对大角”及正弦函数值域分析，具体判定方法见下文专项说明。 3. 三角形解的个数判定（高频易错，专项突破） 已知（为的对边，为的对边），解的个数分三种情况，结合代数与几何角度判定： 当为锐角时： 若无解（无法构成三角形）； 若：一解（直角三角形，）； 若：两解（为锐角或钝角，均满足三角形内角和定理）； 若：一解（为锐角，且）。 当为钝角或直角时： 若：一解（为锐角，且）； 若：无解（，无法满足三角形内角和定理）。 三、余弦定理（期中必考，重点难点） 1. 核心公式（三种形式，按需选用） 余弦定理揭示了三角形三边与其中一角的关系，是勾股定理的推广，适用于任意三角形，核心公式及变形如下： 基础形式（已知两边及夹角，求第三边）： . . . 变形形式（已知三边，求任意角，高频应用）： . . . 2. 适用场景（与正弦定理互补，精准选用） 余弦定理主要适用于已知“两边及夹角”或“三边”的解三角形问题，解唯一（无需判断解的个数），具体应用场景： 已知两边和它们的夹角（如）：直接用基础形式求第三边，再用变形形式求另外两个角（或用正弦定理，优先选余弦定理，避免判断解的个数）。 已知三角形三边（）：用变形形式求任意两个角，再由内角和定理求第三个角，注意角的范围（）。 判断三角形形状（高频应用）：通过余弦定理判断角的类型，进而确定三角形形状（锐角、直角、钝角三角形）。 3. 三角形形状判定（结合余弦定理，精准高效） 在中，设最大边为，对应最大角为，则： 若，则，，三角形为直角三角形（勾股定理，余弦定理特例）； 若，则，，三角形为锐角三角形； 若，则，，三角形为钝角三角形。 四、三角形面积公式（期中高频，灵活应用） 1. 核心公式（多种形式，按需选用） 三角形面积公式可结合正弦定理、余弦定理变形，适配不同已知条件，核心公式如下（表示的面积）： 基础形式（已知底和高）：（简单直观，适用于已知底和对应高的情况）； 边角形式（高频应用，适配解三角形）： （已知两边及夹角，优先选用）； 结合正弦定理变形：（已知角及外接圆半径）； 结合余弦定理变形：，可由（为锐角）推导，适配已知三边求面积。 2. 核心应用场景 直接求值：已知两边及夹角、一边及对应高、三角及外接圆半径等，直接套用对应公式计算面积。 综合应用：结合正弦定理、余弦定理，先求未知的边或角，再计算面积（期中大题高频考法，如“求三角形面积的最大值”）。 证明与化简：利用面积公式推导正弦定理，或结合三角恒等变换，化简与面积相关的表达式。 【考点一】余弦定理 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·四川成都·期中）已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 5．（24-25高一下·湖南·期中）在中，，则__________. 6．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 7．（22-23高一下·陕西西安·期中）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为______. 8.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，边的长分别为. (1)利用向量知识证明：； (2)已知，求. 9．（23-24高一下·广东汕尾·期中）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若，， (1)求边a的值； (2)求的值． 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 【考点二】正弦定理解三角形 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 12．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 13．（24-25高一下·四川泸州·期中）在中，，则大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 14.（24-25高一下·吉林长春·期中）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则__________. 15．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，，则________． 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________． 17．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶A的仰角为，则塔高______. 18.（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求a; (2)若， ， ，求B; 19．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角的对边分别为.已知. (1)求的值； (2)求c的值； (3)求的值. 20．（24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 【考点三】正弦定理求外接圆半径 21.（23-24高一下·浙江温州·期中）若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 22．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C．2 D．1 23．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 24.（24-25高一下·山东·期中）已知平面向量满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 25.（23-24高一下·云南昆明·期中）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子・离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，满足，则______．    26．（23-24高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为______. 27．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，已知，是的外心，若，则______. 28.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， (1)求的外接圆半径； (2)周长的取值范围． 29．（24-25高一下·海南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. 30．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【考点四】三角形面积公式及其应用 31.（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 34.（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为的面积__________. 35．（24-25高一下·甘肃武威·期中）已知的面积为，则的值为_____； 36．（24-25高一下·吉林长春·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段AD的长度为__________. 37．（24-25高一下·山东烟台·期中）如图，在四边形ABCD中，，，设.①当时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________. 38.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 39．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 40．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 【考点五】正、余弦定理在几何中的应用 41.（24-25高一下·山东青岛·月考）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 42．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 44.（24-25高一下·湖北·期中）在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； 45．（24-25高一下·河南·期中）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是__________. 46．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，三边长分别为4，6，8，则为______________三角形．（选填“锐角”、“直角”、“钝角”） 47.（24-25高一下·浙江杭州·期中）中，若，，则的面积的取值范围______. 48.（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 49．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． (1)求B； (2)求的面积； (3)求线段的长度． 50．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【考点六】正、余弦定理的实际应用 51.（24-25高一下·广西·期中）3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·甘肃白银·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 53．（24-25高一下·云南文山·期中）小明和小王周末相约去爬300m高的山，爬到山顶发现山下有一座信号塔，两人通过测量测得塔顶与塔底的俯角分别是，，如图，那么塔高为（   ） A．200m B．m C．m D．100m 54.（24-25高一下·广东·期中）两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为_____km. 55．（24-25高一下·江西萍乡·期中）萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 56．（24-25高一下·甘肃白银·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．    57．（24-25高一下·重庆北碚·期中）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 58.（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 59．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 60．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $