期中复习讲义01平面向量15大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义01 平面向量 【考点一】 平行向量（共线向量） 【考点九】 平面向量共线定理的推论 【考点二】 向量加法、减法的法则 【考点十】 用基底表示向量 【考点三】 向量的线性运算的几何应用 【考点十一】 平面向量基本定理的应用 【考点四】 平面向量数量积的几何意义 【考点十二】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点五】用定义求向量的数量积 【考点十三】由向量共线（平行）求参数 【考点六】数量积的运算律 【考点十四】向量在几何中的应用 【考点七】向量夹角的计算 【考点十五】向量在物理中的应用 【考点八】垂直关系的向量表示 一、向量的基本概念（基础考点） 1. 向量定义 既有大小又有方向的量称为向量。 几何表示：有向线段 （ 起点， 终点） 字母表示：，， 向量的模（大小）：， 2. 特殊向量 零向量：，，方向任意 单位向量：；与 同向的单位向量： 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量；记作 ；规定： 任意向量 相等向量： 且方向相同 相反向量： 且方向相反 二、向量的线性运算（几何+坐标，期中必考） 1. 向量加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：共起点，以 为邻边作平行四边形，对角线为和 运算律 交换律： 结合律： 2. 向量减法 三角形法则：共起点，差向量指向被减向量， 3. 向量数乘 大小： 方向 ：与 同向 ：与 反向 ： 运算律（） 4. 坐标运算（设 ） 加法： 减法： 数乘： 模长： 三、向量共线定理（高频考点） 1. 共线定理 ，则 唯一实数，使 2. 坐标形式（） 3. 三点共线判定 三点共线 ，使 4. 中点公式 在 中， 为 中点， 四、平面向量基本定理（核心基底考点） 1. 定理内容 若 是同一平面内不共线向量，则对平面内任意向量，存在唯一一对实数，使 称为一组基底 2. 正交基底（直角坐标） 取 （垂直单位向量），则 五、向量的数量积（期中重点、难点） 1. 定义（ 为 夹角，） 结果是实数，不是向量 2. 坐标运算（） 3. 核心性质 模平方： 垂直充要条件： 夹角公式： 4. 投影（实数） 在 上的投影： 投影向量： 5. 运算律 交换律： 数乘结合律： 分配律： 易错：（结合律不成立） 【考点一】平行向量（共线向量） 1．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 2．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的意义进行判断即可. 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 【考点二】向量加法、减法的法则 5．（24-25高一下·广东佛山·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值. 【详解】. 故选：D. 6．（24-25高一下·贵州·期中）已知菱形的棱长为2，则（    ） A．20 B．4 C．16 D．12 【答案】B 【分析】利用向量加减运算法则得到. 【详解】. 故选：B 7.（23-24高一下·湖北黄冈·期中）______ 【答案】 【分析】根据向量加、减法法则及运算律计算可得. 【详解】 . 故答案为： 8.（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 【考点三】向量的线性运算的几何应用 9．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以.    故选：D 10．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断. 【详解】若，则点是的重心，则有， 所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确， 由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误. 故选：A 11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． 12.（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______. 【答案】 【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得. 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 【考点四】平面向量数量积的几何意义 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的投影向量为可求出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在上的投影为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 14．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 15．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据投影数量的定义由数量积直接计算即可. 【详解】在方向上的投影数量为 ． 故选：A. 16.（24-25高一下·四川资阳·期中）在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=3，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】-4 【分析】由题知，，再根据向量投影的定义求解即可． 【详解】因为在中，AB=4，AC=5，BC=3， 所以，即，所以， 则， 所以在方向上的投影数量为． 故答案为：． 【考点五】用定义求向量的数量积 17.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 【答案】C 【分析】利用向量数量积公式求出答案. 【详解】. 故选：C. 18．（24-25高一下·广东广州·期中）若，，与的夹角为，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 则. 故选：D. 19.（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，与的夹角为，则_________． 【答案】2 【分析】根据向量数量积的定义即可求得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：2 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则______． 【答案】9 【分析】根据题意可得为直角三角形，利用向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知，即可得； 可得； 所以. 故答案为：9 【考点六】数量积的运算律 21.（24-25高一下·广东惠州·期中）已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律由表示，再求出最大值. 【详解】如图，EF为外接圆的直径，为EF的中点，则外接圆半径为， 则， 当为正边的中点时，，所以的最大值为3. 故选：C 22．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数量积的运算得到关于的方程，解之即可． 【详解】 因为平行四边形中, ，，E为的中点， 设,由得， ， 即， 解得或（舍去）； 故选：C. 23.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 24.（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 【考点七】向量夹角的计算 25.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知：， 且, , , 故选：B 26．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意将两组向量中所有的排列可能全部列出，可得所有可能取值中的最小值，解方程可得结果. 【详解】设与的夹角为， 有以下3种可能： （1）； （2）； （3）， 易知（2）最小，则， 解得，由，得. 故选：A 27.（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，则_____________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，利用两向量的夹角公式即可求解. 【详解】已知，则， 即，所以， 又，则， 因为，所以， 故答案为：. 28.（24-25高一下·广东深圳·期中）若是夹角为的两个单位向量，则． (1)求和； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算性质即可求解； （2）由向量数量积的运算性质及夹角公式即可求解； 【详解】（1）因为是夹角为的两个单位向量，所以， 所以， 所以，． （2）因为， 所以， 因为，所以与的夹角为． 【考点八】垂直关系的向量表示 29.（24-25高一下·湖北恩施·期中）是三个平面向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由数量积的运算律以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以； 反之，，则或或， 故是的充分不必要条件， 故选：B． 30．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【详解】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 31.（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知和为相互垂直的单位向量，则_____． 【答案】 【分析】由题意可知，再由模长的公式展开计算即可. 【详解】因为和为相互垂直的单位向量，所以， . 故答案为：. 32.（24-25高一下·辽宁丹东·期中）（1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由向量坐标运算，利用向量平行的坐标公式，建站方程解得参数，根据模长公式，可得答案； （2）由向量数量积的定义以及运算律，利用垂直向量，可得答案. 【详解】（1）因为， 且与平行，所以，解得，所以， 所以． （2）已知与的夹角为，所以， 因为与垂直，所以 所以． 【考点九】平面向量共线定理的推论 33.（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 34．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 35.（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 36.（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可. 【详解】（1）； ； （2）设，连接， ， ， 则，解得， 设边上的高为，边上的高为， 则， 所以. 【考点十】用基底表示向量 37.（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题:,变形即可. 【详解】由题:, 故, 故选:B. 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题可知，所以， 即. 故选：A 39.（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ . 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量的线性运算将题中的向量用，表示出来，根据向量数量积的运算律，化简整理整体代换即可求解. 【详解】    在菱形中，由平面向量的加法法则可知：. ∵是的中点，∴. 故答案为：. 40.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值； （2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围. 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则，，，， 可得，，， 则， 根据平面向量的加法法则，可得， 设， 可得，解得， 所以；若， 则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，使， 所以，解得. （2）因为，， 可得， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围为. 【考点十一】平面向量基本定理的应用 41.（24-25高一下·重庆·期中）在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量及向量的加减运算，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，，，， 则，， 所以有， 又因为，所以， 故选：B . 42．（24-25高一下·山东济南·期中）已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，结合基本不等式可得最值. 【详解】 如图所示，设中点为， 由，则， 即， 又过点作直线分别与、交于点、， 设， 则， 所以，即， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 43.（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 【答案】 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可. 【详解】 如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则， 在中点为中点，点为中点，所以， 所以，因为，可得， 所以， 由， 故答案为：. 44.（24-25高一下·辽宁·期中）设，已知向量，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出及的坐标，再根据两向量垂直其数量积为0计算即可； （2）当时，分别求出，及，再根据向量夹角的公式求解即可. 【详解】（1）由题得， 因为， 所以， 所以， 解得或， 又，所以. （2）当时，， 所以， 所以， ， 又因为，所以， 所以. 【考点十二】平面向量线性运算的坐标表示 45.（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由向量的坐标运算及数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以， 则. 故选：B. 46．（23-24高一下·天津河西·期中）正六边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由正六边形的性质可得，则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为，则，，，， 所以，，， 设， 则， 所以，解得， 所以． 故选：B． 47.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 【答案】 【分析】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标. 【详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 48.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，． (1)求向量与的夹角的正弦值； (2)若向量，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标运算求出，再利用数量积的定义求出夹角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. （2）利用平面向量加法的坐标运算求出，，再利用平面向量平行的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）由向量， 得到，，， 由数量积的定义得， 而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得. （2）由题意得向量， 则，， 而，得到，解得. 【考点十三】由向量共线（平行）求参数 49.（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】由，，可得： ，解得. 故选：C. 50．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， ， 由可得，解得. 故选：B 51.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知向量, ,，若，，则___________. 【答案】10 【分析】首先根据向量平行和垂直的条件求出和的值，然后计算，进而利用向量的坐标运算得到，再求模即可. 【详解】因为，，且， 所以存在一个实数，使得， 即，则，， 解得，得到，而， 因为，所以，解得. 则，， 因为，所以， 由向量模的坐标运算公式得. 故答案为：10 52.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，． (1)求向量与的夹角的正弦值； (2)若向量，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标运算求出，再利用数量积的定义求出夹角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. （2）利用平面向量加法的坐标运算求出，，再利用平面向量平行的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）由向量， 得到，，， 由数量积的定义得， 而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得. （2）由题意得向量， 则，， 而，得到，解得. 【考点十四】向量在几何中的应用 53.（24-25高一下·贵州遵义·期中）在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由得，进而得，再由得，进而可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 54．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的对称性可知， ， 易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，， 此时. 当在线段上时，取得最小值，此时， 此时， 故的取值范围为. 故选：A.    55.（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为________． 【答案】； 【分析】如图，设，由题可得终点C所在图形，据此可得答案. 【详解】如图，设，由题可得，， 取AB中点为D，过D做AB垂线，在垂线上取点E，F，使， 从而可使，再以E，F为圆心，为半径作圆， 则当一点G分别在两圆优弧上时，. 注意到，则，即终点C在两圆优弧上. 由图可得，当C在圆E优弧上，且C，E，O三点共线时最大. 则. 故答案为： 56.（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为向量与的夹角，表示，推出，进而得到最大值; （2）方法一：令，，，则，，根据几何关系求解； （2）方法二：令，，，，则，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，当点，，共线时，得到最大值和最小值，进而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以 ，其中为向量与的夹角， 所以． 又，， 所以， 所以的最大值为． （2）方法一：由，得． 又，且， 不妨令，，，则． 又， 故根据几何关系可知，， 所以的取值范围是． 方法二： 令，，，， 则． 又， 所以点在以点为圆心，半径为的圆上， 如图所示，易知当点，，共线时，取得最值， 最大值为，最小值为， 所以的取值范围是． 【考点十五】向量在物理中的应用 57.（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解. 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 58．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据航行距离最短有合成速度垂直于两岸，即，再应用诱导公式化简，即可得. 【详解】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 59．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 60.（24-25高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【详解】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，   ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义01 平面向量 【考点一】 平行向量（共线向量） 【考点九】 平面向量共线定理的推论 【考点二】 向量加法、减法的法则 【考点十】 用基底表示向量 【考点三】 向量的线性运算的几何应用 【考点十一】 平面向量基本定理的应用 【考点四】 平面向量数量积的几何意义 【考点十二】 平面向量线性运算的坐标表示 【考点五】用定义求向量的数量积 【考点十三】由向量共线（平行）求参数 【考点六】数量积的运算律 【考点十四】向量在几何中的应用 【考点七】向量夹角的计算 【考点十五】向量在物理中的应用 【考点八】垂直关系的向量表示 一、向量的基本概念（基础考点） 1. 向量定义 既有大小又有方向的量称为向量。 几何表示：有向线段 （ 起点， 终点） 字母表示：，， 向量的模（大小）：， 2. 特殊向量 零向量：，，方向任意 单位向量：；与 同向的单位向量： 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量；记作 ；规定： 任意向量 相等向量： 且方向相同 相反向量： 且方向相反 二、向量的线性运算（几何+坐标，期中必考） 1. 向量加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：共起点，以 为邻边作平行四边形，对角线为和 运算律 交换律： 结合律： 2. 向量减法 三角形法则：共起点，差向量指向被减向量， 3. 向量数乘 大小： 方向 ：与 同向 ：与 反向 ： 运算律（） 4. 坐标运算（设 ） 加法： 减法： 数乘： 模长： 三、向量共线定理（高频考点） 1. 共线定理 ，则 唯一实数，使 2. 坐标形式（） 3. 三点共线判定 三点共线 ，使 4. 中点公式 在 中， 为 中点， 四、平面向量基本定理（核心基底考点） 1. 定理内容 若 是同一平面内不共线向量，则对平面内任意向量，存在唯一一对实数，使 称为一组基底 2. 正交基底（直角坐标） 取 （垂直单位向量），则 五、向量的数量积（期中重点、难点） 1. 定义（ 为 夹角，） 结果是实数，不是向量 2. 坐标运算（） 3. 核心性质 模平方： 垂直充要条件： 夹角公式： 4. 投影（实数） 在 上的投影： 投影向量： 5. 运算律 交换律： 数乘结合律： 分配律： 易错：（结合律不成立） 【考点一】平行向量（共线向量） 1．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 4．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【考点二】向量加法、减法的法则 5．（24-25高一下·广东佛山·期中）（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·贵州·期中）已知菱形的棱长为2，则（    ） A．20 B．4 C．16 D．12 7.（23-24高一下·湖北黄冈·期中）______ 8.（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【考点三】向量的线性运算的几何应用 9．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 12.（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______. 【考点四】平面向量数量积的几何意义 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（   ） A． B．4 C． D．8 16.（24-25高一下·四川资阳·期中）在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=3，则在方向上的投影数量为___________． 【考点五】用定义求向量的数量积 17.（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 18．（24-25高一下·广东广州·期中）若，，与的夹角为，则（    ） A．12 B． C． D． 19.（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，与的夹角为，则_________． 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则______． 【考点六】数量积的运算律 21.（24-25高一下·广东惠州·期中）已知是边长为的正三角形，EF为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 22．（24-25高一下·山东日照·期中）在平行四边形中，，E为的中点．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 23.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______. 24.（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【考点七】向量夹角的计算 25.（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27.（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，则_____________. 28.（24-25高一下·广东深圳·期中）若是夹角为的两个单位向量，则． (1)求和； (2)求与的夹角． 【考点八】垂直关系的向量表示 29.（24-25高一下·湖北恩施·期中）是三个平面向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 30．（24-25高一下·河南·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 31.（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知和为相互垂直的单位向量，则_____． 32.（24-25高一下·辽宁丹东·期中）（1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【考点九】平面向量共线定理的推论 33.（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 35.（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为________. 36.（24-25高一下·河南·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【考点十】用基底表示向量 37.（24-25高一下·山东威海·期中）在中，D，E分别是边BC和AC的中点，若，，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 39.（24-25高一下·吉林·期中）在菱形中，是的中点，若，则 __________ . 40.（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 【考点十一】平面向量基本定理的应用 41.（24-25高一下·重庆·期中）在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·山东济南·期中）已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 43.（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 44.（24-25高一下·辽宁·期中）设，已知向量，，且. (1)求的值； (2)求. 【考点十二】平面向量线性运算的坐标表示 45.（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 46．（23-24高一下·天津河西·期中）正六边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 47.（24-25高一下·广东深圳·期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 48.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，． (1)求向量与的夹角的正弦值； (2)若向量，求实数t的值. 【考点十三】由向量共线（平行）求参数 49.（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·山东济南·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 51.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知向量, ,，若，，则___________. 52.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，． (1)求向量与的夹角的正弦值； (2)若向量，求实数t的值. 【考点十四】向量在几何中的应用 53.（24-25高一下·贵州遵义·期中）在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 54．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55.（24-25高一下·辽宁·期中）设向量，，满足，，，则的最大值为________． 56.（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 【考点十五】向量在物理中的应用 57.（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 60.（24-25高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $