专题03 整式的乘除重难点题汇编（十五大类型）（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 整式的乘除重难点题汇编 （十五大类型） 考点01：幂综合运算 考点02：幂的逆运算 考点03：比较幂的大小 考点04：零指数、负指数计算 考点05：单项式的乘除法运算 考点06：多项式的乘除法运算 考点07：含参数整式乘法 考点08：整式乘法与不含某项问题 考点09：乘法公式直接计算 考点10：含参数的完全平方式 考点11：三量关系求值 考点12：平方差公式与几何图形综合 考点13：完全平方差公式与几何图形综合 考点14：整式化简求值 考点15：杨辉三角的探究 考点01：幂运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．我们规定：，例如． (1)试求和的值； (2)判断与（的值均不相等）的值是否相等？请说明理由． 考点02：幂的逆运算 6．若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 8．的计算结果是（    ） A．0.5 B． C．1 D． 9．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 10．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 考点03：比较幂的大小 11．已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 12．已知，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 13．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点04：零指数、负指数计算 14．计算：____ 15．已知，则的值为_______． 16．计算：． 考点05：单项式的乘除法运算 17．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 19．计算： (　　) A． B． C． D． 20．计算：________． 21．若，则__________． 考点06：多项式的乘除法运算 22．计算：（    ） A． B． C． D． 23．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 24．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 25．计算： (1) (2) 26．小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 27．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 考点07：含参数整式乘法 28．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 29．若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 30．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 31．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 32．若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 考点08：整式乘法与不含某项问题 33．已知的展开式中不含x项，则m的值为（　　） A． B． C．2 D． 34．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．5 C．0 D． 35．使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 考点09：乘法公式直接计算 37．下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 38．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 39．计算：________． 40．若且，则_________． 41．已知，则的值为_________． 考点10：含参数的完全平方式 42．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 43．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 44．已知关于的多项式是一个完全平方式，则________． 考点11：三量关系求值 45．已知，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 46．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 47．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 48．已知，，则的值为（   ） A． B．7 C．9 D． 49．已知，则（　　） A． B． C．2 D．4 考点12：平方差公式与几何图形综合 50．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 51．乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 52．通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 53．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 考点13：完全平方差公式与几何图形综合 54．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 55．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 56．两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 57．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 58．【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 考点14：整式化简求值 59．先化简，再求值． ，其中． 60．先化简，再求值：，其中 61．先化简，再求值：，其中． 62．先化简，再求值：，其中，． 考点15：杨辉三角的探究 63．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 64．观察“杨辉三角”给出了展开式的系数规律，下列说法正确的是______ ． ①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，； ②当，时，代数式的值为； ③展开式第项的系数是； ④展开式中所有系数之和为． 65．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 66．七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除重难点题汇编 （十五大类型） 考点01：幂综合运算 考点02：幂的逆运算 考点03：比较幂的大小 考点04：零指数、负指数计算 考点05：单项式的乘除法运算 考点06：多项式的乘除法运算 考点07：含参数整式乘法 考点08：整式乘法与不含某项问题 考点09：乘法公式直接计算 考点10：含参数的完全平方式 考点11：三量关系求值 考点12：平方差公式与几何图形综合 考点13：完全平方差公式与几何图形综合 考点14：整式化简求值 考点15：杨辉三角的探究 考点01：幂运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得. 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，根据运算法则项逐一计算判断即可． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； B：，错误，不符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，正确，符合题意； 故选：D． 4．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的加法、乘法、乘方和除法．熟练掌握以上计算法则是解决此题的关键．根据这些法则依次判定即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相加，指数不能直接相加，∴ A错误，不符合题意； ∵ ，∴ B错误，不符合题意； ∵，∴ C正确，符合题意； ∵ ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 5．我们规定：，例如． (1)试求和的值； (2)判断与（的值均不相等）的值是否相等？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据，分别代入a、b的值，再根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据分别计算与，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵， ∴， ， ∵的值均不相等， ∴． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算和新定义运算的含义，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 考点02：幂的逆运算 6．若，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 7．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．的计算结果是（    ） A．0.5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆用及有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可． 【详解】解： ． 故选：B． 9．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 10．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 考点03：比较幂的大小 11．已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 12．已知，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键． 13．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键． 考点04：零指数、负指数计算 14．计算：____ 【答案】 【分析】根据负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则分别计算两项，再进行有理数加法运算即可． 【详解】解：． 15．已知，则的值为_______． 【答案】，， 【分析】本题考查零指数幂的性质，负整数指数幂，正确分类讨论是解题的关键．当成立时，利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，可知或或，进一步可求出x的值． 【详解】解：若，则或或， ∴或或， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， ∴可能是，，， 故答案为：，，． 16．计算：． 【答案】3 【分析】根据算术平方根，零次幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 考点05：单项式的乘除法运算 17．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式相乘的运算，需将系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：． 故选C． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：B． 19．计算： (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 20．计算：________． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】解： ． 21．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点06：多项式的乘除法运算 22．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 【详解】解： 故选：A． 23．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 24．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数． 【详解】解： ， ∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是， ∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张． 故本题选：B． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘法、单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）根据单项式乘以单项式的法则计算即可； （2）根据多项式与多项式的乘法法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解： . 26．小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解； （2）将，代入计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： 长方形的长为： ， 长方形的宽为： ， 大正方形的长为：， ； （2）解： ，， ． 27．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 【答案】(1)需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张 (2)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）由型卡片的面积为，可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张； （2） 型卡片的面积为， ， ， ， ， 又阴影部分的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 又， ， ，． 考点07：含参数整式乘法 28．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 29．若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 30．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 31．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 32．若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出、值，再代入求出即可．能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键． 【详解】解： ， ， ，， ， 故选：C． 考点08：整式乘法与不含某项问题 33．已知的展开式中不含x项，则m的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，根据题意求得x项系数为0时的m值即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴，解得， 故选：C． 34．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．5 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求的值． 【详解】解：由题意得：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 故选：A． 35．使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 36．已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的二次项，且常数项为， ∴，解得：， ∴． 考点09：乘法公式直接计算 37．下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征，两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，才可以用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，中，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项B，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项C，，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 对选项D，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 38．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】套用全平方公式展开计算即可得到结果． 【详解】解：． 39．计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 40．若且，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算，运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 41．已知，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进一步可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 考点10：含参数的完全平方式 42．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 【答案】C 【详解】解：由题意， ， ∴ 或. 43．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 44．已知关于的多项式是一个完全平方式，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，完全平方式有和．根据完全平方公式求出，再求出即可． 【详解】解： ∵关于的多项式是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4． 考点11：三量关系求值 45．已知，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，以及平方根的意义． 利用完全平方公式将转化为已知条件和的表达式，求出，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选D． 46．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 47．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 48．已知，，则的值为（   ） A． B．7 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式正确变形即可解答，熟练计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 49．已知，则（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键．先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 考点12：平方差公式与几何图形综合 50．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 51．乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用. （1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得； （2）根据矩形的面积公式计算即可； （3）根据阴影部分面积相同列等式即可； （4）根据平方差的公式进行分析计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ = = =. 52．通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 【答案】（1），；（2）①12②74；（3） 【分析】本题考查乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）利用两种方法表示出阴影部分的面积，写出图1的等式，利用正方形的面积公式以及分割法求图形的面积，表示出数学公式即可； （2）①利用平方差公式进行计算即可；②利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）利用平方差公式进行展开，再进行约分化简即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示， ∴图1所表示的数学等式为：； 大正方形的面积可以用：，也可以用表示， ∴可以说明； （2）①∵， ∴； 故答案为：12； ②∵， ∵， ∴ ； 故答案为：74； （3）原式 ． 53．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点13：完全平方差公式与几何图形综合 54．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用. （1）根据图形作答即可； （2）用两种方法表示出阴影部分面积，即可找出等量关系； （3）根据（2）中结论计算即可. 【详解】（1）解：图2中阴影正方形的边长； 故答案为：； （2）解：方法1：阴影部分面积为， 方法2：阴影部分面积为， ； （3）解：根据（2）中结论可得， ． 55．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【答案】(1)40 (2)10 (3)8 【分析】题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可； （2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案． （3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：作辅助线如图所示 ∵ ∴， ∴； （2）解：作辅助线如下图 设， ∴，， ∴， 由题意得：，， ∴ （3）解：设，且（） 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得． 56．两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）分别表示出，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）分割法求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，， 所以， 因为 所以； （2）由图可知 因为， 所以． 57．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，多项式乘多项式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用不同的式子表示大正方形的面积，即可得到等式； （2）把展开成多项式，即可得到，代入求解即可； （3）利用完全平方公式作变形，即可得到阴影部分两直角边的积，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积， 大正方形的面积， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设， ∵，， ∴ ， ∴． 58．【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 考点14：整式化简求值 59．先化简，再求值． ，其中． 【答案】，1 【分析】先根据平方差公式以及完全平方公式，单项式乘以多项式的法则将式子展开，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 60．先化简，再求值：，其中 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的求值，熟练掌握整式相关的运算法则是解题的关键；根据平方差公式，多项式除以单项式化简整式，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 61．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算完全平方式，单项式乘多项式，平方差，再合并同类项，最后将代入求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 62．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，求代数式的值，先利用单项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后去括号合并同类项，然后再将，代入化简后的代数式中计算即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 考点15：杨辉三角的探究 63．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】此题主要多项式乘以多项式，理解题目中给出的“杨辉三角”的规律，由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：C． 64．观察“杨辉三角”给出了展开式的系数规律，下列说法正确的是______ ． ①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，； ②当，时，代数式的值为； ③展开式第项的系数是； ④展开式中所有系数之和为． 【答案】①③④ 【分析】观察“杨辉三角”的特点，找到系数间的规律，再求解． 【详解】解：①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，，故①是正确的； ②当，时，代数式，故②是错误的； ③展开式第项的系数是，故③是正确的； ④展开式中所有系数之和为，故④是正确的； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了完全平方公式，找到展开式的系数之间的关系是解题的关键． 65．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 【答案】五 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解：，（其中m，n，p，q为常数）， ∴除以7的余数为1， ∵今天是星期四，再过7天还是星期四， ∴再过天是星期五． 故答案为：五． 66．七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $