专题01 与中位线相关的证明思路（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教教版五四制八年级下册

专题01 与三角形中位线相关的证明思路 考点01 直接利用三角形中位线定理进行证明 考点02 三角形中位线叠加中点四边形进行证明 考点03 找中点构造三角形中位线进行证明 【题型1】直接连接两个中点构造三角形中位线进行证明 【题型2】在第三边上找中点构造三角形中位线进行证明 【题型3】在对角线上找中点构造三角形中位线进行证明 【题型4】利用中三线合一找中点构造三角形中位线进行证明 考点01 直接利用三角形中位线定理证明 1. 如图，在中，，点分别为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长及四边形的面积． 2．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． (1)求证：EO=OF； (2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 考点02 三角形中位线+中点四边形 6．已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 7．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 8．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 9．如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 10．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 考点03 找中点构造三角形中位线进行证明 【题型1】连结两个中点构造中位线 11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点，连结PQ.求证：PQ⊥MN. 12.如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【题型2】在第三边上找中点构造中位线 13．如图，已知四边形中，，点分别是边的中点，连接，则的长是______．    14. 已知：如图，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状． 15. 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【题型3】在对角线上找中点构造中位线 16. 已知：如图1，在四边形中，分别是的中点， （1）求证： 图 1 图 2 图3 （2） 如图2；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． （3） 如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 17．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容： 如图，在中，点、分别是与的中点， 可以猜想：且．    【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． 【结论应用】    （2）如图②，四边形中，，、、分别是、、的中点，若，，直接写出的度数． （3）如图③，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，直接写出的长度． 【题型4】借助三线合一寻找中点构造中位线 18．如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 19．如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 20．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 21．如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形中位线相关的证明思路 考点01 直接利用三角形中位线定理进行证明 考点02 三角形中位线叠加中点四边形进行证明 考点03 找中点构造三角形中位线进行证明 【题型1】直接连接两个中点构造三角形中位线进行证明 【题型2】在第三边上找中点构造三角形中位线进行证明 【题型3】在对角线上找中点构造三角形中位线进行证明 【题型4】利用中三线合一找中点构造三角形中位线进行证明 考点01 直接利用三角形中位线定理证明 1. 如图，在中，，点分别为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，四边形的面积为 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）易得为等边三角形，三线合一求出的长，作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知：，四边形为平行四边形， ∴，， 作，则， ∴四边形的面积． 2．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】三角形中位线的性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴为的中位线． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知，为的中位线， ∴． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 4．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可． （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． (1)求证：EO=OF； (2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形AEBF是矩形，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO∥AC，由直角三角形的性质和平行线的性质可证OE=OF； （2）由矩形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线， ∴CE=BE，∠AEB=90°， ∵点O是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线，EO=AO=BO， ∴EO∥AC， ∴∠EFA=∠FAD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD=∠FAB， ∴∠FAB=∠EFA， ∴OF=AO， ∴OE=OF； （2）解：四边形AEBF是矩形，理由如下： 如图， ∵AO=BO，EO=FO， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴四边形AEBF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点02 三角形中位线+中点四边形 6．已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明． 【详解】解：如下图，连接， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 7．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出且，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先得到，，然后结合推出，进而证明即可； （3）勾股定理求出，，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点． ∴且，，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． ∵分别是的中点． ∴，， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 8．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 9．如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【答案】互相垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 分别连接，，根据等边三角形的性质证明，得出相等的边，根据中点得出三角形的中位线，根据中位线的性质得出平行且相等的边，证明平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：线段与互相垂直平分， 理由：如图所示，分别连接，． 都是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， 分别是的中点， ，且． 同理： ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． ∴线段与互相垂直平分． 10．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 考点03 找中点构造三角形中位线进行证明 【题型1】连结两个中点构造中位线 11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点，连结PQ.求证：PQ⊥MN. 【答案】证明见解析. 【分析】连接PM、PN可以构造三角形的中位线. 【详解】证明：如图，连结MP，PN. ∵M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点， ∴PM＝AC，PN＝BD. 又∵AC＝BD，∴PM＝PN. ∵Q是MN的中点， ∴PQ⊥MN. 12.如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 【题型2】在第三边上找中点构造中位线 13．如图，已知四边形中，，点分别是边的中点，连接，则的长是______．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，    ∵E、F分别是边的中点，G是的中点， ∴分别是的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知：如图，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状． 【分析】本题主要考查中位线的性质定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． 如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 15. 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3】在对角线上找中点构造中位线 16. 已知：如图1，在四边形中，分别是的中点， （1）求证： 图 1 图 2 图3 （2） 如图2；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． （3） 如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 【分析】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． （3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，， ∵AB=CD ∴GE=GF ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵， ∴； （3）取的中点G，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 17．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容： 如图，在中，点、分别是与的中点， 可以猜想：且．    【定理证明】（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． 【结论应用】    （2）如图②，四边形中，，、、分别是、、的中点，若，，直接写出的度数． （3）如图③，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，直接写出的长度． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）的度数为；（3）的长度为 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可求解； （2）根据材料提示，可得，，，，可求出的度数，为等腰三角形，由此即可求解； （3）根据矩形的性质可求出的长度，如图所示，连接，取中点，连接，根据中位线的性质可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图所示，延长至，使得，    ∵点是的中点，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点，即， ∴且； （2）∵、、分别是、、的中点， ∴在中，，， 同理，在中，，， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点是中点， ∴，， 如图所示，连接，取中点，连接，    ∵点是中，且，即， ∴，，且， ∵点是中点， ∴在中，，， ∴点三点共线， ∴， 在中，点是中点，点是中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股直角三角形，运用勾股定理求线段的长，掌握以上知识是解题的关键． 【题型4】借助三线合一寻找中点构造中位线 18．如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】延长、交于点，由角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等，可得，可得，可得，由等腰三角形的性质，可得点为的中点，由三角形中位线的性质，可得线段的长． 【详解】解：延长、交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线． 19．如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，掌握通过延长线段构造全等三角形和中位线，利用全等得到线段相等，再用中位线定理证明线段倍分关系是解题的关键． 通过延长构造全等三角形，证明得到，再利用三角形中位线定理证明与的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，． 为等腰直角三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 为的中点，， 为的中位线， ， ． 20．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】分别延长与直线交于点，证明，所以，，同理可得，，故有是的中位线，然后通过中位线性质定理可得，再求出的长即可求解． 【详解】解：如图，分别延长与直线交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 21．如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等角和边，利用三线合一表示出相关角的度数，最后利用证明，得出对应边相等即可； （2）连接，根据三线合一得出，根据全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，再根据三线合一得出，利用三角形的中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，且，证明如下： 如图，连接， 由（1）得， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，且． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $