精品解析：吉林长春市解放学校初中部2025-2026学年九年级下学期学科活动四数学试题

新解放学校初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动四 满分：90分 时间：95分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“负数小于，小于正数，两个负数比较大小，绝对值越大的数越小”的初中比较规则求解即可． 【详解】解：∵正数大于，大于负数， ∴最小的数一定是负数，排除选项， ∵，， ∴ ， ∴， ∴四个数中最小的数是． 2. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上方看到的图形结合图形特征即可解答． 【详解】解：由图可得它的俯视图是两个同心圆，即选项D符合题意． 3. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得到，再利用平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 4. 在函数的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数解析式判断的符号，确定函数图象所在象限，再结合横坐标的大小比较函数值即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵，点都在第三象限， ∴， ∵，点在第一象限， ∴， ∴． 5. 如图，在矩形中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形得，，，再根据即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 即，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质以及．等知识内容，正确掌握矩形的性质以及锐角三角函数的性质内容是解题的关键． 6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 10. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【解析】 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． 11. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 12. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 13. 如图，分别与相切于点A，B，点D在上（不与点A，B重合），若，则__________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接、，根据切线的性质得，再利用四边形内角和可计算出，接着根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接、， 分别与相切于点A，B， ， ， ， ， 故答案为：40． 14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转得到，直线交于点F，点G为的中点，则下列说法中正确的有______． ①；②；③的最小值为；④的最小值为2． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过证明得到，可判断①；设与交于点H，利用相似三角形和全等三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理推出，可判断②；连接，利用勾股定理求出的长，再根据三角形三边关系求出的最小值，可判断③；过点A作，交的延长线于点M，连接，通过证明得到，根据三角形中位线定理得到，再根据三角形三边关系求出的最小值，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵绕点B旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确． 设与交于点H，如图 ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故②正确． 连接，如图 ∵点G为的中点，， ∴，，， ∴， ∵（当B，G，C共线时取等号） 如图所示 ∴的最小值为，故③正确． 过点A作，交的延长线于点M，连接，如图 ∴， ∵； ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点F为的中点， ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵（当B，A，E共线时取等号）， ∴取得最小值为， ∴的最小值为．故④错误． 三、解答题（本大题共7小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分化简，再代入的值计算即可． 【详解】解：原式    ；  当时，原式． 16. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，求摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据画树状图法求概率解答即可． 【详解】解：设用A表示，有理数用B表示，有理数用C表示， 根据题意，画树状图如下： 一共有6种等可能的，摸取的两个小球上的数字都是有理数的有2种等可能性， 故摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是． 17. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 18. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个面积为5的，使点C在格点上； （2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角，使点D在网格线上； （3）在图③中，以为边画一个面积为14的，使点E、F均在格点上． 【答案】（1） 如图所示： 即为所求； （2） 即为所求； （3） 平行四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）构造，高为2的即可； （2）根据正方形的性质，构造，高为4的即可； （3）构造上底为1，下底为4，高5的梯形，此时的面积为，构造平行四边形求解即可． 【小问1详解】 解：构造，高为2的， 【小问2详解】 解：根据正方形的性质，构造，高为4的 【小问3详解】 解：构造上底为1，下底为4，高5的梯形， 此时的面积为， 19. 某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了如图所示尚不完整的统计图． （1）求的值和的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这些学生捐书数量的中位数与众数； （3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是______本． 【答案】（1），， 补全条形统计图： （2）6，5 （3）7 【解析】 【分析】（1）由捐5本书的人数及其所占百分比相除即可求出参加捐书的学生总人数；用总人数减去其余捐书的人数即可求出捐8本书的人数，从而补全图形； （2）这人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，求第和第个数据的平均数即可； （3）先求出平均数，漏掉的那个学生捐书数量比平均数大即可． 【小问1详解】 解：总人数为， 则，解得：， ； 【小问2详解】 这人捐书的本数，第和第个数据都是6， ∴这些学生捐书数量的中位数为（本），众数为5本； 【小问3详解】 这名学生捐书数量的平均数为， ∵平均数增大了， ∴漏掉的那个学生捐书数量最少是7本， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图，中位数，加权平均数，掌握条形统计图与扇形统计图之间的联系是解题的关键． 20. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以、为边作矩形． （1）的长为_____； （2）当点在边上时，连接．若，则_____； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长是或 （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据矩形的性质可得， ，结合是的中点， 可知是的垂直平分线，由垂直平分线的性质等量代换即可得解； （3）分两种情况讨论： ，根据面积法可得的长，再由，可得，列式计算即可；，可得，通过矩形的性质结合同角的余角相等等量代换可证得，，进而得到，即可得解； （4）分两种情况讨论：当点在上时，连接，设，由正方形的性质可得，，，可求得，证明垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明，解直角三角形即可得解；当点在上时，通过证明，在中，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， 是的中点， 是的垂直平分线， ， ； 【小问3详解】 解：分两种情况： ，如图， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ； ，如图， ， 四边形是矩形， ，，即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中点， ， ， 在中，； 综上，的长是或； 【小问4详解】 解：当点在上时，如图，连接，设， 矩形是正方形， ，，， 在中，， 是的中点， 垂直平分， ， ，， ， ， 在中，， 解得， 即； 当点在上时，如图， 矩形是正方形， ，， 是的中点， 垂直平分， ， ， ， ，即为边的高， 由（3）可知，边上的高为， ， 在中，； 综上，的长为或． 21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）与y轴交于点A，且经过点．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M落在x轴上时，求的值； （3）作直线相交于点P． ①当面积是面积的2倍时，直接写出m的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由二次函数解析式可得，，即得，解得或，进而由点M在点N左侧，得到，即得到，又可得，利用待定系数法得到直线的解析式为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，联立函数解析式求出方程组的解得到，最后代入计算即可求解； （3）①分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可；②如图：当直线在下方，由①知当时，是面积的2倍，得到，再证明可得，即，易得，进而可得，当直线向上移动时，的长度减小，易得大于，即；又由点不与点A重合，可得；当直线在上方，显然，即，当点M、N重合时，，由解得，再结合图像求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点M、N是抛物线上两点，横坐标分别为m、n， ∴，， ∵点M落在x轴上， ∴，解得或， ∵点M在点N左侧，， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点A， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①由题意，，， 当点在点的下方时，如图， ∵由是面积的2倍， ∴， ∴A是的点， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∴ 把代入得：，整理得，，解得， ∵点P在第一象限， ∴， ∴； 当点在点的上方时，如图： ∵面积是面积的2倍， ∴是的中点， ∴， 同理，把，代入得： ， 整理得，， 解得， 当时，点与点重合，不符合题意； 故； 综上：； ②如图：当直线在下方， 由①知，当时，面积是面积的2倍， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线向上移动时，的长度减小， ∵， ∴大于，即， ∴， ∵点不与点A重合， ∴， ∴； 如图：当直线在上方，显然，即， 如图：当点重合时，， 由①可得，即，即，此时不成三角形， ∴． 综上，当的面积大于面积的时，m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动四 满分：90分 时间：95分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在函数的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 最简二次根式与可以合并，则________． 10. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 11. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 12. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 13. 如图，分别与相切于点A，B，点D在上（不与点A，B重合），若，则__________°． 14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转得到，直线交于点F，点G为的中点，则下列说法中正确的有______． ①；②；③的最小值为；④的最小值为2． 三、解答题（本大题共7小题，共48分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，求摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率． 17. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 18. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个面积为5的，使点C在格点上； （2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角，使点D在网格线上； （3）在图③中，以为边画一个面积为14的，使点E、F均在格点上． 19. 某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了如图所示尚不完整的统计图． （1）求的值和的度数，并补全条形统计图； （2）直接写出这些学生捐书数量的中位数与众数； （3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是______本． 20. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以、为边作矩形． （1）的长为_____； （2）当点在边上时，连接．若，则_____； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）与y轴交于点A，且经过点．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M落在x轴上时，求的值； （3）作直线相交于点P． ①当面积是面积的2倍时，直接写出m的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $