精品解析：吉林长春市解放学校初中部2025-2026学年九年级下学期3月学科活动数学试题

新解放学校初中部2025-2026学年下学期 九年级数学学科活动二 满分：90分 答题时间：95分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图. 根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.主视图是三角形，故本选项符合题意； B. 主视图是矩形，故本选项不符合题意； C. 主视图是矩形，故本选项不符合题意； D. 主视图是正方形，故本选项不符合题意. 故选：A． 3. 如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中， ，，  ． 在中， ，  ． 故选：B． 4. 用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 5. 若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 6. 如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（ ） A. B. C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：为跷跷板的中点，， ， 在中，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键． 7. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，，点为边上一点．且．如果函数的图象经过点和点．那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据设出点的坐标，代入反比例函数解析式求出点的坐标；然后过点、分别作轴的垂线，利用相似三角形的性质求出点的纵坐标；最后将点的纵坐标代入反比例函数解析式求出横坐标即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ，， 是等腰直角三角形， 设 点在反比例函数的图象上， ， 解得（负值舍去）， ，即． 轴，轴， ， ， ． ， ， ， ， 解得， 点的纵坐标为． 点在反比例函数的图象上， 当时，， 解得， 点的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分） 9. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数加法法则计算即可. 【详解】解： 10. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由点在第四象限，得，移项可得答案． 本题主要考查解一元一次不等式、点的坐标，解题的关键是根据点的坐标符号特点列出关于m的不等式． 【详解】解：点在第四象限， ， 则， 故答案为：． 11. 如图，已知直线，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的同位角为，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】如图，设的同位角为． ∵，， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 12. 如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 【答案】 45 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 ，根据旋转的性质确定对边  与 ，从而确定旋转角为 ，结合点  在  上即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∵经顺时针旋转后能与  重合 ， ∴ 斜边的对应边是， 旋转角为 ， ∵ 点 C 在 上 ， ∴． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由直角三角形中的其中一直角边和斜边相等可证明≌，由此判断①；由≌这个结论可得，再由三角形翻折可得，由可判断②；假设与的面积相等，则可得，由三角形全等可得结论与已知矛盾可判断③；设出正方形边长为a，与的边长为x，根据为直角三角形，由勾股定理列式可得a与x的关系，由此可判断④． 【详解】解：∵是由翻折得到， ∴，， ∴， 在正方形中，， ∴， 则在和中， 由， 可得≌，故①正确； ∵≌， ∴， 又∵是由翻折得到， ∴， ∴，故②正确； 过点C作交于点F，如图， 则与的高为， 则有，， 假设与的面积相等， 则有， ∵， ∴在和中， 由， 可知≌， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 由题目已知可得，不是正方形的对角线， ∴与已知矛盾， ∴， ∴与的面积相等，故③错误； 设正方形边长为a，的边长为x， 则有，， ∴，， ∴， ∴， 则在中，， 即， 则有， 解得， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了图形的翻折，正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，需熟练掌握直角三角形证明全等的方法以及边角边的证明方法；由假设推导结论与已知矛盾是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】把原式变形为，再把分子分解因式，接着约分化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【答案】用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：， 解得：． 答：用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 17. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ∴． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， （3） 如图， 【解析】 【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可； （）根据勾股定理的逆定理即可画图； （）根据网格可得； 本题考查了作图，勾股定理定理及逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴即为所求； 【小问2详解】 由网格可知：，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴即为所求； 【小问3详解】 由网格可知：， ∴即为所求． 19. 近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）抽取的员工的肥胖程度的中位数属于______类别；（填序号） ①偏瘦；②正常；③偏胖；④肥胖 （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉______．（结果精确到） 【答案】（1） 如图， （2）③ （3） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先计算出样本的容量，再计算即可； （2）根据求中位数的方法，计算即可； （3）根据计算公式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：抽取员工总人数为（人）， 则抽取的员工中偏胖的人数为（人）； 【小问2详解】 抽取的员工的肥胖程度按照从偏瘦至肥胖排列，则中位数落在第10，11个人的类别，而第10，11个人均为偏胖类别，故中位数属于偏胖类别； 【小问3详解】 （）， 则他的体重至少需要减掉． 20. 如图，圆的圆心在直线上，圆半径为10，圆与直线交于点、，点在圆上，且，是直线上的一个动点，当直线与圆相交时，另一个交点为点． （1）点到直线的距离是______； （2）当直线与圆相切时，求线段的长； （3）当点为线段中点时，求的面积； （4）当到距离为时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2） （3）12或60 （4）或6或26或 【解析】 【分析】（1）过C作于H，根据正切的定义得出，设，则，根据勾股定理求出，根据半径等于10可求出k的值，即可求解； （2）由（1）可求出，根据切线的性质得出，然后在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：当P和O重合时；当P和O不重合时，根据垂径定理求解即可； （4）分两种情况讨论：当Q在直线l的下方时，如图，，符合题意，则，连接，过O作于E，过C作于H，交于F，则，，四边形是矩形，得出，，根据勾股定理求出，则，，证明，，根据相似三角形的性质求出，，即可求解；当Q在直线l的上方时，类似求解即可． 【小问1详解】 解：过C作于H， ∵， ∴， 设，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴点到直线的距离是6； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∵直线与圆相切， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当P和O重合时，如图， ∵点为线段中点， ∴； 当P与O不重合时，过O作于G， ∴点G为线段中点 ∵点为线段中点， ∴G和P重合， 如图，此时P在H处， ∴， 综上，的面积为12或60； 【小问4详解】 当Q在直线l下方时，如图，，符合题意，则，连接，过O作于E，过C作于H，交于F， ∴，，四边形是矩形， 由（1）知，， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当Q在直线l上方时，如图，，符合题意，则，连接，过O作于E，过C作于H，交于F， 同理可求，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或6或26或． 21. 在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作垂直于轴，且点的横坐标为，连结和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式： （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分时，求的值； （4）当时，连结、、、．设的面积为，的面积为，若．直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或且 【解析】 【分析】（）设抛物线解析式为，然后把点代入即可求解； （）由，即，求出或，然后进行分类讨论即可求解； （）先求出直线解析式为，由直线平分，则点在直线上，求出，，然后代入，再解方程即可； （）先由题意得出，，，再根据，得出，然后分当时和当时两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：如图， ∵点在此抛物线上，其横坐标为， ∵垂直于轴， ∴轴， ∵点的横坐标为， ∴，即， 解得：或， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上可知：当时，求的值为或； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵直线平分， ∴点在直线上， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； 【小问4详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，轴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当时，即时， ， 整理得， 解得：或； 当时，即时， ， 整理得， 解得：； 当时，共线，不符合题意， ∴， 综上可知：的取值范围为：或且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2025-2026学年下学期 九年级数学学科活动二 满分：90分 答题时间：95分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（ ） A. B. C. D. 5. 若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，O为跷跷板的中点．支柱与地面垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板与地面的夹角为，经测得，则的长为（ ） A. B. C. m D. m 7. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点为边上一点．且．如果函数的图象经过点和点．那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分） 9. 计算______． 10. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 11. 如图，已知直线，若，则的度数是______． 12. 如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 17. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； （2）在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为； （3）在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为． 19. 近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）抽取的员工的肥胖程度的中位数属于______类别；（填序号） ①偏瘦；②正常；③偏胖；④肥胖 （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉______．（结果精确到） 20. 如图，圆的圆心在直线上，圆半径为10，圆与直线交于点、，点在圆上，且，是直线上的一个动点，当直线与圆相交时，另一个交点为点． （1）点到直线的距离是______； （2）当直线与圆相切时，求线段的长； （3）当点为线段中点时，求的面积； （4）当到距离为时，直接写出的长． 21. 在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作垂直于轴，且点的横坐标为，连结和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式： （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分时，求的值； （4）当时，连结、、、．设的面积为，的面积为，若．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $