专题04 解三角形（期中真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版必修第二册

专题04 解三角形 6大高频考点概览 考点01 正弦定理和余弦定理 考点02解三角形中最值和范围问题 考点03解三角形中的实际问题 考点04 平面向量综合 考点05 解三角形综合 考点06 解三角形综合中最值和范围问题 一、选择题地 城 考点01 正弦定理和余弦定理 1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦定理代入计算即可. 【详解】因为，则设，则，， 所以． 故选：D. 2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 3．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在中，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 则，解得，， 所以的面积为. 故选：D 二、多选题 5．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（    ） A．若，则有两组解 B．若，则有一组解 C．若，则边的中线长为 D．若，则边的中线长为3 【答案】BC 【分析】用余弦定理解三角形，求边的长度，可判断AB的真假；用向量表示边的中线，利用余弦定理和平面向量数量积的运算可求中线的长，判断CD的真假. 【详解】因为， 根据三角形的面积公式，可得. 由正弦定理得：， 因为为三角形内角，所以，，所以. 当，由余弦定理：得：， 所以，又，所以， 即只有一组解，可知A错误，B正确； 因为 . 由余弦定理： . 设中点为，如下图所示： 则. 所以 ， 所以，即边的中线长为，可知C正确，D错误. 故选：BC 6．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，即，解得或， 所以的值可能是1或2. 故选：AD 二、填空题 7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 【答案】/ 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，, 由,可得，， 解得:. 故答案为：. 地 城 考点02 解三角形中最值和范围问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 2．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积可求得，然后根据余弦定理得到，再由正弦定理的变形可得所求的值． 【详解】∵的面积为，， ∴，∴． 由余弦定理得，∴． 由正弦定理得， 所以， 故选：A. 3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，求得，结合是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解. 【详解】由余弦定理，与联立，可得， 即，由正弦定理可得，，即， 故或（舍去）， 因为，故，故， 所以，因为是锐角三角形， 所以，解得，则， 所以 . 故选：C. 二、填空题 5．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 地 城 考点03 解三角形中实际问题 一、单选题 1．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，， ，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 二、填空题 3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________. 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得 . 故答案为：. 4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 【答案】 【分析】根据仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可确定长. 【详解】如图，依题意，，， 故，则， 在中，， 故米. 故答案为：. 5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________． （参考数据：取，）    【答案】53.6 【分析】根据正弦定理结合已知条件计算求解. 【详解】由题意得， 在中，由正弦定理， 得，所以． 故答案为：. 2、 解答题 6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. (1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ (2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【详解】（1）设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为 ，则，即， 由余弦定理，， 即， 因二次函数的对称轴为，开口向上， 故当时，甲乙两游客之间的距离最短. （2）因，则为锐角，则， 在中，由正弦定理，，则， 依题意，乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达， 设乙步行的速度为，由题意可得：，解得， 所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内. 地 城 考点04 平面向量综合 1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知平面向量，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以． 2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，. (1)若，求在方向上投影向量的坐标； (2)若，求k的值. 【详解】（1）由，可得，解得，则， 因在方向上投影向量为，故其坐标为：； （2）由可得：，解得. 3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【详解】（1）设，，，，即； 又，，解得或， 或． （2）由题可知，，， 与的夹角是锐角，，解得， 又与不共线，，即， 实数的取值范围是． 4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知单位向量满足. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求的值. 【详解】（1）由得，，又， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可知，， ， 所以， 又，故. 5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. (1)用向量表示向量； (2)若，求. 【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足 ，， 故； （2）由题意，则， ， 所以 ， 所以. 6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 【详解】（1）因为，，所以； 因为，，所以， 所以． （2）由题知，，，的夹角为， 所以. 7．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 【详解】（1）由图， ； . （2） . （3） （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)用，表示，； (2)求的值； (3)求的值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，； （2）因为，，， 所以， 所以 . （3）依题意为向量与的夹角， 又 ， ， 所以. 9．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，在中，为中点，为上一点，且满足， (1)求的值； (2)若，的面积为，求的最小值. (3)若，，求面积的最大值. 【详解】（1）在中，D为中点，则三点共线， 设，， 故 ， 又 ，故， 解得，即. （2）由（1）知， 所以 ，当且仅当时取等号， 又，则， 即， 故，， 即的最小值为，当且仅当时取等号. （3）而，故， 令，则， 所以，当且仅当时等号成立，则面积， 综上，面积的最大值为. 10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 【详解】（1）， 所以， ， . （2） ， 解得. （3）， ， ， 设的夹角为， . 11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【详解】（1）解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （2）解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 【详解】（1）（ⅰ）在中，由，又， 所以， 所以 , （ⅱ）因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2， 13．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【详解】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 地 城 考点05 解三角形综合 1．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若的面积为，，求a、b的值. 【详解】（1）由正弦定理得，，化简为， ，， ，. （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将，代入可得：，可得， 所以，所以， 由，解得或. 故，或，. 2．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)在锐角的内角的对边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【详解】（1）由， 利用正弦定理得：， ， ，又为锐角， 则； （2）由余弦定理得：， 即， ， 又， 则． 4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的周长. 【详解】（1）中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. （2）若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 【详解】（1）由余弦定理及，可得， 又由正弦定理，可得. 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. （2）由（1）可知，又知外接圆的半径为， 则由正弦定理得 . 又由，可得， 根据余弦定理，得 ，所以，所以， 所以的周长为. 6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求的周长； (2)求的最大值． 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 又，， 所以，即， 故的周长为． （2）由正弦定理得，所以， 又，， 所以． 当时，即，此时，， 解得，或，， 故时，取得最大值． 7．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 8．(24-25高一下·江西上进联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． 【详解】（1）由，结合正弦定理可得， 整理得，所以， 又，所以； （2）因为，，所以， 由相似可知，又因为，所以，， 所以，所以， 由（1）得，所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为． 9．(24-25高一下·江西丰城中学·期中)记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【详解】（1）∵，∴， ∴，即， ∴， 由得，， 由正弦定理及余弦定理得，， ∴. （2）由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形. 由得，. ∴的面积为. 10．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 11．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 【详解】（1）由， 得． 由正弦定理，得，整理得． 由余弦定理，得． 又，所以． （2）由题知，所以． 则，所以． 由（1）得，，又，所以，联立，得， 故的面积为． （3）如图，设，因为，所以，      由（1）知，，所以， 在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，， 由正弦定理，得所以， 所以，则，整理，得， 所以，，解得，． 又，所以， 则，因此为等边三角形． 在中， 由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 地 城 考点06 解三角形综合中最值和范围问题 1．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 2．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 又，可得； （2）由题意可得，， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又， 故，当且仅当时取等号， 即的周长的取值范围为. 3．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则，即， 又，则， 则，即. （2）（ⅰ）由， 因为为外接圆圆心，即外心， 所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，， 则， 由，解得， 所以，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则， 且，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由（ⅰ）知，，令， 则， 所以当时，取得最大值. 5．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)如图，在中，，，D是BC边上一点，且， (1)求的长； (2)若，求. 【详解】（1）在中，，则， 在中，，即，得. （2）因为在中，， 所以， 则， 又，即，解得， 所以. 6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 【详解】（1）和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下： 在中，，， 由正弦定理， 得， 由，得，所以， 因为在等腰直角三角形中，存在大小为的内角， 所以和等腰直角三角形为同源三角形． （2）①由题意得，，，四点共线，设在边上的高为， 则，，的高均为， 因为，， 则，， ， 所以， ， 则， ， 两式相乘得， 所以． ②若，因为，则， 由①知，设，则，由，得． 在中，， 得， 则． 由，得，当时，的面积取得最大值，且最大值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形 6大高频考点概览 考点01 正弦定理和余弦定理 考点02解三角形中最值和范围问题 考点03解三角形中的实际问题 考点04 平面向量综合 考点05 解三角形综合 考点06 解三角形综合中最值和范围问题 一、选择题地 城 考点01 正弦定理和余弦定理 1．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)在中，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一下·江西萍乡·期中)已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有（    ） A．若，则有两组解 B．若，则有一组解 C．若，则边的中线长为 D．若，则边的中线长为3 6．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 地 城 考点02 解三角形中最值和范围问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则=（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 地 城 考点03 解三角形中实际问题 一、单选题 1．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 2．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，， ，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 二、填空题 3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为________. 4．(24-25高一下·江西萍乡·期中)萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 5．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________． （参考数据：取，）    三、解答题 6．(24-25高一下·江西萍乡·期中)如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. (1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ (2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 地 城 考点04 平面向量综合 1．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知平面向量，． (1)求的值； (2)求的值． 2．(24-25高一下·江西上饶蓝天教育集团·期中)已知向量，，. (1)若，求在方向上投影向量的坐标； (2)若，求k的值. 3．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知单位向量满足. (1)求的值； (2)设与的夹角为，求的值. 5．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设. (1)用向量表示向量； (2)若，求. 6．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 7．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 8．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)用，表示，； (2)求的值； (3)求的值. 9．(24-25高一下·江西景德镇一中·期中)如图，在中，为中点，为上一点，且满足， (1)求的值； (2)若，的面积为，求的最小值. (3)若，，求面积的最大值. 10．(24-25高一下·江西修水县第一中学·)如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 11．(24-25高一下·江西九江彭泽县第二高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 12．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. (2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 13．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 地 城 考点05 解三角形综合 1．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若的面积为，，求a、b的值. 2．(24-25高一下·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 3．(24-25高一下·江西南昌中学（三经路校区）·期中)在锐角的内角的对边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 4．(24-25高一下·江西上饶鄱阳县私立实验中学·期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的周长. 5．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 6．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求的周长； (2)求的最大值． 7．(24-25高一下·江西宜春中学·期中)的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 8．(24-25高一下·江西上进联考·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． 9．(24-25高一下·江西丰城中学·期中)记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 10．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 11．(24-25高一下·江西新九校协作体·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 地 城 考点06 解三角形综合中最值和范围问题 1．(24-25高一下·江西宜春丰城第九中学·期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 2．(24-25高一下·江西南昌第十中学·期中)已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 3．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 4．(24-25高一下·江西南昌江西科技学院附属中学·期中)已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 5．(24-25高一下·江西吉安第一中学·期中)如图，在中，，，D是BC边上一点，且， (1)求的长； (2)若，求. 6．(24-25高一下·江西上饶多校联考·期中)若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $