精品解析：重庆市育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期3月自主作业数学试题

2025-2026学年九年级（下）3月自主作业数学试题 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若m与互为相反数，则m的值为（　　） A. B. C. D. 3 2. 下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某批月饼的质量是否符合食品安全国家标准 B. 了解某市学生对93阅兵仪式的观看情况 C. 调查国庆假期游客对重庆热门景点的满意度 D. 调查神舟二十号飞船发射前各零件的运转情况 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 8. 如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：，）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，…第2024次碰到长方形边上的点为图中的（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 9. 如图，M为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点M顺时针旋转，点C的对应点N恰好落到边上，线段交对角线于点G，且G为的中点．若正方形的边长为4，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 有两个整数x，y，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ） ①一次操作后得到的整数对可能为； ②二次操作后得到的整数对不可能为； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 《2023年中国学生资助发展报告》显示，2023年，政府、高校及社会的各项普通高等教育学生资助政策共资助学生4529.63万人次，资助资金1854.38亿元．1854.38亿用科学记数法可以表示为_____． 12. 现有四张正面分别标有数字的卡片，它们除数字外，其它完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片后不放回，将剩余的卡片背面朝上洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之和为正数的概率是__________． 13. 二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 14. 不等式的解集是_____． 15. 如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题： （1）满足的数量关系是 ________ ； （2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“星期数”．例如数325，它各位数字互不相等且均不为0，满足，325是“星期数”．最大的“星期数”是_________；若一个“星期数”能被7整除，则满足条件的所有“星期数”的和是_________． 三．解答题：（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 19. 化简求值：，其中． 20. “如果有时间，你一定要来趟重庆，吹吹嘉陵江的晚风，看看夜幕下的洪崖洞．”国庆期间，重庆这座山城吸引了国内外很多游客，重庆某面馆的生意也异常火爆． （1）十月一日该面馆大份麻辣抄手的销售额是3600元，中份的麻辣抄手的销售额是3000元，且两种抄手的销量相同．已知中份的单价比大份的单价少3元．求大份和中份的麻辣抄手的单价各是多少元？ （2）由于该面馆的食材新鲜、味道“巴适”，许多游客慕名而来．十月二日当天大份的麻辣抄手比中份的多卖出200份，两种抄手的总销售额为23400元．则侧该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是多少份？ 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始出发沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），点P到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． （3）若，结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． （结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的倍．两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米?（结果保留小数点后一位） 23. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； （3）若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 24. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）3月自主作业数学试题 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若m与互为相反数，则m的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可求出的值． 【详解】解：∵m与互为相反数， ∴． 2. 下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某批月饼的质量是否符合食品安全国家标准 B. 了解某市学生对93阅兵仪式的观看情况 C. 调查国庆假期游客对重庆热门景点的满意度 D. 调查神舟二十号飞船发射前各零件的运转情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情境，熟记全面调查与抽样调查概念及特征是解决问题的关键．根据调查对象的性质、范围及实际需求，判断应选择全面调查还是抽样调查即可得到答案． 【详解】解：A、适合采用抽样调查，不符合题意； B、适合采用抽样调查，不符合题意； C、适合采用抽样调查，不符合题意； D、飞船零部件检查要求绝对安全，必须全面排查每个零件，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可求出的度数，再由对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是正确计算的前提． 【详解】解：A、与无法合并，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，再根据不等式的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，得出，用夹逼法求出取值范围． 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 8. 如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：，）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，…第2024次碰到长方形边上的点为图中的（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】找出规律为小球经过6次反弹后动点回到出发点，即可求解. 【详解】解：如图， 小球经过6次反弹后动点回到出发点， ， 当点第2024次碰到长方形的边时为第338个循环组的第2次反弹， 当点第2024次碰到长方形的边为点． 9. 如图，M为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点M顺时针旋转，点C的对应点N恰好落到边上，线段交对角线于点G，且G为的中点．若正方形的边长为4，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，证明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 10. 有两个整数x，y，把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ） ①一次操作后得到的整数对可能为； ②二次操作后得到的整数对不可能为； ③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义．根据把整数对进行操作后可得到，，中的某一个整数对，对分别进行操作，对各结论逐一判断即可的答案． 【详解】解：①把整数对按照操作，得出，故①正确； ②把整数对按照操作后的，完成第一次操作，第二次操作再按照得，故②不正确； ③把整数对按照，，操作，得到的数对中的数都是偶数，所以不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是．故③正确． 故选：C． 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 《2023年中国学生资助发展报告》显示，2023年，政府、高校及社会的各项普通高等教育学生资助政策共资助学生4529.63万人次，资助资金1854.38亿元．1854.38亿用科学记数法可以表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解决此题的关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：1854.38亿， 故答案为：． 12. 现有四张正面分别标有数字的卡片，它们除数字外，其它完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片后不放回，将剩余的卡片背面朝上洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之和为正数的概率是__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图得出所有等可能结果，找到符合条件得结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： ， 由树状图知共有12种等可能结果，其中两次拾取的卡片上的数字之和为正数的有6种结果， 所以两次拾取的卡片上的数字之和为正数的概率为； 故答案为：． 13. 二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 14. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原不等式移项得， 合并同类项得． 15. 如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题： （1）满足的数量关系是 ________ ； （2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，，则， 如图，在等边中，， 作于点H， ， 边上的高， 同理： ， ， ∴ ∴； （2）设面积为S，图②中旁边两个白色图形的面积分别为a，b； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“星期数”．例如数325，它各位数字互不相等且均不为0，满足，325是“星期数”．最大的“星期数”是_________；若一个“星期数”能被7整除，则满足条件的所有“星期数”的和是_________． 【答案】 ①. 769； ②. 658 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程，理解新定义是解答本题的关键．根据高位数字越大有理数越大可求出最大的“星期数”；根据“星期数”的定义得，从而这个星期数可表示为，然后根据这个“星期数”能被7整除对讨论即可． 【详解】解：∵， ∴． 当三位数为时，由题意，得 ， 解得（不符合题意）； 当三位数为时，由题意，得 ， 解得（不符合题意）； 当三位数为时，由题意，得 ， 解得， ∴最大的“星期数”是769； ∵三位自然数是星期数， ∴， ∴， ∴ ， ∵该“星期数”能被7整除， ∴是7的倍数， 由“星期数”的定义可知， ∴． 当时，无符合题意的解； 当时，无符合题意的解； 当时，解得，此时该“星期数”是658； 当时，无符合题意的解； 当时，无符合题意的解； ∴满足条件的所有“星期数”的和是658． 三．解答题：（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题8分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，求出的范围，按要求求出整数解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，解得； 由②得，解得； ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为，． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 18. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）①或②或③（任写一个即可） （2） 证明：∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：平分， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ④添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； 【小问1详解】 解：添加①或②或③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简多项式乘法部分与分式混合运算，并将两部分合并为最简分式，然后再利用负指数幂、绝对值和零次幂的运算法则，求出x，代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. “如果有时间，你一定要来趟重庆，吹吹嘉陵江的晚风，看看夜幕下的洪崖洞．”国庆期间，重庆这座山城吸引了国内外很多游客，重庆某面馆的生意也异常火爆． （1）十月一日该面馆大份麻辣抄手的销售额是3600元，中份的麻辣抄手的销售额是3000元，且两种抄手的销量相同．已知中份的单价比大份的单价少3元．求大份和中份的麻辣抄手的单价各是多少元？ （2）由于该面馆的食材新鲜、味道“巴适”，许多游客慕名而来．十月二日当天大份的麻辣抄手比中份的多卖出200份，两种抄手的总销售额为23400元．则侧该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是多少份？ 【答案】（1）大份单价18元，中份单价15元 （2）该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是800份 【解析】 【分析】（1）设大份单价元，则中份单价元，由等量关系列分式方程求解即可得到答案； （2）设该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是份，由等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设大份单价元，则中份单价元， 由题意得，解得， 经检验：是原分时方程的解， ∴， 答：大份单价18元，中份单价15元； 【小问2详解】 解：设该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是份， 由题意得，解得， 答：该面馆十月二日当天大份麻辣抄手的销量是800份． 【点睛】本题考查分式方程与一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始出发沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），点P到达点C停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． （3）若，结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围． （结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）当时，． 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握画函数图象的方法，根据图象求不等式解集的方法． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象求出函数图象的交点坐标，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点D， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，，， ， 即， 当点P在上时，，， ， 即， 综上：； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示， 由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； 【小问3详解】 解：联立y和的函数图象， 当时， ，解得：， ∴当时，y和交点坐标为； 当时， ，解得：， ∴当时，y和交点坐标为； 由图可知，当时，． 22. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的倍．两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米?（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）1.2千米 （2）3.7千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）过点D作于点E，过点C作于点F，利用三角函数解，证四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可求解； （2）设甲，乙两人在点G处相遇，设，则，利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意知，，， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 即与之间的距离为1.2千米； 【小问2详解】 解：如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的倍， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，（舍）， 即当两人相遇时，乙一共跑了3.7千米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； （3）若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②点P在矩形外部时，或或 【解析】 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧，此时，解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 24. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2） 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $