集训10 创新题型-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为名=4。 集训十创新题型 1.C【解析】45×4×103km=18000000km =1.8×103km。 2.(1)B【解析】当n=2时，A经销商的利润为60万元， 比n=1时增加60-40=20（万元）； B经销商的利润为55万元， 比n=1时增加55-30=25（万元）； C经销商的利润为40万元， 比n=1时增加40-20=20（万元）； D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。 .·25>24>20,.应向经销商B分配2台设备。 (2)157【解析】当分配给这四家经销商中的一家时，最大利 润为D经销商的134万元， 当分配给多家销售时： 分配给四家最大利润为40+55+20+38=153（万元）； 分配给三家最大利润为40+55+62=157（万元）； 分配给两家最大利润为60+90=150（万元） 或40+110=150（万元）。 综上，企业可获得的总利润的最大值为157万元。 3.(1)2【解析】小15÷3=5， .对15进行一次变换得到的数为5。 .5÷3=1…2, .对15进行二次变换得到的数为5+1=6； 6÷3=2, .对15进行三次变换得到的数为2。 (2)11【解析】对正整数n进行第二次变换， 当余数为0时，一次变换得到的数为1×3=3，符合题意； 1 当余数为1时，一次变换得到的数为1÷2=2，不符合题意； 当余数为2时，一次变换得到的数为1-1=0，不符合题意。 ∴.一次变换所得的数为3。 当n除以3的余数为0时，n=3×3=9,符合题意； 3 当n除以3的余数为1时，n=2,不符合题意； 当n除以3的余数为2时，n=3-1=2,符合题意。 ∴.所有满足条件的n的值之和为2+9=11。 4.解：(1)1.7×10-5×0.6×50=5.1×10-4(m), 即该铜棒的伸长量为5.1×10-4m。 1.8×10-3 (2)a.-2.5×80-20=1.2×105, 4.8×10-4÷(1.2×10-5×1)=40(℃)， 即该铁棒温度的增加量为40℃。 (3)设铜棒增加的温度为x℃， 则铁棒增加的温度为(x+20)℃。 设它们的长度均为l。 根据题意，得1.7×10-5x=1.2×10-51(x+20)。 整理，得17x=12x+240。解得x=48。 x+20=48+20=68,即该铁棒温度的增加量为68℃。 5.解：(1)根据题意，得BM⊥OM ∠B0M=18.17°，BM=3米， BM 心在Rt△BOM中，OB=nBOM031≈10（米）。 答：直吊臂OB的长为10米。 (2)如图，记旋转后的点B,M的对应点为B',M',延长B'M'交 OM于点F。 水平线-0 根据题意，得B'M'=BM=3米，OB=OB=10米。 在Rt△B'OF中， B'F=0B'·cos∠0B'M'≈10×0.81=8.1（米）， .MF=BF-B'M'=8.1-3=5.1≈5（米）。 .货物M上升了5米。 6.B【解析】A.第5天的种群数量为4O0个。故选项说法错 误；B.前3天种群数量持续增长，故选项说法正确；C.第5天 的种群数量达到最大，故选项说法错误：D.每天增加的种群 数量不相同，故选项说法错误。 7.A 8.C【解析】由图象可得，当x=0km时，y=500W·h, .电池能量最多可充500W·h。 故选项A结论错误； 500÷25=20(W·h/km),20×10=200(W·h), .摩托车每行驶10km消耗能量200W·h。 故选项B结论错误； 由图象可得，当x=25km时，y=0W·h, .一次性充满电后，摩托车最多行驶25km, 故选项C结论正确； (500-100)÷20=20(km), .摩托车充满电后，行驶20km将自动报警。 故选项D结论错误。 9.D【解析】A既是中心对称图形，也是轴对称图形；B既是中 心对称图形，也是轴对称图形：C不是中心对称图形，是轴对 称图形；D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形。 10.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N, 弹簧测力计B的示数为2.5N。 (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函 数解析式为F拉功=x+b。 将(6,4)和(10,2.8)分别代入，得 k+b=4,解得-58⊙ 10k+b=2.8, ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数 解析式为F拉力=-0.3x+5.8。 (3)当x=8时，F拉力=-0.3×8+5.8=3.4。 4-3.4=0.6(N),∴.m=0.6。 75 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数 解析式为F拉方=kx+b1。 将(6,4)和(10,2.5)分别代入，得 r6k+b1=4,解得 k1=-0.375, 10k1+b1=2.5, b1=6.25。 ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数 解析式为F拉=-0.375x+6.25。 当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6。 7.6-6=1.6(cm),∴.n=1.6。 11.解：（任务一）设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为 y元。 根据题意，得24=3y, 0n解得=150， 12x+5y=800。 Ly=100. 答：每个篮球的价格为150元，每个排球的价格是为100元。 (任务二)设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w 元，则购买(60-m)个排球。 根据题意，得w=150m+100(60-m)=50m+6000。 50>0,∴.w随m的增大而增大。 又：60-m≤2m,解得m≥20。 ∴当m=20时，w取得最小值， 此时60-m=60-20=40。 答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低。 12.解：(1)③【解析】①，②和④没有对角互补，不是邻等内接 四边形；③对角互补且有一组邻边相等，是邻等内接四边形。 (2).·∠BAC=90°，AB=3,AC=4, ∴BC=√AB2+AC=5。 四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， A,B,C,D四点共圆，且BC是直径，把BC的中点记为点 0,即A,B,C,D四点在⊙0上， 如图，连接BD,OA,相交于点H。 BC=5,0B=0A=克。设0n=,则AM=多-。 AB=AD,.OA⊥BD,BH=DH。 在Rt△ABH中，BH=AB2-A, 在Rt△BOH中，BH=OB2-OH, 0B-0f=AB-Af,即(3)2-2=32-(3-月， 解得x=0.7。∴AH=2.5-0.7=1.8。 .BH=√AB2-A=2.4。.BD=2.4×2=4.8。 .·BC是直径，.∠BDC=90°。 .'BH=DH,OB=OC,.OH是△BDC的中位线。 ∴.CD=20H=1.4。 5w=2B0.CD=2×48x1.4=3.36, Sm=28D:Al=2×48×18=4.32。 .四边形ABCD的面积=SABCD+S△MD =3.36+4.32=7.68。 13.(1)①错误②正确③错误 【解析】如图，连接BE,CF,AD,BE,AD交 于点0。 ①由图可知，AB∥DE, 只能知道△AOB∽△DOE,其他对边同理。 故平行六边形的三组主对边分别相等是 错误的； ②由图可知，AB∥DE,∠ABE=∠BED, 同理可得∠CBE=∠BEF,其他对角同理。 故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③同①可得平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的。 (2)证明：如图，过点Q作QH平行且相等于OP,连接 OH,HS, 则平行四边形PQH0是平行四边形。 .PQ∥OH,PQ=OH。 在平行六边形OPQRST中，OP∥RS,OP=RS, QH∥RS,QH=RS。.四边形QRSH是平行四边形。 .QR∥HS,QR=HS。 在平行六边形OPQRST中，PQ∥ST,QR∥OT, .OH∥ST,HS∥OT。∴.四边形HST0是平行四边形。 ..HS=OT,OH=ST。∴.QR=0T,PQ=ST。 OP=PQ=QR=RS,∴.PQ=QR=RS=ST=OT=OP。 .平行六边形OPQRST是菱六边形。 (3)解：如图，设三角形纸片为△ABC, 裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK, D∠ E B H G ∴.DE∥GH,EF∥HK,FG∥DK,DE=EF=FG=GH=HK=DK。 '.△ADE∽△ABC,△BKH∽△BAC. DE AD AE HK BK ·BC-AB-AC'AC-AB DE =EF=FG=GH=HK=DK=x, 则多=4D_AE王-BK 6 =3=4,4=3。 A0=，A=子，威= 13 4 AB=AD+DK+BK=3,2x+x+子x=3,解得x=。 在△A0E中，4A0=宁=号A极=子=8DR=手 14.解：(1)45°√2【解析】小四边形ABCD是正方形， ∴.∠OAB=∠CAD=45°，AD=√20A。 袋转角为50-0册=2。 (2)根据题意，得△AEF△AOB, ∠Fe∠0M6指-6.∠OAE=∠B1r.g45 AE AO BF AB .△AFB△AE0。OE=A0 BF AB ∠0AB=45,LA0B=90°，0-A0=5。 （3)8能的值与a无关。理由如下： G 由(2)同理可证△AFB~△AE0,:BF=AB 0E=A09 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴.∠AB0=30°。 O是AB的垂直平分线与BD的交点， .∴.OA=OB。.∠BA0=∠AB0=30°。 如图，过点0作OG⊥AB于点G。 0B0M=c0s30°=￥3 AB=2BG,cos LABO=BG=BG 9 器-8=。8船的值与无关。 (4)同理可证∠840-号器-品=2m号 BF=0E·2cms号，AB=0B·2os号 BE=0E+0B,BF+AB=0E·2as号+0B·2as号 =2(0E+0B)cas号=2Bcos号 15.解：(1).·∠A≈43°，∠B≈51°， .∴.∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°。 根据题意，得BC=AB sin A sin C BC≈341m, ..AB=BC sinC=BC sin 86341 x0.998 sin A sin 43 0.682 =499mo 答：A,B两岛间的距离为499m。 (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）。 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am, AC=bm。 计算过程：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D, 则∠ADC=∠ADB=90°。 Ac:cos C=CD 在R△ACD中，sinC=AD, AC' .AD =bsin C m,CD =bcos C m. ∴.BD=BC-CD=(a-bcos C)m。 在Rt△ACD中，AD2+BD2=AB, ∴.AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)'(m)。 ∴.A,B两岛间的距离为√/(bsin C)2+（a-bcos C)2m。 16.解：①1②6③60④60y+10⑤126⑥2142 【解析】【项目准备】自左向右拼接图2时，每增加一个图4 所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形。 ,:正六边形和正三角形组件的边长均为20cm, .∴.图4增加的长度为3个边长，即3×20=60(cm)。 第一个拼接单元有一个正六边形左边的10cm, .y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+10)cm。 【项目分析】令40x+10≤740，解得x≤18.25。 ∴.每行可以先拼18块拼接单元，即用去18个正六边形和36 个正三角形组件。 由40×18+10=730知，所拼长度为730cm,剩余10cm无 法再摆放组件。 由5×18+1×36=126知， 方案二每行的成本为126元： 由于每行宽度为20√3cm(按√3=1.73计算)， 设拼成s行，则20√3s≤600。 解得s≤600=105≈17.3，故需铺17行。 20WJ3 由126×17=2142知， 方案二所需的总成本为2142元。 17.A 18.8【解析】小(x+2)4=x+mx3+24x2+32x+16, .m.x3=4x3×2。.m=8。 19.解：(1)，·太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时 刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， +%器 ·标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE=DF,∴.CD=CA。 (2)如图，设BN与DE的交点为H, F M D 则四边形BCDH和MNHD是矩形。 DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m, .CD BH,BC=DH MN=1.2 m,HN DM=1 mo .EH=DE-DH=0.9m。 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m。 ∴.BH=CD=(1.2+x)m。∴.BN=BH+HN=(2.2+x)m。 EH∥AB,∴.△NEH△NAB。 四09.1 'AB-BN ·x2.2+x解得x=19.8。 答：纪念碑AB的高度为19.8m。 (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高 度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,小红的结 果误差较大。 可能原因：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置 无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果（答案 不唯一，合理即可)。 20.解：(1)6 (2)T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日 比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试 制阶段的第3日单日制成合格品43个，第5日单日制成合 格品48个， .相差48-43=5（个）。 把5分成两个接近的数，5=3+2， ∴.第4日增加3个，第5日增加2个。 .m=43+3=46,画出T=3时的曲线C3: y 55 50-- 40 -i--i-- 5- 30-/-----1--- 25 - ----4---- 20-月-}-片--←--i-+--} 15 10 5--i-i--i---i 012345678910x (3)①7【解析】单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3, C2:当T=2时，在试制阶段的第6日单日制成的合格品达到 45个，∴.2+6=8； C3:当T=3时，在试制阶段的第4日单日制成的合格品达到 46个，.3+4=7 7<8,故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优 秀学员”证书。 ②1【解析】如图， y 55 50 0 35 30 25 20 15 10 5 012345678910元 当T=0时，4日内的试制时间为4-0=4日， 4日的合格产品分别为7,8,10,12， ∴.合格产品共有7+8+10+12=37； 当T=1时，4日内的试制时间为4-1=3日， 78 3日的合格产品分别为12,19,26， ∴.合格产品共有12+19+26=57： 当T=2时，4日内的试制时间为4-2=2日， 2日的合格产品分别为20,30， ∴.合格产品共有20+30=50； 当T=3时，4日内的试制时间为4-3=1日， 1日的合格产品为26。 .26<37<50<57, .在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习。 21.解：(1)100【解析】根据表中数据，可发现l与F的乘积为 定值300，.3a=300。.a=100。 (2)画出F与l的函数图象如图所示。 F/N 300 200 100 ----t-÷---- .-- 0 1 2345/m (3)当OA的长增大时，拉力F是减小。理由如下： F,1都是正数，.这条曲线是反比例函数的一支。 FL=300,其函数表达式为F=300。 .k>0,∴.在第一象限内，F随的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小。 22.解：(1)2.45【解析】方案A整体口感的平均数为 2+1+1+3+1+2+2+3+1+8=2.4,即m=2.4。 10 方案C整体口感得分从小到大排列为2,2,3,3,5,5,5,8,8， 9,中位载为55，印=5 由统计表可知，方案B整体口感的平均数和中位数都最大， 方案B最受欢迎。 (2)300×8-90。 答：估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数 为90。 (3)补全题图2如下： 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 个平均数 8.5 8 65过 ☐甜度 6 ☐整体口感 2212.4 0 方案A 方案B 方案C方案 由图可知，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整 体口感得分先增高后降低。 (4)方案A综合得分为2.1×0.3+2.4×0.7=2.31； 方案B综合得分为6.5×0.3+7.1×0.7=6.92； 方案C综合得分为8.5×0.3+5×0.7=6.05。 6.92>6.05>2.31,.推断该店将会推出方案B。集训十 类型1新情境e 1.(2025北京中考)2025年5月29日，行星探测工程天 问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对 近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅。已知 该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的 45倍，月球远地点距离约为4×105km,则该小行星与 地球的最近距离约为 () A.1.8×103km B.1.8×106km C.1.8×10km D.1.8×10okm 2.(2025北京中考)某企业研发并生产了一种新设备， 计划分配给A,B,C,D四家经销商销售。当一家经销 商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商 处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 … 40 60 B 30 55 75 90 100 105 20 40 60 70 80 90 D14 38 62 86 110 134 5 (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售， 且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都 售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 (填“A”“B”“C”或“D”)分配2台设备； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的 家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得 的总利润的最大值为 万元。 3.(2025安徽中考)对于正整数n,根据n除以3的余 数，分以下三种情况得到另一个正整数m;若余数为 0,则m=号；若余数为1，则m=2n;若余数为2，则 m=n+1。这种得到m的过程称为对n进行一次“变 换”。对所得的数m再进行一次变换称为对n进行 二次变换，依此类推。例如：正整数n=4,根据4除以 3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到 的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对 4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数 为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3。 (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 (2)若对正整数n进行二次变换，得到的数为1，则所 有满足条件的n的值之和为 创新题型 4.(2025河北中考)一般固体都具有热胀冷缩的性质， 固体受热后其长度的增加称为线膨胀。在0-100℃ (本题涉及的温度均在此范围内)，原长为1m的铜 棒，铁棒受热后，伸长量y(单位：m)与温度的增加量x (单位：℃)之间的关系均为y=alx,其中a为常数，称 为该金属的线膨胀系数。已知铜的线膨胀系数acm= 1.7×10-5/℃；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到 80℃伸长了1.8×10-3m。 (1)原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒 的伸长量（用科学记数法表示）； (2)求铁的线膨胀系数are;若原长为1m的铁棒受热 后伸长4.8×104m,求该铁棒温度的增加量； (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热， 当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高 20℃，求该铁棒温度的增加量。 5.(2025凉山州中考)某型号起重机吊起一货物M在空 中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好 平行于地面，BM=3米，∠B0M=18.17°。（参考数 据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈ 0.33,sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结 果精确到1米) (1)求直吊臂OB的长； (2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆 时针旋转，当∠OBM=36时，货物M上升了多少米？ M.水平线 B 369 水平线1817- 0 0 1 类型2新考法 6.(2025广西中考)生态学家G.F.Gause通过多次单独 培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变 化情况，得到了如图所示的“$”形曲线。下列说法正 确的是 () 种群数量y/个 400 300 200 100 0了23456时间天 A.第5天的种群数量为300个 B.前3天种群数量持续增长 C.第3天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同 7.(2025宜宾中考)我国古代数学著作《九章算术》中记 载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、 羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设 5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8 两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛 和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为 ( A./5x+2y=10, B.5x+2y=8, 2x+5y=8 2x+5y=10 5x-2y=10, C. D 5x+2y=10, 2x+5y=8 l2x-5y=8 8.(2025广东中考)在理想状态下，某电动摩托车充满电 后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(单位：W·) 与骑行里程x(单位：km)之间的关系如图所示。当电 池剩余能量小于100W·h时，摩托车将自动报警。 根据图象，下列结论正确的是 个y/W·h 600 500 400 300 200 100 0 51015202530x/km A.电池能量最多可充400W·h B.摩托车每行驶10km消耗能量300W·h C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 9.(2025福建中考)中国古算诗词歌赋较多。古算诗词 题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种 文学浪漫形式。下列分别是古算诗词题“圆中方形” “方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形， 其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 ( B D 10.(2025吉林中考)【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关。 实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别 盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个 质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计 A,B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入 到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变 化，探究浮力大小的变化。（溢水杯的杯底厚度忽略 不计) 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在 液体中的体积有关、跟液体的密度有关。物体浸在 液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大。 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力；当 小铝块浸人液面后，F拉力=G重力-F浮力。 【建立模型】 在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计 A,B各自的示数F拉力（单位：N)与小铝块各自下降 的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示。 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A 和弹簧测力计B的示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉功关 于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲 液体中的小铝块受到的浮力为mN,若使乙液体中 2 的小铝块所受的浮力也为mN,则乙液体中小铝块 浸入的深度为ncm,直接写出m,n的值。 20cmk燃 20cm 甲 图1 个F拉方N 弹簧测力计A的示数 : 弹簧测力计B的示数 610 20 x/cm 图2 11.(2025云南中考)请你根据下列素材，完成有关任务。 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加 背景 体育锻炼，增强身体素质。 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用 素材 相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和 素材三 排球均需购买，且购买排球的个数不超过购 买篮球个数的2倍。 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别为多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案。 4 12.(2025遂宁中考)我们知道，如果一个四边形的四个 顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接 四边形。我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相 等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”。 (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直 角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形。其中是 邻等内接四边形的为 。(填序号) (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且 ∠BAC=90°，AB=3,AC=4,AB=AD。求四边形 ABCD的面积。 ① ② (④ 图1 0 图2 3一 13.(2025广西中考)【平行六边形】如图1，在凸六边形 ABCDEF中，满足AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA,我们 称这样的凸六边形叫做“平行六边形”。其中AB与 DE,BC与EF,CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D, ∠B和∠E,∠C和∠F叫做“主对角”；AD,BE,CF 叫做“主对角线”。 (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误 并在横线上填写“正确”或“错误”； 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别 相等 ②平行六边形的三组主对角分别 相等 ③平行六边形的三条主对角线互 相平分 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六 边形”。 (2)如图2，已知平行六边形OPORST满足OP=PQ= QR=RS。求证：平行六边形OPORST是菱六边形； (3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片。剪 裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形。 请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各 边长。 图1 图2 6 图3 4 14.(2025江西中考)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实 践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问 题展开探究。 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O。 (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕，点A逆时针 旋转并放大飞倍得到，此时旋转角的度数为 ,k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为 a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E, F),使得点E落在OD上，点F落在BC上，求阳 0万 的值； 类比探究 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，0是AB 的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时 针旋转，旋转角为，并放大得到△AEF(点O,B的 对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上，点F 落在BC上。猜想8E的值是否与®有关，并说明 理由； (4)若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究AB,BE, BF之间的数量关系（用含B的式子表示）。 ☒☒离 图3 备用图 4 15.(2025广东中考)综合与实践 【阅读材料】如图1，在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边长分别为ab,c则有品ABC b C 这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题。 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用 水水源地。某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局 部平面示意图，现需要知道湖中A,B两岛间的实际 距离。由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该 小组对这一问题进行了探究。 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测 角度、水平面高度)。 爱 测角仪测距仪 无人机 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C; 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈ 43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈ 341m,AC≈388.5mo 【问题解决】 (1)请你利用肌阅读材料】中的结论计算A,B两岛间 的距离； (参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈ 0.998) 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离。要求： 选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的 数学知识。 图1 图2 16.(2025安徽中考)综合与实践 【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边 形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地。 【项目准备】(1)密铺知识学习：用形状、大小完全相 同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既 没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺。 (2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所 示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件 的边长均为20cm。 (3)密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为 图1、图2的“拼接单元”。 图1 图2 10 cm- .40cm 宽20W3cm 图3 图4 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所 示的拼接单元，增加1个正六边形和2个正三角形， 长度增加40cm,从而x个这样的拼接单元拼成一行 的长度为(40x+10)cm。 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接 单元，增加①个正六边形和②个正三角形， 长度增加③cm;从而y个这样的拼接单元拼成 一行的长度为④cm。 【项目分析】(1)项目条件：场地为长7.4m、宽6m 的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1 元和5元。 (2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用。 (3)方式确定： ()考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； (ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右 用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方 式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接 6 结束； (ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密 铺，直至不能拼接为止。 (4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下 两种方案。 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接 (如图5)。 6m 第一行 第二行 图5 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75。 ∴.每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正 六边形和28个正三角形组件。 由40×14+10=570知，所拼长度为570cm,剩余 30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5 所示的阴影正六边形)，最终需用15个正六边形和 28个正三角形组件。 由5×15+1×28=103知， 方案一每行的成本为103元。 由于每行宽度为203cm(按3=1.73计算)， 设拼成s行，则203s≤740。 解得s≤375≈21.34。故需铺21行。 3 由103×21=2163知， 方案一所需的总成本为2163元。 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右 拼接。 类似于方案一的成本计算， 根据规律，令40x+10≤740，… 方案二每行的成本为⑤元。 方案一所需的总成本为⑥元。 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活 动（略）。 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ;② ;③ ④ ;⑤ ;⑥ 类型3新素材一 17.(2025深圳中考)如图为出现在深圳街头的新型无 线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是 A.主视图和左视图相同 B.主视图和俯视图相同 C.左视图和俯视图相同 从正面看 D.三个视图都相同 18.(2025浙江中考)【文化欣赏】我国南宋时期数学家 杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二 项和的乘方(a+b)"展开式的系数规律如图所示，其 中“三乘”对应的展开式：(a+b)4=a4+4a3b+ 6a2b2+4ab3+b4。 【应用体验】已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+ 16,则m的值为 有 左 本 ⊙⊙ o日o ⊙©目O 立 菜⊙四因四⊙ O@①①@O 柔⊙因围围因O 19.(2025河南中考)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈 士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念 园南部的中心。某综合与实践小组开展测量纪念碑 高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图 和测量 示意图 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC 上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D 处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E 测量说明 的影子落在点F处，位于点M处的观测 者眼睛所在位置为点N,点N,E,A在一条 直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平 视线上。 DE=2.1m,DF=2.1m, 测量数据 DM=1 m,MN =1.2 mo 备注 点F,M,D,C在同一水平线上。 根据以上信息，解决下列问题。 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可 得CD=CA,请说明理由； (2)求纪念碑AB的高度； (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念 碑AB的高度约为18.5m。查阅资料得知，纪念碑 的实际高度为19.64m。请判断小红的结果和(2) 中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原 因（写出一条即可）。 20.(2025北京中考)工厂对新员工进行某种工艺品制 作的培训。在完成理论学习后，新员工接下来先使 用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0， 1,2或3)的模拟练习，然后开始试制。记一名新员 工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为 y,根据以往的培训经验，对于给定的T,可以认为y 是x的函数。当T=0和T=3时，部分数据如下： x 012345678 9 T=0时y的值0 78101216202325 26 T-3时y的值0263743m4850515253 T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一 日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持 不变。 对于给定的T,在平面直角坐标系xOy中描出该T 值下各数对(x,y)所对应的点，并根据变化趋势用平 滑曲线连接，得到曲线Cr。当T=1和T=2时，曲线 C1,C2如图所示。 (1)观察曲线C,当整数x的值为 时，y的 值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系 中画出T=3时的曲线C3; (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进 行模拟练习和试制。 ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得 “优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完 成理论学习后的第 日可获得“优秀学员” 证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成 的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日 中应安排小腾先进行 日的模拟练习。 5 45 35 -*人 20 15 10 ------ 012345678910x 21.(2025贵州中考)小星在阅读《天工开物》时，看到一 种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具（如图1），有一横 杆固定于桔槔上点O,并可绕点0转动。在横杆A 处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且 OB=1m。若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当 改变点A与点O的距离1时，横杆始终处于水平状 态，小星发现F与1有一定的关系，记录了拉力的大 小F与的变化，如表： 点A与点0的 1.5 2.5 距离l/m 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值为 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F 与1之间的关系。在如图2所示的平面直角坐标系 中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时， 拉力F是增大还是减小？请说明理由。 桔程 本FN 300 坠 200 100 ------------1 1 2345/m 图1 图2 22.（2025江西中考)某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆 三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味。 为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖 浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升 和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量 (方案A:10毫升；方案B:30毫升；方案C:50毫升)， 并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方 案的甜度和整体口感评分。（以1至10的整数评分， 分值越高对应甜度越高或整体口感越好) 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表。 三个方案体口感评分析线图 个评分 10 -.方案A ◆一方案B ◆…方案C ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨①嘉宾序号 图1 4 甜度、整体口感评分平均数复合统计图 个平均数 10 8.5 ☐甜度 6.5 6 ☐整体口感 4 2.1 0 方案A 方案B方案C方案 图2 甜度、整体口感评分统计表 评项目 甜度 整体口感 方案 平均数中位数平均数中位数 A 2.1 2 m B 6.5 5 7.1 7.5 C 8.5 8 5 n 数据应用 (1)在如表中，m= ,n= 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最 受欢迎； (2)结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱 方案C的人数； (3)补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味 的影响； (4)调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注 度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综 合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数 据分析，推断该店将会推出哪种方案。 8一