20 2026年山东省初中学业水平考试预测卷(二)-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

202026年山东省初中学业水平考试预测卷（二） (时间：120分钟总分：120分)》 一、选择题（本题共10小题，满分30分，每小题3分） 1.“MATH”是“数学”的英文，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的字母是 M A &T H 2.著名科学家钱学森组建了中国第一个火箭、导弹研究机构，被誉为“中国航天之父”。为了纪念钱学 森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”。数据“5.23 亿”用科学记数法表示为 () A.5.23×108 B.5.23×109 C.0.523×109 D.52.3×10 3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图、左视图、俯视图的面积分别为S,S2, S3,则S1,S2,S3的大小关系是 () A.S1>S2>S3 B.S1>S3>S2 C.S1=S2=S3 D.S1=S3>S2 正面 E 第3题图 第6题图 4.“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是 A号 6 G、1 7 D.1 5.下列计算正确的是 A.2x3.3x2=5x B.（-2x)3=-6x3 C.-3x6÷x3=-3x D.(x2)3-(x3)2=x 6.如图，直线a∥b,直线AD分别与a,b交于点C,B,分别以点B,C为圆心，适当长为半径画弧，相交于 M,N两点，作直线MN交直线b于点E,连接CE,若∠2=30°，则∠1的度数为 A.259 B.30° C.40° D.65 7者关于x的分式方程，2+42无锅，则m的值为 +x+m=3 () A.-6 B.-10 C.0或-6 D.-6或-10 8.“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即阻力×阻力臂=动力×动力臂。其中阻力 F,(单位：N)和阻力臂L,（单位：)的反比例函数图象如图。在同一杠杆中若想使动力F2不超过 200N,则动力臂L2至少需要 () -153 给我一个支点我可以撬动地球！ —阿基米德 1200- 00.5 L,/m A.2m B.3 m C.4 m D.6m 9.如图，已知AB是⊙0的直径，C,D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于点E,连接BC。若AB=8, ∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为 () 1 A3m-23 B. 3 T c5-23 D5-4,3 B 第9题图 第10题图 10.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE1BC于点E,PF⊥CD于点F,连接 AP,EF。给出下列结论：①PD=√2EC;②四边形PECF的周长为8；③AP=EF;④EF的最小值为2√2； ⑤PB2+PD2=2PA;⑥AP⊥EF。其中正确结论的个数为 () A.3 B.4 c.5 D.6 二、填空题（本题共5小题，满分15分，每小题3分） 山若代数式学买有意义，则实数：的取值范围是 12.为比较甲、乙两种秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，并且得到甲、乙两组秧 苗高度的方差分别是3.2,9.8，由此可知 种秧苗长势更整齐。 13.若m,n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，则多项式2n2-mn+2m的值是 14.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E,F分 别是线段AM,GM的中点，则线段EF的最小值是 15.定义：对于函数图象上的两点M(x1,Y),N(2,2)(,≠x),将-的值称为该函数图象在MN段 x1-x2 的“攀登值”，记作kwv。已知二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上有两点M(x1,y1),N(x2,y2),若对 于任意的x1,x2均满足当x2>x1≥1时，该函数图象在MW段的“攀登值”始终有kMw>2,则a的取值 范围是 -154- 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16.(8分)(1)计算：√/16+2sin60°-（π-2026）°+1W3-21; r2x+3≤-1， (2)解不等式组：{ 2 17.(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB= ∠BAF=∠EAD。 (1)求证：△ABC≌△AFD; (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD。 -155- 18.(8分)在2025年5月24日举办的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许 商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如表所示： 校服熊 校服兔 进价/（元/个） 50 52 售价/（元/个） 55 59 (1)校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎， 上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个；（请列方程组求解） (2)校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售(“校服熊”和“校服兔” 均有采购)，购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100 个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金 额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊” 个，“校服兔” 个。（请直接 写答案) ∠ADB,点F在ED上， -156— 19.(9分)2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关 注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎。人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A:决 策类人工智能；B:人工智能机器人；C:语音类人工智能；D:视觉类人工智能。某公司就“你最关注 的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图。 (1)①此次共调查了 人；扇形统计图（图2）中D类对应的扇形圆心角度数为 ②请将条形统计图（图1）补充完整； (2)将表示四个类型的字母A,B,C,D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝 上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或 画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率。 人数 2 D 20 的 1 24% 5 B 0 B C D 类型 图1 图2 20.（10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点0在边AC上，以点0为圆心，OA为半径的⊙0交AB于 点D,交AC于点E,若CD=CB。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若BC=6,AC=12√2，求AD的长。 -157 21.（10分)公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口A处有两条路线可以到达山顶D。观景台 C在凉亭B的正东方向，在入口A的东北方向；凉亭B在入口A的西北方向；山顶D在凉亭B的北偏 东30°方向，在观景台C的北偏西60°方向。小明沿路线A-C-D跑步到达山顶，与沿A-B-D步行 到山顶的爸爸汇合。已知AB=1000米。（参考数据：2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449) (1)求观景台C到山顶D的距离；（结果保留根号） (2)若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶 D?请说明理由。（结果保留小数点后一位) D 十→东 309 609 BK 4545% -158- 22.（11分)哪吒脚踏风火轮追击龙王三太子，风火轮在空中划出优美的弧形，假设哪吒的飞行轨迹近 似看成二次函数的图象抛物线，弧顶最高处点C与观看者的距离0C为180米，若以点O为原点， OC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB两 点间的距离为120米。 (1)求这条抛物线的解析式； (2)弧顶最高处点C与水面的距离CD为196米，请求出此时这条优美的弧形之间水面的宽度； (3)当-16<x<8时，求y的取值范围。 —159 23.（11分)我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是180°，借助这一特征，我们可以证明两角的等量 关系。如图1，∠ABC=90°，D是边BC上一点，∠ADE=90°，则∠A+∠ADB+90°=180°，∠ADB+ ∠CDE+90°=180°，故∠CDE=∠A。 (1)如图2，D是BC上一点，∠ADE=∠B,则图中另一组等角是 (2)如图3，在正方形ABCD中，点M在BC延长线上，E是BC上一点，EF⊥AE于点E,且EF=AE,连 接CF,求证：CF平分∠DCM; (3)在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6,BC=8。 ①如图4，点E,F分别在边BC和DC上，∠ABF=120。若=3，求B能的长度； ②如图5，点E,F分别在边BC和DC延长线上，LAEF=60。若=3，请直接写出BB的长度 B E 图1 图2 图3 图4 图5 —160—S.S-S-7AB (y-y) =2(-p2+4p-p)=2(3p-p2)。 3号(p- S22(3p-p2)9 ·受的值为) (3)如图，作点N关于直线l的对称点N',连接MW',过 点M作MF⊥NN'于点F。 N 0 K LE- y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1。 ∴.K(1,0)。 设直线MN解析式为y=kx+d。 把K(1,0)代入，得k+d=0, ∴.d=-k。∴直线MN解析式为y=x-k。 设M(m,-m2+2m+3),N(n,-n2+2n+3), 装化28 得x2+(k-2)x-k-3=0, ∴.m+n=2-k,mn=-k-3。 点N,N'关于直线l:y=4对称， ∴.N'(n,n2-2n+5)。 .QM+QN=QM+QN'≥MW'。 F(n,-m2+2m+3), .N'F=Im2+n2-2(m+n)+21,FM=Im-nlo 在Rt△MFV'中，MN2=MF2+N'F2 =(m-n)2+[m2+n2-2(m+n)+2]2 =(m+n)2-4mn+[(m+n)2-2mn-2(m+n)+2]2 =(2-k)2-4(-k-3)+[(2-k)2-2(-k-3)-2(2 k)+2]2 =k+172+80。 .当k=0时，MW2取最小值80，此时MW'=4√5。 ∴.QM+QW≥4W5。 .QM+QN的最小值为4V5。 202026年山东省初中学业水平考试预测卷（二） 答案速查 12 3 45678910 1.D【解析】A,B,C是轴对称图形，不是中心对称图形，不 符合题意；D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合 题意。 2.A【解析】5.23亿=523000000=5.23×103。 3.D【解析】根据图形可知，从正面可以看到4个小正方 形，从左面可以看到3个小正方形，从上面可以看到4个 小正方形，主视图、左视图、俯视图的面积分别为S,S2, S,设一个小正方形面积为a,则S1=4a,S2=3a,S3=4a, ∴.S1=S3>S2o 4.C【解析】根据概率计算方法，得“之”字出现的概率是 21 4=7 5.C【解析】 选项 分析 正误 A 2x3·3x2=6x B (-2x)3=-8x × C -3x6÷x3=-3x1 V D (x2)3-(x3)2=0 6.B【解析】由作图可得，EM垂直平分BC, 再根据垂直平分线定理，知EB=EC, ∴.∠2=∠EBC=30°。 a∥b,.∠EBC=∠1=30°。 善总结， 模型串讲 “平行线+角平分线”模型 角平分线+平行线→等腰三角形（两个“平”产生等腰 三角形)。如图，AB∥CD(∠1=∠2)，点E,G在AB上， ,点F在CD上，FG平分∠EFD(∠2=∠3)，则△EFG是 等腰三角形(EF=EG)。 E B -D 7.D【解析】去分母，得x+2+x+m=3(x-2)。 解得x=m+8。 分式方程无解，.x=2或-2，即m+8=2或-2， 解得m=-6或-10。 8B【解析]设反比树函数的解析式为月=之。 根据题意，得120=0名5解得k=600。 R20.F弘=fh=60 _600=3(m) 当F2=200N时，L2=200 k>0时，在每个象限内，F2随L2的增大而减小， L2至少需要3m。 9.D【解析】如图，连接OD。 由条件可知，∠ADB=90°。 .OC∥BD, .∠AE0=∠ADB=90°，AE=DE。 .AC=CD .∠A0C=∠D0C。 .AC=AC, .∴.∠A0C=2∠ABC=2×30°=60°。 .∠BAD=30°，∠A0D=2∠A0C=120°。 B0=分40=B=2 .AE=√A0-E02=23。 AD=43。 =2E0×AD=2×2x45=45, :SAA0=29 1 5g影-360×m×4-45=5m-4,5。 120. 16 10.D【解析】如图，过，点P作PM⊥AB于点M,连接PC。 BD是正方形的对角线， .∴.∠PDF=45°。 PF⊥CD, .△PDF为等腰直角三角形。 .PD=√2FP=√2EC。故①正确； .PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°， E .四边形PECF为矩形。 .四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8。 故②正确； 四边形PECF为矩形，.PC=EF。 正方形为轴对称图形， AP=PC。AP=EF。故③正确； EF=PC=AP, 当AP最小时，EF最小。 当AP1BD时，A=乃BD=2×4E=2万，BF的最 小值等于2√2。故④正确； 在Rt△PBM和Rt△PDF中， PB2 PM2+MB2,PD2 PE2 FD2, .PB2+PD2=2PA。故⑤正确； BD平分∠ABC,PM⊥AB,PE⊥BC, .PM=PE。 AP=PC,∠AMP=∠EPF=90°， ∴.△AMP≌△FPE(SAS)。 ∴.∠BAP=∠PFE。 ∠AMP=90°，∴.∠BAP+∠APM=90°。 延长AP交EF于点H。 ∠APM=∠HPF,∴.∠PFH+∠HPF=90°。 .AP⊥EF。故⑥正确。 综上，正确结论的个数为6。 1.x≥1且x≠3【解析】若代数式-有意义， 3-x 则x-1≥0且3-x≠0。 解得x≥1且x≠3。 12.甲【解析】由条件可知，3.2<9.8， 根据方差的意义可知甲种秧苗长势更整齐。 13.11【解析】由题意，得m+n=1,mn=-3,n2=n+3, .2n2-mn+2m=2n+6-mn+2m=2(m+n)-mn+ 6=2-(-3)+6=11。 14.1.5【解析】如图，连接AG,AC,AC与BD交于点0。 四边形ABCD是菱形，BD=8, .ACLBD,BO-BD-4. B 又AB=5,A0=3。 点G是线段BD上的动点， AC⊥BD, .AGmin=A0=3。 :点E,F分别是线段AM,GM的中点，即EF是△AMG 的中位线， BF=2AG。EF=74G=1.5。 15.a≥1【解析】由新定义可知，kw=么-2 x1-x2 a+1-a-l_a-a=a(x,+） 1一2 x1-x2 kw>2,a(x1+x2）>2。 又x2>x1≥1，x1+x2>2。.a> 2 x1+x2° 2<1,a≥1。 x1+x2 16.解：(1)原式=4+2×5-1+2-5 2 =4+√5-1+2-3=5。 r2x+3≤-1，① o分-1<号2 解不等式①，得x≤-2。 解不等式②，得x<9。 .不等式组的解集为x≤-2。 17.证明：(1)：AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在 ED上，.∠ACB=∠ADF。 ∠BAF=∠EAD,.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF。 .∴.∠BAC=∠FAD ∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中，{AC=AD, L∠ACB=∠ADF, .△ABC≌△AFD(ASA)。 (2)由(1)，得△ABC≌△AFD,∴.AB=AF。 BE=FE,.AC⊥BF,即AC⊥BD。 18.解：(1)设“校服熊”购进x个，“校服免”购进y个。 根据题意，得+y=200, (55-50)x+(59-52)y=1160。 解得/*=120， y=80。 答：“校服熊”购进120个，“校服兔”购进80个。 (2)10456【解析】设校学生会中午紧急采购“校服熊” m个，则农肉“校辰兔81250m-(156-完a)个。 52 根据题意，得 m≥100， (55-50)m+(59-52)(156-2)≥2036-1160。 解得100≤m≤624 5 又m,(156-名m)均为正整教，m=104 156-克m=156-2x104=56 .校学生会中午紧急采购“校服熊”104个，“校服免” 56个。 19.解：(1)①5028.8°【解析】根据题意，得12÷24%= .4 50(人)，D类对应的扇形圆心角度数为360°×50=28.8°。 ②根据题意，得C类的人数为50-12-24-4=10， 补全条形统计图如下： 人数 25 _24 10 0 A B 类型 (2)根据题意，画树状图如下： 开始 个 ABCD AbCD ABCD 由树状图可知，抽取到的两张卡片内容不一致的概率为 123 16=40 20.(1)证明：如图，连接0D。 .∠ACB=90°，.∠A+∠ABC=90°。 .·CD=CB,OA=OD, ∴.∠ABC=∠CDB,∠A=∠ODA。 .∴.∠CDB+∠ODA=90°。 .∴.∠CD0=180°-∠AD0-∠BDC=90°，即OD⊥CD。 .OD为⊙0的半径，.CD为⊙0的切线。 78 (2)解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=12√2。 如图，过点C作CF⊥AB于点F。 由勾股定理，得AB=√AC+BC=18。 CF⊥AB, Sae=24B.cF=24c.BC。 分×18xCF=3x6×12,解得cF=4。 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BF=√BC-CF=2. CD=CB,.BD=2BF=4。 .AD=AB-BD=14。 21.解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥ BC于点F。 北 东 30 60° 451459 在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠FAB=45°，AB= 1000米， ∴.BF=AB·sin∠FAB=1000×sin45°=500W2(米)， AF=BF=5002米。 在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∠FAC=45°， .FC=AF=5002米， AF 500W2 AC= cos∠FAC cos45° =1000(米). .BC=BF+FC=1000V2米。 ·在Rt△DBE中，∠DEB=90°，∠BDE=30°，设DE=x米， BB=DE,m∠BDE-米。 92e°o02g(米). BD= DE :在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠EDC=60°， .CE=DE·tan∠EDC=3x米， CD=DE cos∠EDCc0s600=2x米。 :BE+BC=BC,9+=-1002, 解得x=250√6。 ∴.CD=2x=500V6米。 答：观景台C到山顶D的距离500√6米。 (2)小明先到达山顶D。理由如下： :由(1)知，AC+CD=1000+500√6≈2224.5（米）， AB+BD=10+2, 3 2×250√6=1000+500√2≈1707（米）， ∴.小明路线A-C-D的路程为2224.5米，爸爸路线 A-B-D的路程为1707米。 :小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80 米/分钟， ∴.小明所用时间为2224.5÷120≈18.5（分钟）， 爸爸所用时间为1707÷80≈21.3（分钟）。 ·18.5<21.3,∴.小明先到达山顶D。 22.解：(1)由题意，得A(-60,0),B(60,0),C(0,180)。 设抛物线的解析式为y=a(x-60)(x+60)。 将点C坐标代人，得-3600a=180, 1 解得a=-20 1 y=二20x-60)(x+60)=-202+180 即这条秘物线的解析式为y=一六+180。 (2).·0D=CD-0C=16米， 当y=-16时，-2六2+180=-16， 解得x=±28√5。 此时这条优美的弧形之间水面的宽度为 285-(-285)=56√5（米）。 1 (3):抛物线y=-20+180的开口向下，对称轴为y 轴，∴.在-16<x<8范围内， 当x=0时，ym=180; 1 当x=-16时，ym=-20×(-16)°+180=167.2。 ∴.当-16<x<8时，y的取值范围为167.2<y≤180。 23.解：(1)∠CDE=∠A【解析】∠A+∠ADB=180°- ∠B,∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE,∠ADE=∠B, ∴.∠CDE=∠A。 (2)证明：如图1，过点F作FG⊥BM于点G, 图1 ∴.∠BGF=90°。 .·四边形ABCD是正方形， .∴.∠DCM=∠BCD=∠B=90°，AB=BC。 ∴.∠B=∠BGF。 .EF⊥AE,∴.由(1)知，∠BAE=∠CEF。 ··AE=EF,∴.△ABE≌△EGF(AAS)。 9 .AB=EG,BE=FG。∴.BC=EG。 .BE=CG。∴.CG=FG。 ∴.∠FCG=∠CFG=45°。 LFcG=LDCM。 ÷∠FCD=7LDCM。 .CF平分∠DCM。 (3)①如图2，在CB上截取CG=CF。 E 图2 :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD。.∠C=180°-∠B=60°。 ∴.△CGF是等边三角形。 .∴.∠FGC=60°，FG=CG。 .∠B=∠FGE=180°-∠FGC=120°。 ∠B=∠AEF=120°， .由(1)知，∠BAE=∠FEC。 △A8En△BG。小0-器-5=3 BE=3FG=30c,BG=34B=2。 .BE+CG+EG=BC, BE+号E+2=8。B服-号。 ②15【解析】如图3，延长FE至点G,使EG=EF,过点 G作GT∥DF,交BE的延长线于点T,在ET上截取HT= GT,连接GH, 图3 ∴.∠T=∠ECF=∠BCD=60°，∠EHG=120°。 ∠CEF=∠GET,∴.△CEF≌△TEG(AAS)。 .CE=ET。 设GH=HT=a。由①知，△ABE△EHG。 …器-品品器=3 5BE=3GH=3a,BH=34B=2。 ∴.ET=CE=BE-BC=3a-8。 ∴.2+a=3a-8。.a=5。 .BE=3a=15。