专项素养巩固训练卷(八)利用含30°角的直角三角形解题的四种技巧-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

这是一份初中数学期末专项素养巩固训练卷，聚焦利用含30°角的直角三角形解题的四种技巧，通过直接运用性质、连接构造、延长补形、作垂线构造等类型的典型例题及详细解析，搭建从基础应用到综合拓展的学习支架。 资料特色鲜明，融合新课标核心素养，如结合自动化立体库模型、双翼闸门等现实情境题目，培养学生用数学眼光观察世界；解析中逻辑推理步骤清晰，发展数学思维；多样化题型提升数学语言表达能力，能帮助学生掌握解题技巧，提升几何直观与推理能力，也为教师提供系统训练素材，助力期末高效复习。初中学生尤其九年级需重点掌握几何解题技巧应对升学，本资料通过技巧分类与情境应用，帮助学生建立解题模型，提升应试能力与核心素养。

专项素养巩固训练卷(八) 利用含30°角的直角三角形解题的四种技巧 初中同步培优卷 类型1 直接运用含30°角的直角三角形的性质 1. (2025广东广州华侨外国语学校模拟,★★☆)如图,已知AC =BC=12 cm,∠B=15°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的 长为 (       ) A. 4 cm　　　　B. 5 cm　　　　C. 6 cm　　　　D. 7 cm C 初中同步培优卷 解析　∵AC=BC,∠B=15°,∴∠B=∠BAC=15°, ∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°, ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴AD= AC= ×12=6 cm. 初中同步培优卷 2. (2025山东济南历城三中月考,★★☆)如图,在等边三角形 ABC中,BC=8,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点 F作EF⊥BC于点E,则BE的长为 (       ) A. 3　　　　B. 4　　　　C. 5　　　　D. 6 C 初中同步培优卷 解析　∵△ABC为等边三角形,BC=8,∴∠A=∠C=60°,AB= AC=BC=8,∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°, ∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF= AD,CE= CF, ∵点D是AB的中点,∴AD= AB=4,∴AF=2, ∴CF=8-2=6,∴CE=3,∴BE=8-3=5. 初中同步培优卷 3. (2025山东淄博桓台期末,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥ BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°. (1)求∠BAC的度数. (2)若BD=1,求AC的长. 初中同步培优卷 解析    (1)在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°, ∴∠BAC=180°-60°-45°=75°. (2)在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠B=60°, ∴∠BAD=180°-60°-90°=30°, ∴BD= AB=1,∴AB=2, 在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=4-1=3, ∴AD= , ∵∠DAC=180°-∠C-∠ADC=45°, 初中同步培优卷 ∴∠DAC=∠C,∴CD=AD= , 在Rt△ADC中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2=3+3=6, ∴AC= . 初中同步培优卷 类型2 连接两点,构造含30°角的直角三角形 4. (2025山东临沂兰山期中,★★☆)如图,在△ABC中,AB= AC,∠C=30°,点D是AB的中点,过点D作DE⊥AB交BC于点E, DE=2,则CE的长度为 (       ) A. 7　　　　B. 8　　　　C. 9　　　　D. 10 B 初中同步培优卷 解析　如图,连接AE, 在△ABC中,∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=120°, ∵点D是AB的中点,DE⊥AB,∴DE是线段AB的垂直平分线, 初中同步培优卷 ∴BE=AE,∴∠B=∠DAE=30°, 在Rt△ADE中,∠DAE=30°,DE=2,∴AE=2DE=4, ∵∠BAC=120°,∠DAE=30°, ∴∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-30°=90°, 在Rt△CAE中,∠C=30°,AE=4,∴CE=2AE=8. 初中同步培优卷 5. (2025山东济南商河郑路中学月考,★★☆)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点 D,E,求证:AE=2CE. 初中同步培优卷 证明　如图,连接BE.   ∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=60°. ∵DE垂直平分线段AB,∴AE=BE, ∴∠A=∠ABE=30°. ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 初中同步培优卷 ∵在Rt△CBE中,∠EBC=30°, ∴CE= BE,∴CE= AE,即AE=2CE. 初中同步培优卷 类型3 延长两边(即补形),构造含30°角的直角三角形 6. (2025福建福州仓山期末,★★☆)如图,在四边形ABCD中, ∠A=30°,∠B=90°,∠C=120°,BC=2,CD=3,求AD的长. 初中同步培优卷 解析　如图,延长DC与AB的延长线相交于点E, ∵∠ABC=90°,∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°, ∵∠BCD=120°,∠BCD是△CBE的外角, ∴∠E=∠BCD-∠CBE=120°-90°=30°, ∵∠A=30°,∴∠A=∠E,∴AD=DE, 初中同步培优卷 ∵∠CBE=90°,∠E=30°,BC=2,∴CE=2BC=4, ∵CD=3,∴DE=DC+CE=3+4=7, ∴AD=DE=7. 初中同步培优卷 类型4 作垂线,构造含30°角的直角三角形 7. 【新课标·应用意识】(2025广东深圳龙岗百合外国语学校 期中改编,★★☆)2024年5月24日至26日,中国图象图形大会 (CCIG 2024)在陕西省西安市召开,主题为“图聚智生,象合慧 成”,在“自动化立体库”中有许多几何元素,如图所示的是 其中的一个等腰三角形模型示意图,它的顶角为120°,腰长为1 2 m,则腰上的高为 (       ) A A.   m　　　　B. 6 m　　　　C.   m　　　　D. 4 m 初中同步培优卷 解析　如图,过A作AD⊥BC于点D,过B作BE⊥CA交CA的延 长线于点E, ∴∠ADB=∠BEC=90°, ∵AB=AC=12 m,∠BAC=120°,AD⊥BC, 初中同步培优卷 ∴∠ABC=∠C= (180°-∠BAC)=30°,BC=2BD, ∴AD= AB=6 m,∴BD= =  m, ∴BC=2BD=2  m, 在Rt△BCE中,∠C=30°, ∴BE= BC=  m, 即腰上的高为  m. 初中同步培优卷 8. (★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=20,D为BC上一 点,AD=AC,CD=12,则BD的长为_________.     4     初中同步培优卷 解析　如图,过点A作AE⊥BC于点E,   ∴∠AEB=90°. ∵∠ABC=60°,∴∠BAE=90°-∠ABC=30°. ∵AB=20,∴BE= AB=10. ∵AD=AC,AE⊥CD, 初中同步培优卷 ∴DE=CE= CD=6, ∴BD=BE-DE=10-6=4,∴BD的长为4. 初中同步培优卷 9. 【新课标·应用意识】(2025河南洛阳西工期中,★★☆)如 图所示的是某超市入口的双翼闸门示意图,当它的双翼展开 时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC =BD=66 cm,且与闸机侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°,求 当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度. 初中同步培优卷 解析　如图,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F, ∴∠AEC=∠BFD=90°, 在Rt△ACE中,∠ACE=30°,AC=66 cm, ∴AE= AC= ×66=33(cm), 初中同步培优卷 同理可得BF=33 cm, ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm, ∴当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为33+10+33 =76 cm. 初中同步培优卷 $