11.3 第3课时 等边三角形与含30°角的直角三角形-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及反证法，通过山东威海等地中考模拟题导入，衔接等腰三角形知识，搭建从特殊到一般的学习支架，帮助学生构建三角形证明的知识脉络。 其亮点在于采用多解法（如平行线与等边三角形综合题的两种思路）、教材变式及新课标推理能力训练（如动态等边三角形中线段关系探究），以例题解析和方法归纳（反证法步骤）培养学生推理能力与几何直观，助力学生提升逻辑思维，为教师提供丰富教学资源与思路。

第十一章　三角形的证明及其应用 3　等腰三角形 第3课时　等边三角形与含30°角的直角三角形 初中数学培优课堂  　等边三角形的性质与判定 1.【学科特色·多解法】(2025山东威海环翠一模)如图,直线 AB∥CD,等边△EFG的顶点E刚好落在AB上,FG与CD交于点 H.已知∠1=140°,则∠2= ( ) A.110°　　    B.120°　　     C.130°　　    D.100°     D     初中数学培优课堂 解析　【解法一】如图,设EG与CD交于点M,∵△EFG是等边 三角形, ∴∠G=60°,∴∠GMH=∠1-∠G=140°-60°=80°, ∴∠DME=∠GMH=80°, ∵AB∥CD,∴∠2+∠DME=180°, ∴∠2=100°. 初中数学培优课堂 【解法二】由平行线的猪蹄模型,可知∠AEF=∠EFG-∠FHC. ∵∠1=140°,∴∠FHC=180°-140°=40°. ∵△EFG是等边三角形,∴∠EFG=∠FEG=60°, ∴∠AEF=60°-40°=20°, ∴∠2=180°-∠AEF-∠FEG=180°-20°-60°=100°. 初中数学培优课堂 2.(2025山东济宁微山期中)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点 D,E在BC上,AD=BD,AE=CE,则△ADE是 ( )   A.等腰三角形　　　    B.等边三角形 C.直角三角形　　　    D.不等边三角形     B     初中数学培优课堂 解析　∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°, ∵AD=BD,AE=CE, ∴∠BAD=∠B=30°,∠CAE=∠C=30°, ∴∠ADE=∠BAD+∠B=60°,∠AED=∠CAE+∠C=60°, ∴∠DAE=60°=∠ADE=∠AED, ∴△ADE是等边三角形. 初中数学培优课堂 3.(2025山东聊城阳谷期中)如图,△ABC是等边三角形,点D,E, F分别在BC,AB,CA的延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是 等边三角形.   初中数学培优课堂 证明　∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD, 在△BDE和△AEF中,  ∴△BDE≌△AEF(SAS),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD, ∴EF=ED=FD,∴△DEF为等边三角形. 初中数学培优课堂  　含30°角的直角三角形的性质 4.【学科特色·教材变式】(2025山东菏泽曹县期中)如图,BC= 10 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD 的长为 ( )   A.3 cm　　    B.4 cm　　    C.5 cm　　    D.6 cm     C     初中数学培优课堂 解析　∵∠B=∠BAC=15°,∴AC=BC=10 cm, ∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°, ∵AD⊥BC,∴AD= AC=5 cm. 初中数学培优课堂 5.(2025山东济南钢城期末)如图,等边△ABC中,D是AC的中 点,DE⊥BC于E,AB=4.求EC的长.   初中数学培优课堂 解析　∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=60°,AC=AB=BC=4, ∵D是AC的中点,∴CD= AC=2, ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°, ∴∠CDE=90°-60°=30°,∴EC= CD=1. 初中数学培优课堂  　反证法 6.(2025山东青岛市北期中)用反证法证明命题“在直角三角 形中,必有一个锐角不小于45°”时,首先应假设这个直角三角 形中 ( ) A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45°     B     初中数学培优课堂 解析　用反证法证明命题“在直角三角形中,必有一个锐角 不小于45°”时,首先应假设这个直角三角形中两个锐角都小 于45°. 初中数学培优课堂 7.(2025上海松江期中)用反证法证明.已知:如图,直线a,b被直 线c所截,∠1+∠2≠180°.求证:a与b不平行. 证明:假设___________, 根据____________________________, 可得∠1+∠2=180°, 这与_______矛盾, 故假设不成立,a与b不平行. 　已知     　两直线平行,同旁内角互补         a∥b     初中数学培优课堂 解析　假设a∥b,根据两直线平行,同旁内角互补,可得∠1+∠ 2=180°,这与已知矛盾,故假设不成立,a与b不平行. 初中数学培优课堂 方法归纳 反证法的一般步骤:①假设命题的结论不成立;②从这个假设 出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾判定假设不正确,从而 肯定原命题的结论正确. 初中数学培优课堂   8.(2025山东淄博周村期末,★★☆)如图,在等边△ABC中,D是 BC的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F,已知BC=16,则BF的 长为 ( )     C     A.6　　     B.8　　     C.10　　     D.12 初中数学培优课堂 解析　在等边△ABC中,∵D是BC的中点,BC=16, ∴AB=AC=BC=16,BD=CD= BC=8,∠ACB=∠BAC=60°, ∵DE⊥AC,EF⊥AB, ∴∠CDE+∠C=90°,∠EAF+∠AEF=90°, ∴∠CDE=30°,∠AEF=30°, ∴CE= CD=4,AF= AE,∴AE=AC-CE=12, ∴AF= AE=6,∴BF=AB-AF=10.故选C. 初中数学培优课堂 9.(2025山东淄博桓台期中,★★☆)如图,等边△ABC的边长为 6,∠ABC,∠ACB的平分线交于点D,过点D作EF∥BC,交AB,AC 于点E,F,则EF的长度为_________.       4     初中数学培优课堂 解析　如图,连接AD,   ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC=6, ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB, 初中数学培优课堂 ∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB, ∴∠EBD=∠EDB,∠FCD=∠FDC, ∴BE=DE,DF=FC, ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB, ∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=30°, 又∵AB=AC,∴AD⊥BC, ∵EF∥BC,∴AD⊥EF,∴AE=2ED,AF=2DF, ∵AB=AC=6,∴BE+AE=6,AF+CF=6, ∴BE=CF=2,∴DE=DF=2,∴EF=DE+DF=4. 初中数学培优课堂 10.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,点O是等边△ABC内 一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△ADC≌△BOC,连接OD. (1)求证:△COD是等边三角形. (2)当AO=AD时,α为多少度?   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°, ∵△ADC≌△BOC,∴CD=CO,∠DCA=∠OCB, ∴∠DCO=∠ACB=60°,∴△COD是等边三角形. (2)∵△ADC≌△BOC,∴∠ADC=∠BOC=α, ∵△COD是等边三角形,∴∠COD=∠CDO=60°, ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°= 190°-α,∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°, ∵AO=AD,∴∠AOD=∠ADO, ∴190°-α=α-60°,解得α=125°. 初中数学培优课堂   11.【新课标·推理能力】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点 D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定线段 AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填 “>”“<”或“=”). (2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点 时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE_____ DB(填“>”“<”或“=”).理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F,……(请你补全解答过程) 初中数学培优课堂 (3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线 AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为 1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).        初中数学培优课堂 解析    (1)当E为AB的中点时,AE=DB. (2)结论:AE=DB. 理由:如题图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC, ∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=∠ABC=∠ACB=60°, ∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF, ∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF, ∵ED=EC,∴∠D=∠ECD, 初中数学培优课堂 ∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴∠DEB=∠ECF, 在△DBE和△EFC中,  ∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. (3)由题意知,点E在AB的延长线上,过点E作EF∥AC,交CD于 点F,则△EFB为等边三角形,如图,易证得△DBE≌△CFE, 初中数学培优课堂   ∵AB=1,AE=2,∴BE=BF=1, ∴DB=FC=FB+BC=2,∴CD=BC+DB=3. 初中数学培优课堂 $