专项素养巩固训练卷(七)全等三角形的六种常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

这是一份初中数学同步培优课件，聚焦全等三角形六种常见模型（一线三等角、倍长中线、半角型、手拉手型、截长补短型、对角互补型），包含题目与解析，适合期末专项巩固训练，为学生构建全等三角形解题的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，如一线三等角型通过动态点运动问题发展几何直观与空间观念，倍长中线型强化推理能力，截长补短型结合实际情境培养模型意识，助力学生掌握解题方法，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率，尤其适合九年级学生备战升学考试。

专项素养巩固训练卷(七) 全等三角形的六种常见模型 初中同步培优卷 1. (★★★)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在 线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,∠BDA的度数记为 α,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E. (1)当α=115°时,∠EDC=_______°,∠DEC=_______°;当点D 从点B向点C运动时,α逐渐变_______(填“大”或“小”),α 的取值范围是_________. (2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请说明理由. 类型1 一线三等角型 初中同步培优卷 (3)在点D的运动过程中,△ADE可以是等腰三角形吗?若可以, 请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)∵∠BDA=α=115°,∠ADE=40°, ∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°, ∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°, 当点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变小, ∵点D不与B,C重合,∴α的取值范围是40°<α<140°. 故答案为25;115;小;40°<α<140°. (2)当DC=2时,△ABD≌△DCE. 初中同步培优卷 理由:∵DC=2,AB=2,∴AB=DC. ∵∠C=40°,∴∠DEC+∠EDC=180°-∠C=140°, 又∵∠ADE=40°,∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=140°, ∴∠ADB=∠DEC, 在△ABD和△DCE中,  ∴△ABD≌△DCE(AAS). 初中同步培优卷 (3)可以.∠BDA的度数为110°或80°. 详解:①当AD=DE时,∠DAE=∠DEA= (180°-∠ADE)=70°, ∴∠BDA=∠DEC=110°. ②当DE=AE时,∠EDA=∠EAD=40°,∴∠BDA=∠DEC=∠E- DA+∠EAD=80°. ③当AD=AE时,∠AED=∠ADE=40°,∴∠BDA=∠DEC=140°, 显然不成立. 综上,∠BDA的度数为110°或80°. 初中同步培优卷 2. (2025上海浦东上南中学东校期末,★★★)综合与实践. 【问题情境】课外数学社团开展活动时,指导老师提出了如 下问题:如图①,在△ABC中,若AB=6,AC=4,D为BC边的中点, 试求中线AD长度的取值范围. 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后,得到了 如下解决方法:如图②,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.请根 据小明同学的方法思考: (1)由已知条件和所作辅助线,能得到△ADC≌△EDB,理由是      (　    ) 类型2 倍长中线型 初中同步培优卷 A. SAS　　　　B. ASA　　　　C. AAS　　　　D. SSS (2)求中线AD长度的取值范围.(直接写出答案) 【解决问题】 (3)老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来 解决问题:如图③,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,BF是△BEC的中线,若BF=5,求AD的长. 初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)A.详解:∵D为BC边的中点, ∴BD=CD, 在△ADC和△EDB中,  ∴△ADC≌△EDB(SAS),故选A. (2)1<AD<5. 详解:∵△ADC≌△EDB,∴EB=AC=4, 初中同步培优卷 ∵AB-EB<AE<AB+EB, ∴6-4<2AD<6+4, 即1<AD<5. (3)如图,延长BF至G,使GF=BF,连接CG, 初中同步培优卷 ∵BF是△BEC的中线,∴CF=EF, 在△CFG和△EFB中,  ∴△CFG≌△EFB(SAS),∴CG=EB,∠1=∠2, ∵∠ABC=∠DBE=90°, ∴∠4+∠CBE=180°, ∵∠2+∠3+∠CBE=180°,∴∠4=∠2+∠3, 初中同步培优卷 ∵∠1=∠2,∴∠4=∠1+∠3,即∠ABD=∠BCG, ∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形, ∴AB=CB,BD=BE,∴BD=CG,在△ABD和△BCG中 ∴△ABD≌△BCG(SAS), ∴AD=BG=2BF=10,即AD的长为10. 初中同步培优卷 类型3 半角型 3. (★★★)如图①,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在斜边BC上,∠DAE=45°,将△ABD绕点A逆时针旋转 90°至△ACF,连接EF. (1)(i)求证:△ADE≌△AFE. (ii)请写出线段BD,DE,EC之间的数量关系,并说明理由. (2)如图②,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∠DAE=60°,BD=4,CE=6,求DE的长. 初中同步培优卷 解析    (1)(i)证明:∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF, ∴△ABD≌△ACF,∠DAF=90°, ∴AD=AF, ∵∠DAE=45°,∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°, ∴∠FAE=∠DAE, 在△ADE和△AFE中,  初中同步培优卷 ∴△ADE≌△AFE(SAS). (ii)DE2=CE2+BD2,理由如下: 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠B=∠ACB=45°, 由旋转可知△ABD≌△ACF, ∴BD=CF,∠ACF=∠B=45°, ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°, 由勾股定理得EF2=CE2+CF2, 初中同步培优卷 由(1)(i)知△ADE≌△AFE, ∴DE=EF,∴DE2=CE2+BD2. (2)如图,将△ABD绕点A逆时针旋转120°至△ACF,连接EF, ∴△ABD≌△ACF,∠DAF=120°, ∴BD=CF=4,AD=AF,∠ACF=∠ABD, ∵∠DAE=60°,∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=60°=∠DAE, 在△ADE和△AFE中,  初中同步培优卷 ∴△ADE≌△AFE(SAS),∴DE=EF, 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠ACB=30°, ∴∠ACF=∠B=30°,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=60°, 如图,过点F作FH⊥BC于H, 在Rt△CHF中,CF=4,∠CFH=90°-∠ECF=30°,∴CH=2,由勾股 初中同步培优卷 定理可得FH= =2 , 在Rt△EHF中,EH=EC-CH=6-2=4, 由勾股定理得EF= =2 , ∴DE=2 . 初中同步培优卷 类型4 手拉手型 4. (2025山东淄博淄川期末,★★★)如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB =∠DCE=α,AD,BE交于点H,连接AB,DE,CH. (1)求证:△ACD≌△BCE. (2)求证:HC平分∠AHE. (3)求∠CHE的度数.(用含α的式子表示) 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α, ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中,  ∴△ACD≌△BCE(SAS). (2)证明:如图,过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N, ∴∠AMC=∠BNC=90°, 初中同步培优卷 由(1)可知△ACD≌△BCE, ∴∠CAM=∠CBN, 在△ACM和△BCN中,  ∴△ACM≌△BCN(AAS),∴CM=CN, ∴点C在∠AHE的平分线上,∴HC平分∠AHE. 初中同步培优卷 (3)如图,记BC交AH于点O, ∵∠CAD=∠CBE,∠AHB+∠BOH+∠OBH=180°, ∠OAC+∠AOC+∠ACB=180°,∠AOC=∠BOH,∠ACB=α, ∴∠AHB=∠ACB=α, ∴∠AHE=180°-α, ∴∠CHE= ∠AHE=90°- α. 初中同步培优卷 类型5 截长补短型 5. (2025河南省实验中学期末,★★★)张老师善于通过合适的 主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、发展的眼光看问 题,形成科学的思维习惯.下面是张老师开展的“利用角的对 称性构造全等模型”微专题探究活动,请仔细阅读,并完成相 应任务. 初中同步培优卷 活动1:用直尺和圆规作已知角的平分线,如图①所示,则由△ APD≌△APE,可得∠DAP=∠EAP. 活动2:如图②,在△ABC中,AB<AC,AP是△ABC的角平分线, 在AC上截取AQ=AB,连接PQ,则△ABP≌△AQP. 请完成下列任务: (1)在活动1、活动2中,判定三角形全等的依据依次是______ ____,_______(填选项). A. SAS　　　　　B. AAS　　　　C. ASA　　　　D. SSS 初中同步培优卷 (2)【迁移探究】 如图③,在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线与∠ ABC的平分线恰好交于CD边上的点P,试判断PD与PC的数量 关系,并说明理由. (3)【拓展探究】 如图④,在△ABC中,∠C=60°,AE,BF是△ABC的两条角平分 线,且AE,BF交于点P.试猜想PE与PF之间的数量关系,并说明 理由. 初中同步培优卷 解析    (1)活动1:由尺规作图可知AD=AE,PD=PE, 在△APD和△APE中,  ∴△APD≌△APE(SSS). 活动2:∵AP是△ABC的角平分线,∴∠BAP=∠QAP, 在△ABP和△AQP中,  ∴△ABP≌△AQP(SAS). 初中同步培优卷 故答案为D;A. (2)PD=PC,理由如下: 如图,在AB上截取AH=AD,连接PH,   ∴AB=AH+BH=AD+BH, 初中同步培优卷 ∵AB=AD+BC,∴BH=BC, ∵∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P, ∴∠HAP=∠DAP,∠HBP=∠CBP, 在△APH和△APD中,  ∴△APH≌△APD(SAS),∴PH=PD, 在△BPH和△BPC中,  初中同步培优卷 ∴△BPH≌△BPC(SAS),∴PH=PC,∴PD=PC. (3)PE=PF,理由如下: 如图,在AB上截取AK=AF,连接PK, 在△ABC中,∵∠C=60°, ∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=120°, 初中同步培优卷 ∵AE,BF是△ABC的两条角平分线,且交于点P, ∴∠KAP=∠FAP= ∠CAB,∠KBP=∠EBP= ∠CBA, ∴∠KAP+∠KBP= (∠CAB+∠CBA)= ×120°=60°, ∵∠FPA是△PAB的外角, ∴∠FPA=∠KAP+∠KBP=60°, ∴∠APB=180°-∠FPA=120°,∠EPB=∠FPA=60°, 在△APK和△APF中,  初中同步培优卷 ∴△APK≌△APF(SAS), ∴PK=PF,∠KPA=∠FPA=60°, ∴∠KPB=∠APB-∠KPA=120°-60°=60°,∴∠KPB=∠EPB, 在△BPK和△BPE中,  ∴△BPK≌△BPE(ASA),∴PK=PE,∴PE=PF. 初中同步培优卷 6. (2025山东菏泽定陶期中,★★★)问题背景:如图①,在四边 形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别 是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间 的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使 DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△ AGF,可得出结论,他的结论应是__________. 探索延伸:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°, 类型6 对角互补型 初中同步培优卷 E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论是否 仍然成立?并说明理由. 实际应用:如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且 两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正 东方向以70海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向 以90海里/小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙 初中同步培优卷 两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时 两舰艇之间的距离. 初中同步培优卷 解析　问题背景:由题意可得△AEF≌△AGF, ∴EF=GF,∴EF=FG=DF+DG=BE+FD. 故答案为EF=BE+FD. 探索延伸:EF=BE+FD仍然成立. 理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 初中同步培优卷 ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中,  ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, 又∵∠EAF= ∠BAD, ∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF 初中同步培优卷 =∠BAD- ∠BAD= ∠BAD, ∴∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中,  ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+FD. 初中同步培优卷 实际应用:如图2,连接EF,延长AE,BF相交于点C,则在四边形 AOBC中,∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠FOE=70°= ∠AOB, 又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°+(50°+70°)=180°,符合探索延伸中的条件, ∴结论EF=AE+FB成立, 即EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里). 答:此时两舰艇之间的距离为320海里. 初中同步培优卷 $