专项素养巩固训练卷(六)等腰三角形的四种常见题型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

这是一份初中数学期末专项培优课件，聚焦等腰三角形四种常见题型，包含利用性质求角度、求线段长、判定及综合应用，提供典型例题及详细解析，为学生搭建从基础到提升的学习支架。 资料特色突出，融入新定义题（如“等角分割线”）培养创新意识，通过几何推理（如角度计算、全等证明）发展推理能力，结合实际问题（如等腰三角形边长）强化应用意识。助力学生提升逻辑思维，也为教师教学提供优质例题与解析参考。

专项素养巩固训练卷(六) 等腰三角形的四种常见题型 初中同步培优卷 类型1 利用等腰三角形的性质求角度 1. (2025浙江嘉兴二模,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点E, F分别在边AB,AC上,且CB=CE=CF,连接BF,CE. (1)当∠A=40°时,求∠BFC的度数. (2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠ABC=∠ACB= (180°-∠A)=70°, ∵CB=CF, ∴∠BFC=∠CBF= (180°-∠ACB)=55°. (2)∵CB=CE,AB=AC, ∴∠CBE=∠BEC=∠BCF, ∵∠BFC+∠BEC=126°, ∴∠BFC+∠BCF=126°, 初中同步培优卷 ∴∠CBF=180°-(∠BFC+∠BCF)=54°, ∵CB=CF, ∴∠BFC=∠CBF=54°, ∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=72°, ∴∠CBE=∠BCF=72°, ∴∠A=180°-∠CBE-∠BCF=36°. 初中同步培优卷 2. 【新考向·新定义题】(2025上海长宁期末,★★★)定义:在 等腰三角形中,如果过某底角顶点的一条射线分这个底角所 成的两个角中,恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角,那 么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”. 已知在△ABC中,AB=AC,点D在边AC上. (1)如图①,如果BD=BC,求证:BD是△ABC的“等角分割线”. (2)如图②,如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”, 求∠C的度数. 初中同步培优卷 (3)已知BD是△ABC的“等角分割线”,∠BAC的平分线交 BD于点F,DF=DC,那么∠BAC的度数为_________. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C, ∵BD=BC, ∴∠BDC=∠C, ∴∠ABC=∠BDC, ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, ∴∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABD,∴∠A=∠DBC, ∴BD是△ABC的“等角分割线”. 初中同步培优卷 (2)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴∠A=180°-2∠C,∵BD⊥AC, ∴∠BDC=90°,∠BDA=90°, ∴∠A+∠ABD=90°,∠DBC+∠C=90°, ∴∠ABD=2∠C-90°,∠DBC=90°-∠C, ∵BD是△ABC的“等角分割线”, 初中同步培优卷 ∴(i)当∠A=∠ABD时,得180°-2∠C=2∠C-90°, 解得∠C=67.5°; (ii)当∠A=∠DBC时,得180°-2∠C=90°-∠C, 解得∠C=90°(舍去), 综上所述,∠C=67.5°. (3)记∠BAC的平分线与BC交于点E, (i)如图1,当∠DBC=∠BAC时, 图1 初中同步培优卷 ∵AB=AC,AE平分∠BAC, ∴AE⊥BC,∠BAE=∠CAE,BE=CE, 设∠BAE=∠CAE=x,则∠DBC=∠BAC=2x, ∵AE⊥BC,BE=CE, ∴AE垂直平分BC,∴FB=FC, ∴∠DBC=∠FCB=2x, ∴∠DFC=∠FBC+∠FCB=2x+2x=4x, ∵DF=DC,∴∠DFC=∠DCF=4x, 初中同步培优卷 ∴∠ACE=∠DCF+∠FCB=4x+2x=6x, ∵AE⊥BC,∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°, ∴x+6x+90°=180°,解得x= , ∴∠BAC=2× = ; (ii)如图2,当∠ABD=∠BAC时,  图2 初中同步培优卷 ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE, 设∠BAE=∠CAE=x,则∠ABD=∠BAC=2x, ∴∠FDC=∠BAC+∠ABD=4x, 在△ABF和△ACF中,  ∴△ABF≌△ACF(SAS),∴∠ACF=∠ABD=2x, ∵DF=DC,∴∠DFC=∠DCF=2x, 初中同步培优卷 ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°, ∴4x+2x+2x=180°,解得x=22.5°, ∴∠BAC=2×22.5°=45°, 综上,∠BAC的度数为45°或 , 故答案为45°或 . 初中同步培优卷 类型2 利用等腰三角形的性质求线段长 3. (2025山东济南高新区期末,★★☆)若等腰三角形的两条边 长分别为2和5,则这个等腰三角形的周长为__________.     12     解析　①当5是腰长时,三角形的三边长分别为5,5,2, 能组成三角形,所以周长=5+5+2=12, ②当5是底边长时,三角形的三边长分别为2,2,5, 不能组成三角形. 综上,等腰三角形的周长为12. 初中同步培优卷 4. (2025陕西西安长安期末,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥ BC,直线EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且AE=AB. (1)求证:∠B=2∠C. (2)若AC=13,AD=5,求△ABC的周长. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵EF垂直平分AC,AE=AB, ∴AB=AE=EC, ∴∠B=∠AEB,∠C=∠CAE, ∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C, ∴∠B=2∠C. (2)∵AD⊥BC,AE=AB,∴BD=DE, 在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AC=13,AD=5, ∴CD= =12,∵AB=AE=EC,BD=DE, 初中同步培优卷 ∴AB+BC=CE+CD+BD=CE+CD+DE=2CD=24, ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24+13=37. 初中同步培优卷 类型3 等腰三角形的判定 5. (2025山东淄博淄川期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=36°, AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC, 连接DE,则图中等腰三角形共有 (       )   A. 2个　　　　B. 3个　　　　C. 4个　　　　D. 5个 D 初中同步培优卷 解析　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°,∵BD是△ABC的角平分 线,∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD=36°, ∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形;在△BCD中,∠BDC=180°- ∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°, ∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形; ∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形; 初中同步培优卷 ∵∠ABD=36°,∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°, ∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°, ∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形. 综上所述,题图中的等腰三角形有5个. 初中同步培优卷 6. (2025山东临沂莒南期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC =126°,∠B=42°,边AB的垂直平分线DE与AB交于点E,与BC交 于点D,连接AD.求证:△ACD是等腰三角形. 初中同步培优卷 证明　∵DE垂直平分AB, ∴DB=DA, ∴∠B=∠DAB, ∵∠B=42°, ∴∠B=∠DAB=42°, ∴∠ADC=∠B+∠DAB=84°, ∵∠BAC=126°, 初中同步培优卷 ∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=126°-42°=84°, ∴∠DAC=∠ADC, ∴CA=CD, ∴△ACD为等腰三角形. 初中同步培优卷 类型4 等腰三角形的性质和判定的综合应用 7. (2025山东泰安泰山期末,★★☆)如图,已知AB=AC,∠A=36°, AB的垂直平分线MD交AC于D,交AB于M,则以下结论:①△BCD是等腰三角形;②射线BD是△ACB的角平分线;③C△BCD= AC+BC;④△ADM≌△BCD.其中正确的结论是 (       ) A. ①②　　　　B. ①③　　　　C. ①②③　　　　D. ③④ B 初中同步培优卷 解析　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°, ∵MD是AB的垂直平分线,∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=36°, ∴∠C=∠CDB=72°, ∴△BCD是等腰三角形,∴①正确; 又∵∠ABC=72°,∠ABD=36°, ∴线段BD是△ACB的角平分线, ∵三角形的角平分线是线段,∴②错误; ∵AD=BD,∴C△BCD=BC+CD+BD=AC+BC,∴③正确; 初中同步培优卷 ∵MD是AB的垂直平分线,∴AM⊥MD, 而△BCD为锐角三角形,∴△ADM与△BCD不全等, ∴④错误. ∴正确的结论为①③. 初中同步培优卷 8. (2025山东泰安泰山期末,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB= AC,点D在BC的延长线上,∠ADB=∠BAC,BE⊥AD交AC于点F. (1)求证:AD=BD. (2)若∠CAD=12°,求∠BAC的度数. (3)若△BCF为等腰三角形,求∠BAC的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:在等腰△ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠ACB是△ACD的外角, ∴∠ACB=∠ADB+∠CAD, ∵∠ADB=∠BAC, ∴∠ACB=∠BAC+∠CAD=∠BAD, ∴∠ABC=∠BAD, ∴AD=BD. 初中同步培优卷 (2)设∠ADB=∠BAC=α, ∵∠CAD=12°, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=α+12°, 由(1)可知∠ABC=∠ACB=∠BAD, ∴∠ABC=∠ACB=α+12°, 在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°, ∴α+α+12°+α+12°=180°,解得α=52°, ∴∠BAC的度数是52°. 初中同步培优卷 (3)∵∠ABC=∠ACB,点F在AC边上, ∴∠FBC<∠ABC, ∴∠FBC<∠ACB. ∴当△BCF为等腰三角形时,有以下两种情况: ①当BC=FC,即∠CBF=∠CFB时, 设∠ADB=∠BAC=β, ∵BE⊥AD交AC于点F, ∴在Rt△BDE中,∠CBF=90°-∠ADB=90°-β, 初中同步培优卷 ∴∠CFB=∠CBF=90°-β, ∴∠AFE=∠CFB=90°-β, 在Rt△AEF中,∠CAD=90°-∠AFE,∴∠CAD=β, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2β, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=2β, 在△ABC中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∴2β+2β+β=180°,解得β=36°, ∴∠BAC=β=36°; 初中同步培优卷 ②当BC=BF,即∠BFC=∠ACB时, 由①可知∠CBF=90°-β, ∴∠BFC=∠ACB= (180°-∠CBF)=45°+ , ∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=45°+ , 在△ABC中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∴45°+ +45°+ +β=180°,解得β=45°, ∴∠BAC=β=45°. 综上所述,∠BAC的度数是36°或45°. 初中同步培优卷 $