专项素养巩固训练卷(五)三角形的内角与外角的常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

这是一份初中数学期末专项培优课件，聚焦三角形内角与外角常见模型，涵盖“A”字、“飞镖”、“8”字及双角平分线模型，通过例题、解析、模型解读及中考真题改编，构建系统学习支架。 资料以模型为核心整合知识，通过“飞镖模型”中∠BDC=∠A+∠B+∠C等结论推导，培养学生几何直观与推理能力，模型解读强化模型意识，助力用数学语言表达关系，帮助学生巩固应用提升解题效率，为教师期末复习提供优质资源。 初中学生尤其九年级面临升学考试，几何模型是中考重点内容，此资料帮助学生建立模型思维，提升逻辑推理与实际应用能力，教师可依托资料开展高效专项教学，针对性突破考点。

专项素养巩固训练卷(五) 三角形的内角与外角的常见模型 初中同步培优卷 类型1 “A”字模型 1. (★★★)如图①,直线l与△ABC的边AC,AB分别相交于点D, E(都不与点A重合). (1)若∠A=64°, (i)求∠1+∠2的度数. (ii)如图②,直线m与边AB,AC相交得到∠3和∠4,直接写出∠3 +∠4的度数. 初中同步培优卷 (2)如图③,EO,DO分别平分∠BED和∠CDE,写出∠EOD和 ∠A的数量关系,并说明理由. (3)如图④,在四边形BCDE中,点M,N分别是线段DC,BE上的 点,NG,MG分别平分∠BNM和∠CMN,直接写出∠MGN与∠E, ∠D的关系. 初中同步培优卷 解析    (1)(i)∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED, ∴∠1+∠2=∠A+∠ADE+∠AED+∠A, ∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∠A=64°, ∴∠1+∠2=∠A+180°=64°+180°=244°. (ii)∠3+∠4=∠1+∠2=244°. (2)∠EOD=90°- ∠A,理由如下: 由(1)可得∠BED+∠CDE=180°+∠A. ∵EO,DO分别平分∠BED和∠CDE, 初中同步培优卷 ∴∠OED= ∠BED,∠EDO= ∠CDE, ∴∠OED+∠EDO= (∠BED+∠CDE)= (180°+∠A)=90°+  ∠A, ∴∠EOD=180°-(∠OED+∠EDO)=180°- =90°-  ∠A. (3)∠E+∠D+2∠NGM=360°. 详解: 由(1)(ii)可得,∠BNM+∠CMN=∠D+∠E, 初中同步培优卷 ∵NG,MG分别平分∠BNM和∠CMN, ∴∠BNG=∠MNG= ∠BNM,∠CMG=∠NMG= ∠CMN, ∴∠MGN=180°-(∠MNG+∠NMG)=180°- (∠BNM+∠CMN)=180°- (∠D+∠E),∴2∠MGN+∠D+∠E=360°. 初中同步培优卷 模型解读 “A”字模型:如图,∠1+∠2=∠A+180°(结论). 初中同步培优卷 类型2 “飞镖”模型 2. (2025山东淄博博山六中期中,★★★)阅读并填空.将直角 三角尺MPN按如图所示方式放置(点P在△ABC内),如图①所 示,三角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C.我们来探究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系. (1)特例探索:若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB=_______度;∠ABP+ ∠ACP=_______度. (2)类比探索:求∠ABP,∠ACP,∠A间的数量关系,并说明理由. 初中同步培优卷 (3)变式探索:如图②所示,改变三角尺的位置,使点P在△ABC 外,三角尺的两边PM,PN仍恰好经过点B和点C,求∠ABP,∠ACP,∠A间的关系,并说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)∵∠A=50°, ∴∠ABC+∠ACB=130°, ∵∠P=90°,∴∠PBC+∠PCB=90°, ∴∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB-(∠PBC+∠PCB)=130°-90° =40°,故答案为90;40. (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 理由:∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,∠PBC +∠PCB=90°, 初中同步培优卷 ∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°, ∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°, ∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 理由:如图,设AB交PC于点O, 初中同步培优卷 ∵∠AOC=∠POB, ∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP, ∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 初中同步培优卷 模型解读 如图所示的图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖 模型,一般常用的结论有∠BDC=∠A+∠B+∠C. 初中同步培优卷 类型3 “8”字模型 3. (2025山东泰安新泰期中,★★★) (1)已知:如图①,试说明:∠A+∠B=∠C+∠D. (2)如图②,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B=36°,∠D= 16°,求∠P的度数(写出推理过程). (3)如图③,延长DC到点E,已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCE, 猜想∠P与∠B,∠D的数量关系并证明. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵∠A+∠B+∠AOB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠AOB, 同理可得,∠C+∠D=180°-∠COD, 又∵∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. (2)由(1)可得,∠BAP+∠B=∠BCP+∠P,∠DAP+∠P=∠PCD+ ∠D, ∴∠BAP-∠BCP=∠P-∠B,∠DAP-∠PCD=∠D-∠P. ∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD, 初中同步培优卷 ∴∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠DCP, ∴∠BAP-∠BCP=∠DAP-∠PCD,即∠P-∠B=∠D-∠P,∴∠P= .又∵∠B=36°,∠D=16°,∴∠P= =26°. (3)猜想:∠P=90°+ (∠B+∠D). 证明:∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCE, ∴∠PAB=∠PAD= ∠BAD,∠PCB=∠PCE= ∠BCE, 由(1)可得∠BAD+∠B=∠OCD+∠D, 初中同步培优卷 ∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D, ∴180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B, 由(1)可得∠P+∠PAD=∠PCD+∠D,∠BAD+∠B=∠BCD+∠D, ∴∠P+∠PAD-∠BAD-∠B=∠PCD-∠BCD, ∴∠P-∠PAB-∠B=∠PCB, ∴∠P-∠B=∠PAB+∠PCB, ∴180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B, 即∠P=90°+ (∠B+∠D). 初中同步培优卷 模型解读 如图所示,这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为 “8”字模型,一般常用的结论是∠A+∠D=∠B+∠C. 初中同步培优卷 4. (2025山东青岛市北期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC, ∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,若∠A=58°,则∠BFC的度 数为 (       ) A. 118°　　　　B. 119°　　　　C. 120°　　　　D. 121° B 类型4 双角平分线模型 初中同步培优卷 解析　∵BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠CBF= ∠ABC,∠BCF= ∠ACB, ∴∠CBF+∠BCF= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A), ∵∠A=58°,∴∠CBF+∠BCF= ×(180°-58°)=61°, ∴∠BFC=180°-(∠CBF+∠BCF)=119°. 初中同步培优卷 5. (2025山东济宁嘉祥马集中学月考,★★☆)如图,在△ABC 中,∠B=46°,三角形ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交 于点E,则∠AEC的度数为 (       )   A. 67°　　　　B. 40°　　　　C. 77°　　　　D. 57° A 初中同步培优卷 解析　∵∠B=46°,∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°, ∴∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°=226°, ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF, ∴∠EAC= ∠DAC,∠ECA= ∠FCA, ∴∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠FCA)= ×226°=113°, ∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°. 初中同步培优卷 6. 【新考向·动点探究题】(2025山东淄博沂源期中改编,★★★)如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C. (1)当A,B移动至∠BAO=45°时,求∠C的度数. (2)当A,B移动至∠BAO=60°时,求∠C的度数. (3)猜想:∠C的大小_______(填“会”或“不会”)随A,B的 移动而发生变化. 初中同步培优卷 解析    (1)根据三角形的外角性质可得∠ABN=∠AOB+∠BAO =90°+45°=135°, ∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, ∴∠ABE= ∠ABN=67.5°,∠BAC= ∠BAO=22.5°, ∴∠C=∠ABE-∠BAC=67.5°-22.5°=45°. (2)根据三角形的外角性质可得∠ABN=∠AOB+∠BAO=90° +60°=150°, ∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, 初中同步培优卷 ∴∠ABE= ∠ABN=75°,∠BAC= ∠BAO=30°, ∴∠C=∠ABE-∠BAC=75°-30°=45°. (3)不会. 详解:根据三角形的外角性质可得∠ABN=∠AOB+∠BAO, ∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, ∴∠ABE= ∠ABN,∠BAC= ∠BAO, ∴∠C=∠ABE-∠BAC= (∠AOB+∠BAO)- ∠BAO= ∠AOB, ∵∠AOB=90°,∴∠C=45°. 初中同步培优卷 模型解读 与三角形内外角平分线有关的常见模型如下表(表中的三个 图中均有∠1=∠2,∠3=∠4): 名称 图形 结论 两内角平 分线模型   ∠I=90°+ ∠A 两外角平 分线模型   ∠O=90°- ∠A 内外角平 分线模型   ∠P= ∠A 初中同步培优卷 $