专项素养巩固训练卷(三)平行线的判定和性质的应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

这是一份初中数学期末同步培优课件，共41页，聚焦平行线的判定和性质应用，分直接应用型、条件转化型等五类训练，含跨音乐五线谱题及生活实际应用题，提供详细解析与辅助线添加方法，搭建分层学习支架。 资料特色突出核心素养，通过折叠椅、盘山公路等生活实例及跨学科情境，培养学生几何直观与推理能力，解析注重逻辑推导，助力学生理解抽象概念，既帮助学生巩固知识提升解题能力，也为教师教学提供丰富实例与分层教学参考，适应初中生逻辑推理形成阶段的学习需求。

专项素养巩固训练卷(三) 平行线的判定和性质的应用 初中同步培优卷 类型1 直接应用型 1. (2025河北中考,★☆☆)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合 的连接方式.如图所示的是某个构件的截面图,其中AD∥BC, ∠ABC=70°,则∠BAD= (       ) A. 70°　　　    B. 100°　　　    C. 110°　　　    D. 130° C 初中同步培优卷 解析　∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°, ∵∠ABC=70°,∴∠BAD=110°. 初中同步培优卷 2. (2025江苏扬州中学期末,★☆☆)如图,在△ABO中,∠AOB= 22°,△ABO沿BO翻折到△A'BO的位置,然后将△A'BO沿OA'翻 折到△OA'B'的位置,且A'B'∥OA,则∠A=__________°.     44     初中同步培优卷 解析　由折叠的性质得∠AOB=∠A'OB=22°,∠A=∠OA'B= ∠OA'B', ∵A'B'∥OA,∴∠OA'B'=∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=22°+22°= 44°,∴∠A=∠OA'B'=44°. 初中同步培优卷 3. (2025山东淄博博山期末,★☆☆)如图,请你写出一个条件使得 l1∥l2(不再标注其他字母或数字),你写的条件是__ __________________. ∠1=∠2(答案不唯一)     初中同步培优卷 4. 【跨音乐·五线谱】(2024山东烟台栖霞期末,★☆☆)五线 谱是一种记谱法,通过在五根等距离的平行线上,标以不同时 值的音符及其他记号来记载音乐,如图,AB和CD是五线谱上 的两条线段,点E,F在AB,CD之间的一条线上,若∠1=120°,∠2 =30°,则∠BEC的度数是___________.     90°     初中同步培优卷 解析　∵AB∥EF∥CD, ∴∠1+∠BEF=180°,∠CEF=∠2=30°, ∵∠1=120°,∴∠BEF=60°, ∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=90°. 故答案为90°. 初中同步培优卷 类型2 条件转化型 5. (2025山东淄博周村期末,★★☆)如图,已知∠BAC=90°,DE ⊥AC于点H,∠ABD+∠CED=180°. (1)求证:BD∥EC. (2)连接BE,若∠BDE=30°,且∠DBE=∠ABE+50°,求∠CEB的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵DE⊥AC,∴∠AHE=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠AHE=90°,∴BA∥DE, ∴∠ABD+∠BDE=180°, ∵∠ABD+∠CED=180°,∴∠BDE=∠CED,∴BD∥EC. (2)如图, 初中同步培优卷 由(1)可得,∠ABD+∠BDE=180°, ∵∠BDE=30°,∴∠ABD=180°-∠BDE=180°-30°=150°, ∵∠DBE=∠ABE+50°, ∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=∠ABE+∠ABE+50°=2∠ABE+50° =150°,∴∠ABE=50°, ∴∠DBE=∠ABE+50°=50°+50°=100°, ∵BD∥EC,∴∠DBE+∠CEB=180°, ∴∠CEB=180°-∠DBE=180°-100°=80°. 初中同步培优卷 6. (2025山东青岛莱西期末,★★☆)如图,点B,C在线段AD的异 侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,已知∠AEG=∠AGE, ∠DCG=∠DGC. (1)求证:AB∥CD. (2)若∠AGE+∠AHF=180°,且∠BFC-30°=2∠C,求∠B的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵∠AGE=∠DGC,∠DCG=∠DGC,∠AEG= ∠AGE,∴∠AEG=∠DCG,∴AB∥CD. (2)∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°, ∴∠DGC+∠AHF=180°,∴BF∥EC, ∴∠BFC+∠C=180°, ∵∠BFC-30°=2∠C, ∴∠BFC=2∠C+30°, 初中同步培优卷 ∴2∠C+30°+∠C=180°, ∴∠C=50°,∴∠BFC=130°, ∵AB∥CD,∴∠B+∠BFC=180°, ∴∠B=50°. 初中同步培优卷 类型3 添加辅助线型 7. (2025山东淄博沂源期末,★★☆)如图所示的是我们生活中经常接触的小刀,由刀片和刀柄组成,已知∠A和∠B都是直角,EF∥GH,转动刀片时会形成∠1,∠2,∠1与∠2的度数和是一个定值吗?若是,请求出∠1与∠2的度数和;若不是,请说明理由. 初中同步培优卷 解析　∠1与∠2的度数和是一个定值,∠1+∠2=90°. 如图,过点B作BP∥EF,∴∠1=∠ABP. ∵EF∥GH,∴BP∥GH,∴∠2=∠PBH, ∵∠ABP+∠PBH=90°, ∴∠1+∠2=90°. 初中同步培优卷 8. (2025江苏苏州期末改编,★☆☆)如图,点A,B在直线MN上, AB∥CD,点E为AC上一点,连接BE. (1)若∠ACD=120°,∠ABE=40°,求∠BEC的度数. (2)若∠ACD=∠BEC,求证:∠AEB=∠BAC. 初中同步培优卷 解析    (1)如图,过点E作EH∥AB, ∵AB∥CD,AB∥EH, ∴∠BEH=∠ABE=40°,CD∥EH, ∴∠AEH=∠ACD=120°, ∴∠BEA=∠AEH-∠BEH=120°-40°=80°, 初中同步培优卷 ∴∠BEC=180°-∠BEA=100°. (2)证明:∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°, ∵∠BEC+∠AEB=180°,∠ACD=∠BEC, ∴∠AEB=∠BAC. 初中同步培优卷 类型4 生活实际应用型 9. (2025山东济南天桥期末,★★☆)如图①所示的是便携折叠 椅的实物图,图②是其抽象出的图形,若AB∥CD,∠ABE=125°, ∠ADC=50°,则∠COD的度数为 (       ) A. 70°　　　    B. 75°　　　    C. 60°　　　    D. 65° B 初中同步培优卷 解析　∵AB∥CD,∠ADC=50°,∴∠A=∠ADC=50°, ∵∠ABE=125°,∠ABE+∠ABO=180°,∴∠ABO=55°, ∵∠ABO+∠A+∠AOB=180°, ∴∠COD=∠AOB=180°-50°-55°=75°. 初中同步培优卷 10. (★★☆)综合与探究: 问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里,蜿蜒的 盘山公路连接了山里与外面的世界.数学活动课上,老师把一 段山路抽象成图①,并提出了一个问题: 如图①,AB∥CD,∠B=125°,∠C=25°,求∠BPC的度数. 小康的解法如下: 解:如图②,过点P作PQ∥AB. ∵AB∥CD,∴PQ∥CD(根据1). 初中同步培优卷 ∵AB∥PQ,∴∠B+∠BPQ=180°(根据2).…… (1)小康的解法中根据1是指____; 根据2是指____. (2)按照上面小康的解题思路,完成小康剩余的解题过程. (3)小明在图①的基础上,将图②变为图③,其中AB∥CD,∠B= 125°,∠PQC=65°,∠C=145°,求∠BPQ的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行;两直线平 行,同旁内角互补. (2)剩余的解题过程如下: ∵∠B=125°,∴∠BPQ=55°. ∵PQ∥CD,∴∠CPQ=∠C=25°. ∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=55°+25°=80°. (3)如图,过点P作PN∥AB,过点Q作QM∥AB. 初中同步培优卷   ∵AB∥CD,∴AB∥PN∥QM∥CD, ∴∠B+∠BPN=180°,∠NPQ=∠PQM,∠MQC+∠C=180°, ∵∠B=125°,∠C=145°, ∴∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°,∠CQM=180°-∠C= 180°-145°=35°, 初中同步培优卷 ∴∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°. ∴∠NPQ=∠PQM=30°, ∴∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°. 初中同步培优卷 类型5 综合推理型 11. (2025上海宝山同洲模范学校期末,★★★)已知AB∥CD, 点M为平面内的一点,∠AMD=90°. (1)当点M在如图①所示的位置时,求∠MAB与∠D的数量关系. 解:__________.(根据图①填射线MN的画法) 因为AB∥CD, 所以____________ (___________________). 所以∠D=∠NMD(两直线平行,内错角相等). 初中同步培优卷 请继续完成接下来的解题过程. (2)当点M在如图②所示的位置时,写出∠MAB与∠D的数量关 系,请说明理由. (3)在(2)的条件下,如图③,ME⊥AB,垂足为点E,∠EMA与∠EMD的平分线分别交射线EB于点F,G,回答下列问题(直接写 出答案). 图中与∠MAB相等的角是______,∠FMG=______度. 初中同步培优卷             初中同步培优卷 解析    (1)过点M作MN∥AB;MN∥CD;平行于同一条直线的两 直线平行. ∵MN∥AB,∴∠MAB+∠NMA=180°, ∴∠MAB+∠AMB+∠DMN=180°, ∵∠AMB=90°,∴∠MAB+∠DMN=90°, 即∠MAB+∠D=90°. (2)∠MAB-∠D=90°. 理由:如图,过点M作MN∥AB. 初中同步培优卷 则∠MAB+∠AMN=180°. ∵AB∥CD,∴MN∥CD,∴∠D=∠NMD. ∵∠AMD=90°,∴∠AMN=90°-∠NMD, ∴∠AMN=90°-∠D,∴90°-∠D+∠MAB=180°. ∴∠MAB-∠D=90°. (3)∠EMD;45. 初中同步培优卷 详解: ∵ME⊥AB,∴∠E=90°, ∴∠MAE+∠AME=90°, ∵∠MAB+∠MAE=180°, ∴∠MAB-∠AME=90°, 即∠MAB=90°+∠AME, ∵∠AMD=90°,∴∠MAB=∠AMD+∠AME=∠EMD. ∵MF平分∠EMA,∴∠FME=∠FMA= ∠EMA. 初中同步培优卷 ∵MG平分∠EMD,∴∠EMG=∠GMD= ∠EMD. ∵∠FMG=∠EMG-∠EMF, ∴∠FMG= ∠EMD- ∠EMA= (∠EMD-∠EMA). ∵∠EMD-∠EMA=90°,∴∠FMG=45°. 初中同步培优卷 12. (2025江苏宿迁沭阳期末,★★★)阅读材料并回答问题: 问题情境: (1)如图①,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数. 小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC 的度数. 按小明的思路,易求得∠APC的度数为_______度. 问题迁移: (2)如图②,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β. 初中同步培优卷 (i)当点P在线段BD上运动时(点P不与B,D重合),请直接写出 ∠APC与α,β之间的数量关系. (ii)如果点P在线段OB或射线DM上运动时(点P与点O不重合), 请直接写出∠APC与α,β之间的数量关系. 问题解决: (3)如图③所示的是北斗七星的位置图,将其抽象成如图④所 示的图形,其中北斗七星分别标为点A,B,C,D,E,F,G,将 点A,B,C,D,E,F,G,A顺次连接,天文小组发现若AF恰好经过点 初中同步培优卷 G,且AF∥DE,∠B=∠BCD+5°,∠D=95°,则∠B与∠CGF有什 么关系?请说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)110. 详解:∵PE∥AB,AB∥CD,∴AB∥PE∥CD, ∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°, ∠CPE=180°-∠PCD=180°-120°=60°, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°. (2)(i)如图1,过点P作HI∥AB, 初中同步培优卷 ∵AB∥CD,∴AB∥HI∥CD, ∴∠APH=α,∠CPH=β, ∴∠APC=∠APH+∠CPH=α+β. (ii)如图2,当点P在点B左侧时,过点P作HI∥AB, 初中同步培优卷 ∵AB∥CD,∴AB∥HI∥CD, ∴∠APH=α,∠CPH=β, ∴∠APC=∠CPH-∠APH=β-α; 如图3,当点P在点D右侧时,过点P作HI∥AB, 初中同步培优卷 ∵AB∥CD,∴AB∥HI∥CD, ∴∠APH=α,∠CPH=β, ∴∠APC=∠APH-∠CPH=α-β. 综上所述,∠APC=|α-β|. (3)如图4,过点C作MN∥AF,设∠MCG=x°, 初中同步培优卷 ∵AF∥DE, ∴AF∥MN∥DE, ∴∠CGF=∠MCG=x°,∠MCD=∠D=95°, ∴∠BCD=∠MCD+∠GCM=95°+x°,∵∠B=∠BCD+5°, ∴∠B=95°+x°+5°=100°+x°=100°+∠CGF, ∴∠B-∠CGF=100°. 初中同步培优卷 $