03 2025年山东省济宁市兖州区学业水平第一次模拟试题（改编卷）-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

23.解：(1)：点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3 (a>0)的图象上， ∴.4a+2b-3=-3,解得b=-2a。 ∴.二次函数的表达式为y=ax2-2ax-3。 ·二次函数的对称轴为直线x=-,24=1。 2a ∴.m=1。 (2)点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， ∴.a-2a-3=-4,解得a=1。 .二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4。 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的 二次函数为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1。 .·0≤x≤4，且a=1>0 ∴.当x=1时，函数有最小值，最小值为1；当x=4时，函 数有最大值，最大值为(4-1)2+1=10。 ∴.新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11。 (3)由(1)，得y=ax2-2ax-3。y=ax2-2ax-3的图 象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1<x2), 名+=2，·%=-3 a 八x2-x1=√（x1+x2)2-41x2, 名-名=√4 3 4+2=2入1+ a 4<x2-x1<6, .4<21+3<6,即2<1+3<3， a 解得3 <a<l。 32025年济宁市兖州区学业水平第一次模拟试题 答案速查 123456 789 10 1.C【解析】1-11=1,1-21=2。 1<2,∴.-1>-2。 .3℃>0℃>-1℃>-2℃。 .四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原。 2.C【解析】A不是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，不符合题意； C是轴对称图形，符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意。 3.A【解析】从正面看，可得选项A的图形。 4.C【解析】如图，标注∠1，∠2，∠3。 支持力F的方向与斜面垂直，摩 擦力F2的方向与斜面平行， .∠3=90°。 重力G的方向竖直向下， ∴.∠a+∠1=90°。 a .∠2=∠1=90°-25°=65°。 摩擦力F2的方向与斜面平行， .∴.∠B+∠2=180°。 .∠B=180°-∠2=180°-65°=115°。 5.D【解析】 选项 分析 正误 A x3+5x3=6x3 B x6÷x3=x (a2)3=a5 D (ab)3=a'b 善总结 知识归纳 幂的运算法则 （1)am·a”=am+"(m,n都是整数，a≠0)； (2)a"÷a=am-"(m,n都是整数，a≠0)； (3)(a")”=a(m,n都是整数，a≠0)； (4)(ab)"=a"b“(n是整数，a≠0，b≠0)。 6.A【解析】方程两边同乘x-2,得1=x-2。 解得x=3。 检验：当x=3时，x-2≠0， 所以原分式方程的解是x=3。 7.B【解析】，∠C=90°，∠B=40°， .∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°。 由作图知，AP平分∠BAC。 LBMD=分BMc=7x50:=250 .∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°. 8.B【解析】一组数据-10,0,11,17,17,31的平均数为 -10+0+山+17+17+31=11，中位数为11+17=14，众 6 数为17，极差为31-（-10)=41；若去掉数据11，则平均 数为-10+0+17+17+31=11，中位数为17，众数为17， 5 极差为31-(-10)=41。所以会发生变化的是中位数。 9.B【解析】设⊙0的半径为r。 .CE⊥OA,.∠OCE=90°。 :点C是0M的中点0C=30A=30B。 在RtA0CE中，：cos∠COE=0C=1 =0E=2, ∴∠C0E=60°。∴.∠BOE=∠A0B-∠C0E=30°。 .·ED⊥OB,∴.∠ODE=90°。 ∠COD=∠OCE=90°，∴.四边形OCED为矩形。 SAOCE SAODE ·阴影部分的面积=Same-30XmX 360 30×π×2 小点P落在阴影部分的概率=、形BE 360 1 S扇形A0B90XTXT2 =30 360 10.C【解析】：图中12个直角三角形都相似， ∴.360°÷12=30°，即直角三角形中较小的锐角为30°。 在Rt△0AB中，cos∠A0B=0A OB ∠A0B=30°，0B-2° OA 3 月里可咒9%9,29， 器--98隐-停-器 0F=2'0G=2,0G 64 又0A=-1…0G-。 11.(x-2y)2【解析】x2-4xy+4y2 =x2-4xy+(2y)2 =(x-2y)2。 12.>【解标1(0)=10，（号）= 499 :103484. o>。 善总结 解题步骤 二次根式比较大小的一般步骤 1.对二次根式平方（以求与√0最接近的整数为例， （√10)2=10)。 2.平方后所得数字与相比较数的平方比较大小。 13.1(答案不唯-)【解析】由题意可知，反比例函数y= 具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，则k>0 时满足条件，即k的值可以取1。 14分【解析】知国，连接DE。 .·EF垂直平分BD, ∴.BE=DE=10。 .AE=√DE2-AD2 =√100-64=6。 .AB=AE+BE=16。 tan∠ABD=AD-1 AB=2。 提素养 0识延伸 矩形内的十字模型 如图，在矩形ABCD中，AB≠AD,点E,F分别是BC,AB 上的点，连接AE,DF。 有如下结论： ①若AE⊥DF,则△ABE∽△DAF; ②若△ABE∽△DAF,则AE⊥DF。 常用辅助线： 15.-号【解析】y=a2+2ax-3a=a(x+3)(x-1), .当y=0时，x=-3或1。 设点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(1,0)， .∴.AB=1-（-3)=1+3=4。 该抛物线顶点的横坐标为3+1=-1， 2 纵坐标为y=a-2a-3a=-4a。 当x≥0时，y随x的增大而减小， .a<0。 P为抛物线上一，点，且横坐标为m,当-2≤m≤2时， △ABP面积的最大值为8， ∴.当x=2时，y=4a+4a-3a=5a。 .15al>1-4al, AB,15a=8,即4·（)50=8， 2 2 舒得a=号 16,解：11-31+(-分P+60-4 31+分-2 (2)(x+1)2-x(x+1) =x2+2x+1-x2-x =x+1。 当x=√3-1时，原式=√3-1+1=5。 17.解：“测角仪”方案：CD⊥BD,AB⊥BD, .四边形CDBF是矩形。 .CF=BD =10 m,BF CD=1.6 mo ∠ACF=32.5°， .∴.AF=CF·tan32.5°≈10×0.64=6.4(m)。 .∴.AB=AF+BF=6.4+1.6=8(m)。 答：树AB的高度为8m。 “平面镜”方案：CD⊥BD,AB⊥BD, ∴.∠CDE=∠ABE=90°。 ,·∠CED=∠AEB,∴.△CDE∽△ABE。 CD_DE.1.6_2 六ABBE0六AB=00六AB=8。 答：树AB的高度为8m。 18.解：(1)因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破 坏性，所以本次检测采用的是抽样调查。 (2)①②【解析】①由统计表可知，这20个充电宝的完 全充放电次数都不低于300次，故正确； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足 500≤t<600,故正确； ③这20个充电宝的完全充放电次数在300≤t<400中 只有2个，因此平均数一定大于400，故不正确。 5 (3)2000×20=500(个)。 答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上 的数量为500个。 19.证明：甲：如图，连接AE。 yB是BC的中点CB=之BC。 AD=2BCAD=CE。 AD∥BC,∴.四边形ADCE是平行四边形。 :AD=CD,∴四边形ADCE是菱形。 B 乙：如图，连接AC。 .·AE=CE=BE, .∴.∠EAC=∠ECA,∠EAB=∠B。 .∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B=180°， .2∠EAC+2∠EAB=180°。 .∠EAC+∠EAB=90°。.∠BAC=90°。 .△ABC是直角三角形。 20.解：(1)设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动 用品单价为y元。 根据题意，得 20x+25-150解得=20， 10x+20y=800。 y=30。 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品 单价为30元。 (2)设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳 动用品(40-a)件。 根据题意，得10≤a≤25。 设购买这40件劳动用品需要w元， 则w=20a+30(40-a)=-10a+1200。 -10<0,.w随a的增大而减小。 .当a=25时，w取最小值， 0最小值=-10×25+1200=950。 ∴.该校购买这40件劳动用品至少需要950元。 21.解：(1)如图，点A,B,C即为所求。 (2)6√5【解析】如图，设CM交AB于点E。 .AB=AC=BC, .∴.AB=AC=BC,∠AOB=120°。 AM=BM,.∠AOM=∠B0M=60°。 .OA=0B, 0E⊥AB,AE=BE=0A·Sin60°=2×号=√3(cm)g .AB=25cm。.△ABC的周长为6V3cm。 22.解：(1)36【解析】①根据小球飞行的水平距离x与 小球飞行的高度y的变化规律表可知，抛物线顶点坐标 为(4,8)， b [-2a =4, a=-2 -62 解得 =8, (b=4。 4a 二次函最解折式为)=之+4。 当y受，+4 解得x=3或x=5(舍去)。.m=3。 1 当x=6时，n=y=-2×6+4×6=6。 2+4， y=-21 ②联立，得 1 y=4x, 15 x=0或 x= 2 解得 y=0, 15 y=1 8 点4的坐标是（宁安。 (2)①8【解析】由(1)知，小球飞行的最大高度为8米。 ②y=-sf+w=-5-后r+易 则0=8，解得0=410（负值舍去）。 23解：(1)24兮手AB+4C=28·AC·oasa 【解析】如图1，AB=AC,AD平分∠BAC,∴.AD⊥BC。 在Rt△ABD中，AB=AD 123 c0s∠BAD=c0s30°=3， AC=AB=23 30 两腰之和为AB+AC=4 3。 两腰之积为AB·AC=25×25=4 3 3=3 3030 D B o 图1 图2 猜想：AB+AC=2AB·AC·cosa0 证明：如图2，：AB=AC,AD平分∠BAC,AD⊥BC。 在R△ABD中，AB=AD 1 =cos∠BADcos AB+AC=coAB·AC=1 cos2a .AB+AC=2AB·AC·cos &o (2)N3AB·AC=AB+AC。 证明：如图3，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F 过点C作CG⊥AB于点G, 30 B 图3 则DE=AD·sin∠BAD=1xsin30°= 2 .·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, :DF=DE=2 1 在Rt△ACG中，CG=AC·sin∠BAC=AC·sin60°= S△ABc=S△ABm+S△MCn, 2 .W3AB·AC=AB+AC。 (3)补全图形如图4所示，设∠A=a。 ·BD=AD,∴.∠ABD=∠A=ao ∴.∠BDC=∠ABD+∠A=2a。 BD=BC,∴.∠BCD=∠BDC=2ao .'AB=AC,.∠ABC=∠ACB=2a。 .'∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.a+2a+2a=180°，解得a=36°。 .∠A=∠ABD=∠CBD=36°。 图4 图5 如图5，过点E作EF⊥AB于点F,EH⊥BC于点H,过点 N作NG⊥AB于点G。 SABMN =SAREM+SABEN 2BM·NG=2BM·EF+2BN·Ea。 .∠ABD=∠CBD,EF⊥AB,EH⊥BC,∴.EF=EH。 ∴.BM·BN·sin72°=(BM+BN)·EH。 sin72°_BM+BN-1 EH =BM·BN-BM+BN BE =sin∠CBD=sin36°，.EH=BE·sin36°。 1 1 sin 72 六BM+BN-BE·sin36o BE为定长，sin36°和sin72°为定值， “胶”品36为定值，即+N为定值。 sin72° ④2025年菏泽市牡丹区学业水平第一次模拟试题 答案速查 12345678 9 10 C A B C D B C DC C 1.C【解析】根据实数比较大小的方法，可得 -2<-5<0<π， 在0，-2，-√5，π四个数中，最大的数是π。 2.A【解析】A是中心对称图形；B不是中心对称图形；C不 是中心对称图形：D不是中心对称图形。 3.B【解析】12万亿=12000000000000=1.2×10。 善总结 解题技巧 用科学记数法表示数的方法 一般形式：a×10”。 1.a值的确定：1≤1al<10。 2.n值的确定： ①当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的 整数位数减1； ②当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对 值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数 (含小数点前的零)。注意，若含有计数单位，则先把 计数单位转化为数字，再用科学记数法表示。 4.C【解析】观察图形可知，该几何体的俯视图是两个相交 的圆。 5.D【解析】 选项 分析 正误 A x与x2不是同类项，不能合并 B x3·x2=x C (x3)2=x6 + D x5÷x2=x 6.B 【解析】解不等式 2x-1<5得3， x<m+1, lx<m+1。 不等式组的解集为x<3,.m+1≥3。.m≥2。 7.C【解析】分别用A,B,C,D表示篮球、足球、排球、羽毛 球，画树状图如下： 开始 1032025年济宁市充州区学业水平第一次模拟试题 (时间：120分钟总分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1.以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是 () 北京 济南 太原 郑州 0℃ -1℃ -2℃ 3℃ A.北京 B.济南 C.太原 D.郑州 2.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 3.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件。燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯 台形，形似燕尾。如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是 a 正面 第3题图 第4题图 第7题图 4.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示。重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂 直，摩擦力F2的方向与斜面平行。若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角B的度 数为 A.155° B.125° C.115° D.65° 5.下列计算正确的是 A.x3+5x3=6x4 B.x6÷x3=x3 C.(a2)3=a7 D.(ab)3=a3b3 6分式方程，'2=1的解是 A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=-2 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交AC于 点F;再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BMC的内 部相交于点P,画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 A.60° B.65 C.70° D.75° 17- 8.一组数据-10,0,11,17,17,31，若去掉数据11，下列会发生变化的是 () A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C是OA的中点。过点C作CE⊥OA交AB于点E,过点E作ED1OB 于点D。在扇形内随机选取一点P,则点P落在阴影部分的概率是 A、1 B 1 D. 4 0.2 3 0 DB 第9题图 第10题图 10.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案。若OA=1,则OG= A.1255 D.323 64 B.J25 64 c 27 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：x2-4xy+4y2=。 12.我国古代数学家张衡将圆周率取值为，√10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为号。比较 大小：√10 (填>或“<”)。 13.某反比例函数y=本具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小。写出一个满足条件的k的值是 0 14.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB,CD于点E,F。若AD=8,BE=10,则 tan∠ABD= _0 E 15.已知二次函数y=ax2+2ax-3a(其中x是自变量)图象与x轴交于A,B两点，当x≥0时，y随x的增 大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m,当-2≤m≤2时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为 -18 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明和推理步骤） 16.(8分)(1)计算：1-31+(-2°+s60-4: (2)先化简，再求值：(x+1)2-x(x+1),其中x=√5-1。 17.（7分)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 D ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量E,B两点间的距离； ②测量D,B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方 实施过程 ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶 向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A; A的仰角∠ACF; ④测量E,D两点间的距离； ④测量C到地面的高度CD。 ⑤测量C到地面的高度CD。 ①BD=10m; ①BE=10m; 测量数据 ②LACF=32.5°； ②DE=2m; ③CD=1.6m。 ③CD=1.6m ①图上所有点均在同一平面内； ①图上所有点均在同一平面内； ②AB,CD均与地面垂直； 备注 ②AB,CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得 ③参考数据：tan32.5≈0.64。 ∠CED=∠AEB。 19 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度。 18.(7分)某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽 取了20个进行检测，数据整理如下： 完全充放电次数t 300≤t<400 400≤t<500 500≤t<600 t≥600 充电宝数量/个 2 3 10 5 (1)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用全面调查的理由； (2)根据上述信息，下列说法中正确的是 ;(写出所有正确说法的序号) ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t<600; ③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t<400。 (3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量。 -20— 19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD,∥BC,且AD=CD=BC,E是BC的中点。下面是甲、乙两名同 学得到的结论： 甲：若连接AE,则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC,则△ABC是直角三角形。 请选择一名同学的结论给予证明。 20.（10分)某校积极开展劳动教育，两次购买A,B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品/件 B型劳动用品/件 合计金额/元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求A,B两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买A,B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10 件且不多于25件。该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A,B两种型号劳动用品的 单价保持不变) 21- 21.（11分)马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅 细致，图案频繁多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古 代劳动人民的智慧。如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确 定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通。如图2，已知⊙O和圆上一点M。作法 如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙0于A,B两点；②延长M0交⊙0于点C,即点A,B,C 将⊙O的圆周三等分。 (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙0的圆周三等分；（保留作图痕迹，不 写作法) (2)根据(1)画出的图形，连接AB,AC,BC,若⊙0的半径为2cm,则△ABC的周长为 cmo M 彩陶纹样 三点定位法三等分圆周 图1 图2 -22 22.（12分)如图，一小球从斜坡点0以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx (a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=子刻画，小球飞行的水平距离x(单位：米)与小球飞行的高 度y(单位：米)的变化规律如表： 0 1 2 m 4 6 7 0 7 6 2 8 2 (1)①m= ,n= ②小球的落点是A,求点A的坐标； (2)小球飞行的高度y与飞行时间t(单位：秒)满足关系：y=-5t2+t。 ①小球飞行的最大高度为 米； ②求v的值。 y/米 O小球斜坡A 米 -23— 23.(12分)综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动。 【特例探究】 (1)如图1,2,3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积。 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 60° 2 4 4 图2 1 45 √2 22 图3 1 30° 请补全表格中数据，并完成以下猜想。 已知△ABC的角平分线AD=1,AB=AC,∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积 AB·AC之间的数量关系： 【变式思考】 (2)已知△ABC的角平分线AD=1,∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB·AC 之间的数量关系，并证明。 【拓展运用】 (3)如图4，在△ABC中，AB=AC=1,点D在边AC上，BD=BC=AD。以点C为圆心，CD长为半径作 弧与线段BD相交于点E,过点E作任意直线与边AB,BC分别交于M,N两点。请补全图形，并分析 +六的值是杏变化： A 6060 15 3030 D D 图1 图2 图3 图4 -24