第八章 证明 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了第八章的核心知识，涵盖定义与命题的辨析、平行线的性质与判定、角度计算及几何证明，通过基础概念题、综合应用题和跨情境探究题，构建了从概念理解到逻辑推理的知识网络，帮助学生建立知识点间的内在联系。 其亮点在于融合新课标核心素养，如“四梁八柱”传统文化题培养数学眼光的几何直观，光的反射跨学科题发展数学思维的推理能力，规律探究题提升数学语言的模型意识。题目分层设计（★☆☆到★★★）满足个性化复习需求，教师可通过典型题例精准把握学情，有效巩固学生知识并提升综合应用能力。

第八章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1. (★☆☆)下列语句属于定义的有 (         ) ①含有未知数的等式称为方程; ②等式(a+b)2=a2+2ab+b2; ③如果a,b为实数,那么(a-b)2=a2-2ab+b2; ④三角形的内角和等于180°. A. 1个　　　    B. 2个　　　    C. 3个　　　    D. 4个 A 初中同步培优卷 解析　只有①是定义. 初中同步培优卷 2. (2025山东日照岚山期中,★★☆)下列命题: (1)点到直线的距离是指这点到直线的垂线段; (2)两直线被第三条直线所截,同位角相等; (3)平移时,连接对应点的线段平行且相等; (4)在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直; (5)对顶角相等; (6)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中真命题的个数为 (         ) A. 1　　　    B. 2　　　    C. 3　　　    D. 4 A 初中同步培优卷 解析　只有(5)对顶角相等是真命题. 初中同步培优卷 3. (2024山东淄博中考,★☆☆)如图,已知AD∥BC,BD平分∠ABC.若∠A=110°,则∠D的度数是 (         )   A. 40°　　　    B. 36°　　　    C. 35°　　　    D. 30° C 初中同步培优卷 解析　∵AD∥BC, ∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°,∠D=∠DBC. ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC= ∠ABC= ×70°=35°,∴∠D=35°. 初中同步培优卷 4. 【学科特色·教材变式】(2025山东淄博十八中期中,★☆ ☆)如图,下列条件中,不能判定AB∥CD的是 (         )   A. ∠2=∠3　　　    B. ∠4=∠5 C. ∠1=∠5　　　    D. ∠4+∠ABC=180° C 初中同步培优卷 解析    A.∠2=∠3,根据内错角相等,两直线平行得AB∥CD; B.∠4=∠5,根据内错角相等,两直线平行得AB∥CD; C.∠1=∠5,根据同位角相等,两直线平行得AD∥BC,不能判定 AB∥CD; D.∠4+∠ABC=180°,根据同旁内角互补,两直线平行得AB∥CD. 故选C. 初中同步培优卷 5. (2025山东潍坊安丘月考,★☆☆)某学员在驾校练习驾驶汽 车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的 角度可能是     (         ) A. 第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B. 第一次向左拐45°,第二次向右拐135° C. 第一次向左拐60°,第二次向右拐120° D. 第一次向左拐53°,第二次向左拐127° D 初中同步培优卷 解析　如图,第一次向左拐,要使最后行驶方向与原来相反,则 第二次也要向左拐, ∵∠1+∠3=180°,∠2=∠3, ∴∠1+∠2=180°, 故选D. 初中同步培优卷 6. 【学科特色·多解法】(2025山东威海中考,★★☆)如图,直 线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A=30°.若∠1=18°,则∠2等于  (        )   A. 42°　　　    B. 38°　　　    C. 36°　　　    D. 30° A 初中同步培优卷 解析　【解法一】∵∠1=18°,∴∠ACF=90°+∠1=108°, ∵CF∥DE,∴∠ADE=∠ACF=108°, ∵∠ADE+∠2+∠A=180°,∠A=30°, ∴∠2=180°-30°-108°=42°. 【解法二】如图,过点B作BP∥DE, ∵CF∥DE,∴CF∥PB∥DE,∴∠1=∠CBP,∠3=∠EBP, ∴∠CBE=∠CBP+∠EBP=∠1+∠3, ∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴∠CBE=60°, 初中同步培优卷 ∵∠1=18°, ∴∠3=∠CBE-∠1=60°-18°=42°, ∴∠2=∠3=42°. 初中同步培优卷 7. 【新课标·中华优秀传统文化】(2025山东潍坊昌乐二中期中,★★☆)古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计,其中蕴含着数学知识,将房梁中的一些图形抽象成如图所示的示意图.在三角形ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,DF∥AC,∠C=∠EDF,则下列结论不一定正确的是 (         ) D A. DE∥BC　　　     B. ∠ADE=∠B C. ∠BFD=∠AED　　　D. ∠B+∠CED=180° 初中同步培优卷 解析　∵DF∥AC,∴∠C=∠DFB, ∵∠C=∠EDF,∴∠DFB=∠EDF, ∴DE∥BC,故选项A正确; ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠AED=∠BFD,故选项B,C正确; ∵DE∥BC,∴∠B+∠BDE=180°, ∵∠CED与∠BDE不一定相等, ∴∠B+∠CED不一定等于180°,故选项D结论不一定正确. 初中同步培优卷 8. 【跨物理·光的反射】(2025河北廊坊永清期末,★★☆)如图,在“光的反射”科学活动课中,嘉琪同学将支架平面镜固定放置在水平桌面MN上,镜面AB与桌面MN所成的角度(∠ABM)可调节,若激光笔与天花板(直线EF)的夹角∠EPC=30°,EF∥MN,激光笔发出的光束DC射到平面镜AB上,则当反射光束CH与天花板的夹角∠EHC=80°时(由平面镜的反射定律可知∠ACH=∠DCB),∠ABM的度数为 (         ) D A. 20°　　B. 25°　　C. 30°　　D. 35° 初中同步培优卷 解析　如图,过点C作CQ∥MN, ∵EF∥MN,∴CQ∥EF∥MN, ∴∠HCQ=∠EHC=80°,∠DCQ=∠EPC=30°, 初中同步培优卷 ∴∠HCP=80°-30°=50°, ∵∠ACH=∠DCB,∠ACH+∠HCP+∠DCB=180°, ∴∠ACH=∠DCB=65°, ∴∠BCQ=∠DCB-∠DCQ=65°-30°=35°, ∵CQ∥MN,∴∠ABM=∠BCQ=35°. 初中同步培优卷 9. (★★☆)某旅行团在一城市游览,有甲、乙、丙、丁四个景 点,导游说:“①要游览甲,就得去乙;②乙、丙只能去一个; ③丙、丁要么都去,要么都不去.”根据导游的说法,该旅行团可 能游览的景点是 (         ) A. 甲、丙　　　    B. 甲、丁　　　     C. 乙、丁　　　    D. 丙、丁 D 初中同步培优卷 解析    (1)假设要去甲,就得去乙,就不能去丙,也不能去丁,因 此该旅行团可能游览甲和乙;(2)假设要去丙,就得去丁,就不能 去乙,也不能去甲,因此该旅行团可能游览丙和丁.故选D. 初中同步培优卷 10. (2025山东德州禹城齐鲁中学月考,★★★)如图,AB∥CD,P为 AB上方一点,H,G分别为AB,CD上的点,∠PHB,∠PGD的平分线交于点E,∠PGC的平分线与EH的延长线交于点F,下列结论: ①EG⊥FG;②∠P+∠PHB=∠PGD;③∠P=2∠E;④若∠AHP- ∠PGC=∠F,则∠F=60°. 其中正确结论的个数为 (         ) D A. 1　　　    B. 2　　　    C. 3　　　    D. 4 初中同步培优卷 解析　∵GF平分∠PGC,GE平分∠PGD, ∴∠PGF= ∠PGC,∠PGE= ∠PGD, ∴∠EGF=∠PGF+∠PGE= (∠PGC+∠PGD)= ×180°=90°, 即EG⊥FG,故①正确; 如图,过点P作PM∥AB,∵AB∥CD,∴PM∥AB∥CD, ∴∠MPH=∠PHB,∠MPG=∠PGD, ∵∠MPH+∠HPG=∠MPG, ∴∠HPG+∠PHB=∠PGD,故②正确; 初中同步培优卷 如图,设PG交AB于点N,EG交AB于点Q,过点E作EK∥AB, ∵AB∥CD,∴EK∥AB∥CD, ∴∠KEH=∠EHB,∠KEG=∠EGD, ∵∠KEH+∠HEG=∠KEG, ∴∠EHB+∠HEG=∠EGD, ∵HE平分∠BHP,GE平分∠PGD, 初中同步培优卷 ∴∠PHB=2∠EHB,∠PGD=2∠EGD, ∵AB∥CD,∴∠PNB=∠PGD,∠EQB=∠EGD, ∴∠PNB=2∠EQB, 由②可知∠HPG+∠PHB=∠PGD,∴∠PNB=∠HPG+∠PHB, ∵∠EHB+∠HEG=∠EGD,即∠EQB=∠HEQ+∠EHB, ∴∠HPG=2∠HEQ,故③正确; ∵PM∥AB, ∴∠AHP+∠MPH=180°,∠ANP+∠NPM=180°, 初中同步培优卷 ∴∠AHP=∠PNA+∠HPN, ∵∠PNA=∠PGC,∠AHP-∠PGC=∠F, ∴∠HPN=∠F, ∵∠FGE=90°,∴∠HEQ+∠F=90°,∴∠HEQ+∠HPN=90°, ∵∠HPG=2∠HEQ, ∴3∠HEQ=90°,解得∠HEQ=30°, ∴∠F=∠HPG=60°,故④正确. 综上所述,正确结论有4个.故选D. 初中同步培优卷 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11. (2025广东惠州惠城期中,★☆☆)命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……,那么……”的形式为:如果 _________________________,那么_______________________. 这两条直线相互平行 两条直线垂直于同一条直线 初中同步培优卷 12. (2024广东广州中考,★☆☆)如图,直线l分别与直线a,b相 交,a∥b,若∠1=71°,则∠2的度数为____________.     109°     初中同步培优卷 解析　如图,∵∠1=71°,∴∠3=180°-71°=109°, ∵a∥b,∴∠2=∠3=109°. 初中同步培优卷 13. (2025福建福州长乐期末,★★☆)如图,直线AB∥CD,点E,F 在AB上,∠AEM的平分线EG交直线CD于点G,∠BFM的平分 线FH交直线CD于点H.若∠EGH=x°,∠FHG=y°,则∠M的度数 为_________________°.(用含x,y的代数式表示)     2x+2y-180     初中同步培优卷 解析　∵AB∥CD,∠EGH=x°,∠FHG=y°, ∴∠AEG=∠EGH=x°,∠BFH=∠FHG=y°, ∵EG平分∠AEM,FH平分∠BFM, ∴∠AEM=2x°,∠BFM=2y°, ∴∠FEM=180°-2x°,∠EFM=180°-2y°, ∴∠M=180°-∠FEM-∠EFM=180°-(180°-2x°)-(180°-2y°)=(2x+2y-180)°. 初中同步培优卷 14. 【新考向·代数推理】(2025广东深圳三模,★★★)某次考 试满分是100分,A,B,C,D,E五人参加了这次考试,只知道他们 五人的成绩各不相同.他们的对话如下. A:“我考了第一名.”B:“我考了91分.”C:“我的分数是B 和D的平均分.”D:“我的分数恰好是五人的平均分.”E: “我比C多得3分.” 如果五人说的都是真话,且分数都是整数,那么A的分数是_____ _分. 100 初中同步培优卷 解析　用每人的字母表示其得分,例如:B考了91分,表示为B=91. ∵D的分数恰好是五个人的平均分,∴D的分数不是最少的, ∵C的分数是B和D的平均分,∴C的分数也不是最少的, ∵E比C多得3分,∴E的分数也不是最少的,又∵A考了第一名, ∴B的分数最少, ∵C的分数是B和D的平均分,五人的分数均为整数,且B考了9 1分,是奇数, ∴D的分数也是奇数,只能是93,95,97,99中的一个, 初中同步培优卷 若D=93,则C=(91+93)÷2=92,E=92+3=95,A=93×5-91-92-93-95 =94<95,不符合题意; 若D=95,则C=(91+95)÷2=93,E=93+3=96,A=95×5-91-93-95-96 =100,符合题意; 若D=97,则C=(91+97)÷2=94,E=94+3=97,不符合题意; 若D=99,则C=(91+99)÷2=95,E=95+3=98,A=99×5-91-95-98-99 =112>100,不符合题意. ∴A=100. 初中同步培优卷 15. 【新考向·规律探究题】(2025山东淄博张店九中期中,★ ★★)如图,已知AB∥CD,CE,BE的交点为E,现进行如下操作: 第一次操作,分别作∠ABE和∠DCE的平分线,交点为E1,第二 次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,第三次操 作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,……,第n次操 作,分别作∠AB 和∠DC 的平分线,交点为En.若∠En=1°, 那∠BEC等于____________°.     (2n)     初中同步培优卷 解析　如图1,过点E作EF∥AB, ∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∵∠BEC=∠1+∠2,∴∠BEC=∠ABE+∠DCE; 如图2,∵∠ABE和∠DCE的平分线交于点E1, ∴∠E1=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC, ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交于点E2, ∴∠E2=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC; 初中同步培优卷 ∵∠ABE2和∠DCE2的平分线交于点E3, ∴∠E3=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC; …… 依次类推,∠En= ∠BEC. ∴当∠En=1°时,∠BEC等于(2n)°. 初中同步培优卷 三、解答题(共7小题,共75分) 16. (2025山东淄博桓台期中,★☆☆)(8分)如图,已知∠1=∠C, ∠B=∠C,请写出所有的平行线,并说明理由. 初中同步培优卷 解析    AB∥CD(或CF),CE∥BD.理由如下: ∵∠1=∠C,∠B=∠C, ∴AB∥CD(或CF),∠B=∠1,∴CE∥BD. 初中同步培优卷 17. (2025山东济南历下期中,★☆☆)(8分)如图,在△ABC中, DE∥BC,BD⊥AC,∠1=∠2,试判断FG与AC的位置关系,并说 明理由. 初中同步培优卷 解析    FG⊥AC.理由如下: ∵DE∥BC,∴∠1=∠DBC, ∵∠1=∠2,∴∠DBC=∠2,∴BD∥FG, ∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°, ∴∠FGC=∠BDC=90°, ∴FG⊥AC. 初中同步培优卷 18. 【学科特色·教材变式】(★★☆)(10分)观察下列各式: 第1个等式:1×5+4=32; 第2个等式:3×7+4=52; 第3个等式:5×9+4=72; …… 探索以上式子的规律: (1)试写出第6个等式. (2)试写出第n个等式(用含n的式子表示),并用你所学的知识 证明第n个等式成立. 初中同步培优卷 解析    (1)第6个等式:11×15+4=132. (2)第n个等式:(2n-1)(2n+3)+4=(2n+1)2. 证明:(2n-1)(2n+3)+4=4n2+6n-2n-3+4=4n2+4n+1=(2n+1)2,∴(2n -1)(2n+3)+4=(2n+1)2成立. 初中同步培优卷 19. (2025江苏徐州睢宁期中,★★☆)(10分)如图,从①∠1=∠2, ②∠C=∠D,③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件, 另一个作为结论可以组成3个命题. (1)这三个命题中,真命题的个数为_______. (2)选择一个真命题,并且证明.(要求写出每一步的依据) 如图,已知____________. 求证:_____________. 证明: 初中同步培优卷 解析    (1)3. (2)(答案不唯一)已知∠1=∠2,∠C=∠D.求证:∠A=∠F. 证明:如图,∵∠1=∠2,∠1=∠3(已知), ∴∠3=∠2(等量代换), ∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行), ∴∠D=∠4(两直线平行,同位角相等), ∵∠C=∠D(已知), ∴∠4=∠C(等量代换), 初中同步培优卷 ∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行), ∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等). 初中同步培优卷 20. (2025山东聊城阳谷期末,★★☆)(12分)如图,已知AC∥ FE,∠1+∠2=180°. (1)求证:∠FAB=∠BDC. (2)若AC平分∠FAD,EF⊥BE于点E,∠FAD=80°,求∠BCD的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)证明:∵AC∥EF,∴∠1+∠FAC=180°, 又∵∠1+∠2=180°, ∴∠FAC=∠2, ∴FA∥CD, ∴∠FAB=∠BDC. (2)∵AC平分∠FAD, ∴∠FAC=∠CAD,∠FAD=2∠FAC, 由(1)知∠FAC=∠2,∴∠FAD=2∠2,即∠2= ∠FAD, 初中同步培优卷 ∵∠FAD=80°, ∴∠2= ×80°=40°, ∵EF⊥BE,AC∥EF, ∴AC⊥BE, ∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠2=50°. 初中同步培优卷 21. (2025上海杨浦期中,★★☆)(12分)如图,在△ABC中,∠B= ∠C,点D在BC上,点E在AC上,且∠ADE=∠AED,∠BAC=80°. (1)如果AD平分∠BAC,求∠EDC的大小. (2)如果∠EDC与∠BAD互余,求∠CAD的大小. 初中同步培优卷 解析    (1)∵∠BAC=80°, ∴∠B=∠C= ×(180°-80°)=50°,∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=40°, ∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=90°. ∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°,∠ADE=∠AED, ∴∠ADE=∠AED= ×(180°-40°)=70°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=70°-50°=20°. 初中同步培优卷 (2)设∠EDC=x,则∠BAD=90°-x, ∵∠AED=180°-∠DEC=180°-(180°-∠EDC-∠C)=∠EDC+ ∠C=x+50°, ∴∠ADE=∠AED=x+50°, ∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°, ∴∠CAD=180°-2(x+50°)=80°-2x, ∵∠BAD+∠CAD=∠BAC, ∴90°-x+80°-2x=80°,解得x=30°, ∴∠CAD=80°-2×30°=20°. 初中同步培优卷 22. (2025山东济南期中,★★★)(15分)直线AB∥CD,直线EF 与AB,CD分别交于点G,H,∠EHD=α(0°<α<90°),小明将一块含 30°角的直角三角尺PMN按如图①所示的方式放置,使点N,M 分别在直线AB,CD上,∠P=90°,∠PMN=60°. (1)猜想∠PNB,∠PMD,∠MPN之间的数量关系,并说明理由. (2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O. (i)如图②,当NO∥EF,PM∥EF时,求α的度数. 初中同步培优卷 (ii)小明将三角尺PMN沿直线AB左右移动,保持PM∥EF,请直 接写出∠MON的度数.(用含α的式子表示) 初中同步培优卷 解析    (1)∠PNB+∠PMD=∠MPN.理由如下: 如图1,过点P作PQ∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥PQ∥CD, ∴∠PNB=∠NPQ,∠PMD=∠QPM, ∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN. 初中同步培优卷 (2)(i)∵NO∥EF,PM∥EF,∠EHD=α, ∴NO∥PM,∠NOM=∠EHD=α,∴∠ONM=∠PMN=60°, ∵NO平分∠MNG, ∴∠ANO=∠ONM=60°, ∵AB∥CD,∴∠NOM=∠ANO=60°, ∴α=∠NOM=60°. (ii)∵将三角尺PMN沿直线AB左右移动, ∴有以下两种情况:第1种:如图2,当点N在点G的右侧时, 初中同步培优卷   ∵PM∥EF,∠EHD=α, ∴∠PMD=∠EHD=α, ∵AB∥CD,∠PMN=60°, ∴∠MNG=∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α, ∵NO平分∠MNG, 初中同步培优卷 ∴∠GNO= ∠MNG=30°+ α, ∵AB∥CD, ∴∠MON=∠GNO=30°+ α; 第2种:如图3,当点N在点G的左侧时, ∵PM∥EF,∠EHD=α, 初中同步培优卷 ∴∠PMD=∠EHD=α,又∠PMN=60°, ∴∠NMD=∠PMN+∠PMD=60°+α, ∵AB∥CD,∴∠MNG+∠NMD=180°,∠GNO=∠MON, ∴∠MNG=180°-∠NMD=180°-(60°+α)=120°-α, ∵NO平分∠MNG,∴∠GNO= ∠MNG=60°- α, ∴∠MON=∠GNO=60°- α. 综上所述,∠MON的度数为30°+ α或60°- α. 初中同步培优卷 $