第七章 二元一次方程组 素养提优测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法（代入消元、加减消元）、与函数图像的关系及实际应用，通过知识框架图将方程定义、解法步骤、图像交点等核心内容串联，帮助学生构建完整的方程组知识体系。 其亮点在于设计新定义题（如共轭方程组）、开放性试题（自编二元一次方程）和项目探究题（购票方案设计），培养学生的抽象能力、推理意识和模型意识。分层练习（★☆☆到★★★）满足不同水平学生，教师可借此精准把握学情，提升复习效率。

第七章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1. (2025上海浦东新区期末,★☆☆)我们在解二元一次方程组  时,可将x=2y代入2x+y=10中消去x,从而求解,这种 解法体现的数学思想是 (         ) A. 分类讨论　　　    B. 转化 C. 数形结合　　　    D. 公理化 B 初中同步培优卷 2. (2025浙江金华永康初中联盟期中,★☆☆)如果3 +5  =0是关于x,y的二元一次方程,那么 (         ) A.  　 B.  　 C.  　　D. C 解析　因为3xm+1+5yn-2=0是关于x,y的二元一次方程, 所以 解得 故选C. 初中同步培优卷 3. (2025重庆万州中学教育集团期中,★☆☆)用加减消元法解方程组 时,若要消去y,则下列做法正确的为 (        ) A. ①×2-②　　　    B. ①×3+②×2 C. ①×2+②　　　    D. ①×3-②×2 C 解析　由①×2+②可消去y,故选C. 初中同步培优卷 4. (2025山东淄博临淄期中,★☆☆)已知方程组  的解为 则函数y=3x-3与y=- x+3的图象的交点坐标是  (         ) A. 　　　    B. (3,1)　　　    C. (1,2)　　　    D. (2,3) A 初中同步培优卷 解析　方程-3x+y+3=0可变形为y=3x-3, 方程3x+2y-6=0可变形为y=- x+3, 因为方程组 的解是  所以函数y=3x-3与y=- x+3的图象的交点坐标是 ,故选A. 初中同步培优卷 5. (2025山东烟台招远期中,★☆☆)若 是方程组  的解,则3a-5b的值为 (         ) A. -1　　　    B. 3　　　    C. 7　　　    D. 10 C 解析　将 代入 得  解得 则3a-5b=3×4-5×1=12-5=7,故选C. 初中同步培优卷 6. 【学科特色·教材变式】(2025江苏南京秦淮期末,★★☆) 下列二元一次方程:①x-y=-1;②2x+y=0;③x+2y=-3;④3x+2y=1. 选择其中两个组成二元一次方程组,若 是该方程组的 解,则选择的两个方程是 (         ) A. ①③　　　    B. ②④　　　    C. ②③　　　    D. ①④ B 初中同步培优卷 解析　把 代入①,左边=-3,右边=-1, 因为左边≠右边,所以 不是方程①的解; 把 代入②,左边=0,右边=0, 因为左边=右边,所以 是方程②的解; 把 代入③,左边=3,右边=-3, 初中同步培优卷 因为左边≠右边,所以 不是方程③的解; 把 代入④,左边=1,右边=1, 因为左边=右边,所以 是方程④的解. 所以选择的两个方程是②④,故选B. 初中同步培优卷 7. 【新考向·新定义题】(★★☆)规定:关于x,y的方程x+ky=b 与kx+y=b叫作共轭二元一次方程,其中k≠1;由这两个方程组 成的方程组 叫作共轭方程组.若关于x,y的方程组  为共轭方程组,则 (         ) A.  　B.  　C.  　　 D. A 初中同步培优卷 解析　由题意可得 解得 故选A. 初中同步培优卷 8. (2025山东菏泽曹县期末,★★☆)如图,依次输入数x,y,经过 “数值转换机:(x-2y)2-(2y+1)(2y-1)-x(x-4y+2)+y”后会输出新 数.若依次输入数a,b,则输出的新数是0;若依次输入数b,a,则输 出的新数是-3.则a,b的值分别为 (         ) 依次输入数x,y   输出新数 A. 2,1　　　    B. 1,2　　　    C. 2,3　　　    D. 3,  C 初中同步培优卷 解析    (x-2y)2-(2y+1)(2y-1)-x(x-4y+2)+y =x2-4xy+4y2-4y2+1-x2+4xy-2x+y=-2x+y+1, 由题意可得 解得 故选C. 初中同步培优卷 9. (2025山东东营广饶期末,★★☆)甲、乙两人沿同一公路从 A地出发到B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,从A地到B地的路程为 120千米.若图中CD,OE分别为表示甲、乙离开A地的路程s(千 米)和时间t(小时)的函数关系的图象,则下列结论中,错误的是  (         ) A 初中同步培优卷 A. 甲的速度为60千米/小时 B. 乙从A地到B地用了3小时 C. 甲比乙晚出发0.5小时 D. 甲到达B地时,乙离A地的距离为80千米 初中同步培优卷 解析　设甲离开A地的路程s(千米)和时间t(小时)的函数解析 式为s=kt+b(k≠0),由题意可得 解得  所以s=80t-40, 把s=0代入解析式中,可得0=80t-40,解得t=0.5, 所以甲的速度为120÷(2-0.5)=80(千米/小时),故A结论错误;由 图象可得乙的速度为40÷1=40(千米/小时),所以乙从A地到B 地所用的时间为120÷40=3(小时),故B结论正确;甲比乙晚出发 初中同步培优卷 0.5小时,故C结论正确;甲到达B地时,乙离A地的距离为2×40= 80(千米),故D结论正确. 初中同步培优卷 10. 【新考向·新定义题】(2025山东淄博张店期中,★★★)对 x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=axy+bx-4(其中a,b均为非零 常数),这个等式的右边是通常的四则运算.例如:T(0,1)=a×0×1 +b×0-4=-4,若T(3,1)=11,T(-1,3)=-13,则下列结论正确的有  (         ) ①a=2,b=3;②若T(m,n)=0 ,则m= ;③若无论k取何 值时,T(kx,y)的值均不变,则y= ;④若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有 理数x,y都成立,则k=0. B 初中同步培优卷 A. 4个　　　    B. 3个　　　    C. 2个　　　    D. 1个 初中同步培优卷 解析　由题意可得 解得 故①正确; 因为a=2,b=3,所以T(x,y)=2xy+3x-4, 因为T(m,n)=0,所以2mn+3m-4=0,所以(2n+3)m=4, 因为n≠- ,所以m= ,故②正确; T(kx,y)=2kxy+3kx-4=kx(2y+3)-4, 因为无论k取何值时,T(kx,y)的值均不变,所以x=0或2y+3=0,即x =0或y=- ,故③错误; 初中同步培优卷 当T(kx,y)=T(ky,x)时,2kxy+3kx-4=2kxy+3ky-4, 所以2kxy+3kx-2kxy-3ky=0,所以3kx-3ky=0,即3k(x-y)=0, 因为T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x,y都成立, 所以k=0,故④正确. 综上,正确的有3个. 初中同步培优卷 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11. 【新考向·开放性试题】(★☆☆)请写出一个关于x,y的二 元一次方程,使其满足x的系数是大于2的整数,y的系数是小于 -1的整数,且 是这个二元一次方程的解.这个方程可以是 _______________________. 3x-2y=-3(答案不唯一)  初中同步培优卷 解析　根据x的系数是大于2的整数,y的系数是小于-1的整数, 先分别给x,y的系数一个符合条件的值,再用x的系数乘1,y的系 数乘3,求出其和,和放在等号右边即可得到一个符合题意的二 元一次方程. 初中同步培优卷 12. (2025山东枣庄十五中月考,★★☆)若方程组  的解是 则关于x,y的二元一次方程组  的解是_________. 初中同步培优卷 解析　因为方程组 的解是  所以方程组 的解是 解得   初中同步培优卷 13. 【学科特色·多解法】(2025山东青岛李沧期末,★★☆)若 关于x,y的二元一次方程组 无解,则a的值是_____. 2 初中同步培优卷 解析　【解法一】因为关于x,y的二元一次方程组  无解,所以直线y=2x-1与直线y=ax+2平行,所以a=2. 【解法二】 ①-②,得(2-a)x-3=0,所以(2-a)x=3,因 为关于x,y的二元一次方程组 无解,所以2-a=0,所以a =2. 初中同步培优卷 14. (★★☆)有若干张如图①所示的拼图卡,用3张这样的拼图 卡按如图②所示的方式无缝隙地拼接在一起,拼成的图案总 长为10 cm;如图③,用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接,拼 成的图案总长为25 cm.若用x张这样的拼图卡按同样的方式 拼接,拼成的图案总长为y cm,则y与x(x为正整数)之间的函数 关系式为______________.     y=3x+1     初中同步培优卷 解析　设一张拼图卡的长度为m cm,右侧凸出部分的长度为n cm,则 解得  ∴y与x之间的函数关系式为y=mx-n(x-1)=4x-(x-1)=3x+1,即y= 3x+1. 初中同步培优卷 15. (2025山东烟台栖霞期中,★★☆)用几个大小、形状完全 相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图 案.如果点A的坐标为(-2,5),那么点B的坐标为______________.     (-6,4)     初中同步培优卷 解析　设每个长方形纸片的宽为x,长为y, 由题意得 解得  所以点B的横坐标为-2y=-2×3=-6,纵坐标为x+y=1+3=4,即点B 的坐标为(-6,4). 初中同步培优卷 三、解答题(共7小题,共75分) 16. (2025上海宝山实验学校期末,★☆☆)(8分)解方程组: (1) 　　    (2)  初中同步培优卷 解析    (1) ①×2,得4x+6y=6③, ③-②,得7y=-21,解得y=-3, 把y=-3代入②,得4x+3=27,解得x=6, 所以原方程组的解为  (2) ①+②,得2z=0,解得z=0, ③-②,得-2y=6,解得y=-3, 初中同步培优卷 把z=0,y=-3代入①,得x+3+0=2,解得x=-1, 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 17. (2025贵州铜仁碧江期末,★★☆)(10分)甲、乙两人同解 方程组 时,甲看错了方程①中的a,解得 乙 看错了方程②中的b,解得  (1)求正确的a,b的值. (2)求原方程组的正确解. 初中同步培优卷 解析    (1)因为甲看错了方程①中的a,解得  所以 是方程5x=by+10的解, 所以15=b+10,解得b=5, 因为乙看错了方程②中的b,解得  所以 是方程ax-4y=-6的解, 所以-a-8=-6,解得a=-2,所以a=-2,b=5. 初中同步培优卷 (2)将a=-2,b=5代入原方程组,得  整理得 ③-④,得3y=1,解得y= , 将y= 代入④,得x- =2,解得x= , 所以原方程组的正确解为  初中同步培优卷 18. (★★☆)(10分)某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采 取按月用水量分段收费的办法,某户居民应缴水费y(元)与用 水量x(吨)的函数关系如图所示. (1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式. (2)若该户居民5月应缴水费42元,则5月用水多少吨? 初中同步培优卷 解析    (1)当0≤x≤15时,函数图象过点(0,0),(15,27),设y与x的 函数解析式为y=kx(k≠0), ∴27=15k,∴k= ,∴y= x(0≤x≤15). 当x>15时,函数图象过点B(20,39.5), 设y与x的函数解析式为y=k1x+b, 易知(15,27)也满足此函数关系式, 则 解得  初中同步培优卷 ∴y=2.5x-10.5(x>15). (2)∵42>27,∴x>15,则42=2.5x-10.5,解得x=21, 故5月用水21吨. 初中同步培优卷 19. (2025重庆渝北松树桥中学期中,★★☆)(10分)若关于x,y 的方程组 与方程组 的解相同. (1)求这两个方程组的相同解. (2)求(3a-b)2 025的值. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得 解得  故两个方程组的相同解为  (2)把 代入 得 解得  所以(3a-b)2 025=[3×(-2)-(-5)]2 025=(-6+5)2 025=-1. 初中同步培优卷 20. 【新课标·应用意识】(2025山东烟台蓬莱期中,★★☆)(10 分)某超市为了满足广大航天爱好者的需求,计划购进甲、乙 两种载人航天飞船模型进行销售.据了解,2件甲种载人航天飞 船模型和5件乙种载人航天飞船模型的进价共190元;6件甲种 载人航天飞船模型和7件乙种载人航天飞船模型的进价共330 元,甲、乙两种载人航天飞船模型每件的售价分别为40元、 45元. 初中同步培优卷 (1)求甲、乙两种载人航天飞船模型每件的进价. (2)该超市老板准备购进甲、乙两种载人航天飞船模型共100 件,进货时,发现甲种载人航天飞船模型只有40件,乙种载人航 天飞船模型满足供应,请你帮老板设计进货方案使模型全部 售完后获取的利润最大,最大利润是多少? 初中同步培优卷 解析    (1)设每件甲种载人航天飞船模型的进价是x元,每件乙 种载人航天飞船模型的进价是y元, 根据题意得 解得  答:每件甲种载人航天飞船模型的进价是20元,每件乙种载人 航天飞船模型的进价是30元. (2)设购进m件甲种载人航天飞船模型,则购进(100-m)件乙种 载人航天飞船模型,设全部售完后获得的总利润为w元, 根据题意得w=(40-20)m+(45-30)(100-m), 初中同步培优卷 即w=5m+1 500, 因为5>0,所以w随m的增大而增大, 又因为m≤40, 所以当m=40时,w取得最大值,最大值为5×40+1 500=1 700,此 时100-m=100-40=60. 答:当购进40件甲种载人航天飞船模型,60件乙种载人航天飞 船模型时,全部售完后,获取的利润最大,最大利润是1 700元. 初中同步培优卷 21. (2025山东泰安宁阳期中,★★☆)(12分)如图,直线l1:y=2x+1与 直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),且l1,l2与x轴分别交于点A,B. (1)求直线l2的表达式,并结合图象直接写出关于x,y的方程组  的解. (2)求△ABP的面积. (3)若垂直于x轴的直线x=a(a>1)与直线l1,l2分别交于点C,D,线 段CD的长为2,求a的值. 初中同步培优卷 解析    (1)把P(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3, 所以P(1,3),所以方程组 的解为  把点P的坐标代入y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1, 所以直线l2的表达式为y=-x+4. (2)当y=2x+1=0时,x=- ,所以A , 当y=-x+4=0时,x=4,所以B(4,0), 所以AB=4- = , 初中同步培优卷 所以S△ABP= × ×3= . (3)根据题意得直线x=a(a>1)与直线l1的交点C的坐标为(a,2a+ 1),与直线l2的交点D的坐标为(a,-a+4). 因为CD=2,所以2a+1-(-a+4)=2, 所以3a-3=2,所以a= . 初中同步培优卷 22. 【新考向·项目探究题】(2025山东德州乐陵期末,★★★) (15分)根据以下素材,完成任务. 购买方案的设计 素材1 某校30位同学计划利用周末时间去观看某比赛,门票分为A,B,C三个档次,购买1张A档门票和3张B档门票需要820元;购买2张A档门票和1张B档门票需要740元;购买一张C档门票需要80元 素材2 购票平台有优惠活动,每购买1张A档门票就赠送1张C档门票 初中同步培优卷 问题解决 任务1 求A档和B档门票的价格 任务2 初步统计,有8人购买A档门票,12人购买B档门票,其余同学购买C档门票,请计算总票价为多少元 任务3 最终购买门票一共花了3 600元,且C档门票数多于A档门票数.请你求出所有符合条件的购买方案,并写出解答过程 初中同步培优卷 解析　任务1:设一张A档门票x元,一张B档门票y元. 由题意得 解得  答:一张A档门票280元,一张B档门票180元. 任务2:8×280+12×180+(30-8-12-8)×80=4 560(元). 答:总票价为4 560元. 任务3:设购买A档门票的有a人,购买B档门票的有b人,则购买 C档门票的有(30-2a-b)人, 初中同步培优卷 由题意得280a+180b+80(30-2a-b)=3 600, 化简得6a+5b=60,所以a=10- b, 因为a,b均为非负整数, 所以该方程的整数解为    所以购买C档门票的人数为10或14或18, 均满足C档门票数多于A档门票数, 所以有如下三种购买方案: 初中同步培优卷 方案1:购买A档门票10张,B档门票0张,C档门票10张; 方案2:购买A档门票5张,B档门票6张,C档门票14张; 方案3:购买A档门票0张,B档门票12张,C档门票18张. 初中同步培优卷 $