专项突破5 三角形全等的常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形全等的常见模型，涵盖手拉手、一线三等角、半角模型，通过典型例题（如2025山东淄博月考真题）导入，搭建从全等判定基础到模型应用的学习支架，帮助学生衔接知识点脉络。 其亮点在于以具体模型为载体，通过严谨的推理证明（如手拉手模型用SAS证全等）和分类讨论（如半角模型中E、F位置变化），培养学生的几何直观、推理能力与模型意识。学生能提升全等应用与问题解决能力，教师可借助系统例题解析优化教学效率。

专项突破5　三角形全等的常见模型 初中数学培优课堂  　手拉手模型 1.(2025山东淄博张店七中月考)已知:如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一直线 上,连接BD,试猜想BD与CE之间的关系,并证明.   初中数学培优课堂 解析    BD=CE,BD⊥CE. 证明:∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中,  ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∵∠ABC+∠ACB=180°-90°=90°, 初中数学培优课堂 ∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠CBD+∠ACB=90°, 即∠CBD+∠BCD=90°, ∴∠BDC=180°-90°=90°,∴BD⊥CE. 初中数学培优课堂  　一线三等角模型 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥ CE于点D. (1)求证:△ADC≌△CEB. (2)若AD=5 cm,DE=3 cm,求BE的长度.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∵∠ACB=∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠BCE=∠CAD, 在△ADC与△CEB中,  ∴△ADC≌△CEB(AAS). (2)由(1)知△ADC≌△CEB, 初中数学培优课堂 ∴CE=AD=5 cm,CD=BE. ∵CD=CE-DE,DE=3 cm, ∴BE=CD=CE-DE=5-3=2(cm). 初中数学培优课堂  　半角模型 3.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别 是边BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,请直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系:__________. (2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别 是边BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然 成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC, CD所在直线上的点,且∠EAF= ∠BAD(顺时针旋转射线AE 　　　　　　     初中数学培优课堂 得到射线AF),请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系.                  初中数学培优课堂 解析    (1)如图1,延长EB到G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABC=90°,∴∠ABG=90°=∠D, 在△ABG与△ADF中,  ∴△ABG≌△ADF(SAS), ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF, ∵∠EAF= ∠BAD, ∴∠DAF+∠BAE= ∠BAD=∠EAF, 初中数学培优课堂 ∴∠BAG+∠BAE=∠EAG=∠EAF, 又∵AE=AE,AG=AF, ∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF. ∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD, 故答案为EF=BE+FD.        初中数学培优课堂 (2)(1)中的结论仍然成立. 证明:如图2,延长EB到G,使BG=DF,连接AG. ∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°, ∴∠ABG=∠D, 在△ABG与△ADF中,  ∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠BAG=∠DAF, ∵∠EAF= ∠BAD,∴∠DAF+∠BAE= ∠BAD=∠EAF, 初中数学培优课堂 ∴∠ BAG+∠BAE=∠EAG=∠EAF, 又∵AE=AE,AG=AF,∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF. ∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD. (3)①如图3,当E,F分别在BC,CD的延长线上时,在BE上截取 BG,使BG=DF,连接AG.   初中数学培优课堂 ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中,  ∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF, ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD,∴∠GAE= ∠BAD=∠EAF. 又∵AE=AE,AG=AF,∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF, 初中数学培优课堂 ∵EG=BE-BG,∴EF=BE-FD. ②如图4,当E,F分别在CB,DC的延长线上时,在DF上截取DH= BE,连接AH,   同①可证△AEB≌△AHD,△AEF≌△AHF, ∴EF=FH=FD-DH=FD-BE. 初中数学培优课堂 ③当E,F分别在线段BC,CD上时,由(2)可得EF=BE+FD. 综上所述,EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD. 初中数学培优课堂 $