11.6 第2课时 角平分线的应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦“角平分线的应用”，衔接角平分线性质定理，通过作垂线构造全等、方程思想设元等学习支架，引导学生掌握三角形角平分线分面积比、距离相等及综合证明等核心内容。 其亮点在于结合多地期中、月考题，以几何直观呈现辅助线作法，通过全等推理和方程思想培养数学思维，如用HL证全等求△ADE周长、设未知数求BC长。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供多样化题型及解题示范。

第十一章　三角形的证明及其应用 6　角平分线 第2课时　角平分线的应用 初中数学培优课堂  　三角形中三条角平分线的性质 1.(2025陕西西安经开区月考)如图,在△ABC中,∠CAB和∠CBA的 平分线交于点P,若AB∶BC∶AC=3∶2∶4,则△PAB,△PBC,△PAC的面积之比为 ( ) A.2∶3∶4　　　     B.3∶2∶4 C.4∶9∶16　　　    D.9∶4∶16     B     初中数学培优课堂 解析　如图,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,   ∵∠CAB和∠CBA的平分线交于点P, ∴PD=PE=PF,∵S△PAB= AB·PD,S△PBC= BC·PE,S△PAC= AC·PF, ∴S△PAB∶S△PBC∶S△PAC=AB∶BC∶AC=3∶2∶4.故选B. 初中数学培优课堂 2.(2025山东枣庄市中期中)如图,在△ABC中,∠B=80°,点D在 △ABC内部,且到三边的距离相等,则∠ADC=___________°.       130     初中数学培优课堂 解析　∵点D在△ABC内部,且到三边的距离相等,∴AD平分 ∠BAC,CD平分∠ACB, ∴∠DAC= ∠BAC,∠DCA= ∠ACB, ∵∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA, ∴∠ADC=180°- (∠BAC+∠ACB), ∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B, ∴∠ADC=180°- (180°-∠B)=90°+ ∠B, ∵∠B=80°,∴∠ADC=90°+ ×80°=130°. 故答案为130. 初中数学培优课堂  　角平分线的应用 3.(2025陕西西安新城三模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB的平分线交AB于点D,DE⊥AC于点E,若AB=3,AC=5,则△ADE的周长为 ( ) A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.7     A     初中数学培优课堂 解析　在Rt△ABC中,BC= =4, ∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°=∠B, ∵CD是∠ACB的平分线,∴DE=DB, ∵DC=DC,∴Rt△DBC≌Rt△DEC(HL), ∴CE=BC=4,∵AC=5,∴AE=1, ∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=3+1=4. 故选A. 初中数学培优课堂 4.(2025山东枣庄滕州期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,若CD=1,求AB的长.   初中数学培优课堂 解析　∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E, ∴DE=CD=1, ∵AC=BC,∴∠B=45°, ∵∠DEB=90°,∴∠BDE=45°=∠B, ∴BE=DE=1,∴BD= = , ∴BC=CD+BD=1+ =AC, ∴AB= = =2+ . ∴AB的长为2+ . 初中数学培优课堂   5.【学科特色·方程思想】(2025山东临沂莒南期中,★★☆)如 图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当的长为半径作 弧,分别交BC,BA于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于 DE的 长为半径作弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,作射线BP交 AC于点F.已知CF=3,AF=5,则BC的长为_________.     6     初中数学培优课堂 解析　如图,过点F作FG⊥AB于点G,   由作图得BF平分∠ABC, ∵FG⊥AB,∠C=90°,CF=3,AF=5, ∴GF=CF=3,AC=AF+CF=8, 在Rt△AFG中,根据勾股定理得AG= = =4, 初中数学培优课堂 ∵BF=BF,FG=CF, ∴Rt△GBF≌Rt△CBF(HL),∴BG=BC, 设BG=BC=x,则AB=4+x,在Rt△ABC中,根据勾股定理得AC2+ BC2=AB2, 即82+x2=(4+x)2,解得x=6,∴BC=6. 初中数学培优课堂 6.(2025山东烟台蓬莱期中,★★☆)如图,画∠AOB=90°,并画 ∠AOB的平分线OC,将三角尺的直角顶点落在OC上的一点P 处,使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E,F, 试猜想PE,PF的大小关系,并说明理由.   初中数学培优课堂 解析    PE=PF. 理由:如图,过点P作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,则 ∠PME=∠PNF=90°,   ∵OP平分∠AOB,∴PM=PN, ∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°, 初中数学培优课堂 ∴∠MPN=90°, ∵∠EPF=90°,∴∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN,即∠MPE= ∠NPF, 在△PEM和△PFN中,  ∴△PEM≌△PFN(ASA),∴PE=PF. 初中数学培优课堂 7.(2025福建厦门期末改编,★★☆)如图,在△ABC中,AP平分 ∠BAC,CP平分∠ACB,作PD⊥AB于点D,连接BP. (1)求证:BP平分∠ABC. (2)若AB=7,BC=5,AC=8,求BD的长.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:如图,过P作PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为E,F, ∵AP平分∠BAC,CP平分∠ACB, PD⊥AB,∴PD=PF,PE=PF, ∴PD=PE,∴BP平分∠ABC. (2)如图,∵BP平分∠ABC, ∴∠PBC=∠PBA, 在△PBE和△PBD中,  ∴△PBE≌△PBD(AAS),∴BE=BD, 初中数学培优课堂 同理可得CE=CF,AD=AF, 设BD=BE=x,则AD=AF=AB-BD=7-x,CE=CF=BC-BE=5-x, ∴AF+CF=7-x+5-x=AC=8, 解得x=2,即BD=2. 初中数学培优课堂 $