11.6角平分线第2课时（教学课件，含交互动画）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

11.6角平分线 第十一章 三角形的证明及其应用 第2课时 学 习 目 标 1.能熟练运用角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质，进行几何证明和计算;(重点) 2.掌握三角形三条角平分线的核心性质：相交于一点，且该点到三角形三边的距离相等.(难点) 知识回顾 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点 的距离相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在 . 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 到角的两边 角的平分线上 情境引入 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ A B C 新知探究 探究一：角平分线性质的综合应用 例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4cm，求AC的长; E D A B C (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°, ∴∠B=90°=45°. ∴∠BDE=90-°-45°=45°. ∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， BD=cm(勾股定理) ∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm. 新知探究 (2)求证:AB=AC+CD. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. E D A B C 新知探究 角平分线在三角形中的应用： 知识归纳 关键：利用“角平分线到角两边距离相等”，结合直角三角形、等腰三角形性质，分步转化线段关系，精准求解. 1.利用角平分线性质：遇角平分线+垂直条件，转化垂线段长度；无垂线段则作出垂线段，构造全等三角形转化线段； 2.结合三角形特征：借助等腰直角三角形的直角边相等，关联已知线段搭建等式； 3.计算求解：用勾股定理或建立方程求解. 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=6，则AE+DE等于　 　. 新知探究 6 （1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 新知探究 探究二：三角形的内角平分线 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 新知探究 （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ E D F A B C P N M 已知:如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂直分别为D,E,F.求证:点P在∠A的平分线上，且PD=PE=PF. 新知探究 分析:要证∠A的平分线经过点P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些结论？ 试试看，你会写出证明过程吗？ BM是∠ABC的平分线 CN是∠ACB的平分线 PD=PE PE=PF PD=PF 点P在∠BAC的平分线上 例题2，求证：三角形的三条角平分线相较于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 新知探究 E D F A B C P N M 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E. ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE=PF. ∴PD= PE= PF. 又∵PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC， ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 新知探究 三角形三条角平分线的性质： 知识归纳 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. D E F A B C P N M 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD=PE，PE=PF ∴PD=PE=PF. 2.如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为( ) A.18 B.30 C.24 D.27 A B C D I 新知探究 D 如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB. 例1 C F A E D B 典例分析 证明：∵AD平分∠CAB, DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. 如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，求点O到△ABC三边的距离和. 例2 M A B C P O D 典例分析 解：过点O作ON⊥BC，OE⊥AB, E N ∵点O在∠BAC，∠ABC的角平分线上， OM⊥AC ，ON⊥BC，OE⊥AB, ∴OM=OE,OE=ON, ∴OM=OE=ON=4, ∴OM+OE+ON=12. 巩固练习 1.如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE=1cm，BC=4cm，则△BEC的面积是（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 B 2.如图，△ABC中，CD是角平分线，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，EF与CD交于G，下列说法不一定正确的是（　　） A．CD也是△ABC中线 B．CD平分∠EDF C．CD⊥EF D．EG=GF A 巩固练习 3.如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 C 4.如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A=60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 B 巩固练习 5.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为 . A B C O 15 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM ⊥AB于M，OM=4，S△ABC=180，则△ABC的周长是 . C A B O M 90 巩固练习 7.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD=2CD. 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=DC， ∵在直角三角形BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE， ∴BD=2CD. A B C D E 巩固练习 l1 l2 l3 8.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. P1 P2 P3 P4 解：有4处，如图所示. 巩固练习 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F. (1)试说明BE=CF; (2)如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长. 解:(1)如图,连接BD,CD. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. ∵DG⊥BC且平分BC, ∴BD=CD. 在Rt△BED与Rt△CFD中, ∵BD=CD,DE=DF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴BE=CF. 巩固练习 (2)如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长. (2)在△AED和△AFD中,∵∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD, ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴AE=AF. 设BE=x,则CF=x. ∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1, ∴BE=1, ∴AE=AB-BE=5-1=4. 课堂小结 角平分线2 角平分线在三角形中的应用 三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 利用角平分线的性质，结合相关三角形性质，通过转化垂线段、搭建等式、建方程等求解得出答案. 感谢聆听! 例题讲解 例3 如图11-43，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 (1) 已知CD=2，求AC的长； (2) 求证：AB=AC+CD。 (1) 求AC的长 解题思路分析 步骤一：利用角平分线性质 💡 角平分线上的点到角两边的距离相等。 步骤二：利用等腰直角三角形性质 💡 等腰直角三角形的两个底角均为45°。 步骤三：在Rt△BDE中求BD 💡 利用勾股定理或三角函数求边长。 步骤四：求AC的长 💡 利用AC=BC=CD+BD求解。 详细解析 解： ∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，垂足为E， ∴DE=CD=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC（等边对等角）。 ∵∠C=90°， ∴∠B= 12 ×(180°-90°)=45°。 ∴∠BDE=90°-45°=45°。 ∵∠B=∠BDE=45°（等角对等边）， ∴BE=DE（等角对等边）。 在等腰直角三角形BDE中，∠BED=90°， BD=BE2+DE2=(2)2+(2)2=2（勾股定理）。 ∴AC=BC=CD+BD=2+2。 (2) 证明AB=AC+CD 解题思路分析 步骤一：证明三角形全等 💡 利用HL定理证明Rt△ACD≌Rt△AED。 步骤二：得出对应边相等 💡 全等三角形的对应边相等。 步骤三：线段代换 💡 利用AB=AE+BE进行线段代换。 详细解析 证明： 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∵CD=DE，AD=AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。 ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）。 ∴BE=DE=CD。 ∴AB=AE+BE=AC+CD。 $