11.5 第2课时 三角形三条边的垂直平分线-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件围绕三角形三条边的垂直平分线展开，通过“建凉亭到三顶点距离相等”的实际问题导入，衔接线段垂直平分线性质，构建“性质理解—作图应用—综合证明”的学习支架，帮助学生逐步掌握相关知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如教材变式题培养用数学眼光观察现实问题的能力，多解法题目（如∠BPC计算）发展推理思维，尺规作图题强化几何直观与应用意识。学生能提升问题解决能力，教师可借助多样化资源优化教学。

第十一章　三角形的证明及其应用 5　线段的垂直平分线 第2课时　三角形三条边的垂直平分线 初中数学培优课堂  　三角形三条边垂直平分线的性质 1.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛崂山月考)如图所示 的是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭,要使凉亭 到草坪三个顶点的距离相等,凉亭应选的位置是 ( ) A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点     C     初中数学培优课堂 解析　∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,∴ 要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,凉亭应选的位置是△ ABC三条边的垂直平分线的交点. 初中数学培优课堂 2.(2025山东聊城莘县期末)如图,在△ABC中,边AC,BC的垂直 平分线相交于点P.若∠C=110°,则∠APB=___________度.       140     初中数学培优课堂 解析　如图,连接CP,   ∵边AC,BC的垂直平分线相交于点P, ∴PA=PC=PB,∠PMC=∠PNC=90°, ∴∠APM=∠CPM,∠CPN=∠BPN, ∵∠C=110°,∴∠MPN=70°, 初中数学培优课堂 ∴∠CPM+∠CPN=70°,∴∠APB=∠APM+∠CPM+∠CPN+∠ BPN=2∠MPN=140°. 初中数学培优课堂  　与线段的垂直平分线有关的作图 3.如图,在△ABC中,∠BAC=38°,根据图中的尺规作图痕迹,可 得∠CAD的度数是___________.       33°     初中数学培优课堂 解析　由作图可知CA=BA,直线ED是线段AB的垂直平分线, ∴∠ABC=∠ACB,AD=BD, ∵∠BAC=38°,∴∠ABC=∠ACB= ×(180°-38°)=71°, ∴∠DAB=∠ABC=71°, ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=33°. 初中数学培优课堂 4.【新考向·尺规作图】(2025河北保定竞秀期末)如图,△ABC 中,AB=5,AC=8,∠C=30°. (1)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC中BC边上的高线AD. (保留作图痕迹,不写作法) (2)求BD的长度.   初中数学培优课堂 解析    (1)如图,AD即为所求作.   (2)∵AD为BC边上的高, ∴∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠C=30°,AC=8,∴AD= AC=4, ∵AB=5,∴BD= = =3. 初中数学培优课堂   5.【学科特色·多解法】(2025山东枣庄滕州期中,★★☆)如图, 在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若 ∠A=50°,则∠BPC= ( )     A     A.100° B.95° C.90° D.50° 初中数学培优课堂 解析　【解法一】如图,连接AP,延长BP交AC于点D,   ∵∠PDC是△ABD的外角,∴∠PDC=∠BAC+∠ABP, ∵∠BPC是△PCD的外角, ∴∠BPC=∠PDC+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP, ∵点P是AB,AC的垂直平分线的交点, 初中数学培优课堂 ∴PA=PB=PC,∴∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP, ∴∠BPC=∠BAC+∠BAP+∠CAP=2∠BAC=2×50°=100°. 【解法二】如图,连接AP.   ∵点P是AB,AC的垂直平分线的交点, ∴PA=PB=PC, 初中数学培优课堂 ∴∠ABP=∠BAP,∠ACP=∠CAP, ∴∠PBC+∠PCB=180°-(∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP)=180° -2∠BAC=180°-2×50°=80°, ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-80°=100°. 初中数学培优课堂 6.(2025陕西西安新城二模,★★☆)如图,点A在直线l外,点A到 直线l的距离为4.请利用尺规作图法,作等腰△ABC,使B,C在直 线l上,且S△ABC=8(作一个满足条件的三角形即可,不写作法,保 留作图痕迹).   初中数学培优课堂 解析　如图所示,△ABC即为所求.   提示:由作图得,AC⊥BC,AC=BC=4, ∴△ABC是等腰三角形,且S△ABC= ×4×4=8. 初中数学培优课堂 7.(2025山东德州陵城期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC>9 0°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线 分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P,连接AF,AN. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上. (2)已知∠FAN=56°,求∠FPN的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:如图,连接PB,AP,PC,   ∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC, ∴点P在线段BC的垂直平分线上. 初中数学培优课堂 (2)∵PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, ∴PE⊥AB,PM⊥AC,FA=FB,NA=NC,∴∠AEP=∠AMP=90°, ∠ABF=∠BAF,∠ACN=∠CAN, 设∠ABF=∠BAF=x,∠ACN=∠CAN=y, ∵∠ABF+∠ACN+∠BAC=180°,∠FAN=56°, ∴2x+2y+56°=180°,∴2(x+y)=124°, ∴x+y=62°,∴∠BAC=x+y+56°=118°, ∵∠FPN+∠AEP+∠BAC+∠AMP=360°,∴∠FPN=360°-90°-118°-90°=62°. 初中数学培优课堂 $