11.1 第2课时 三角形的外角-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及外角应用，通过基础例题导入，从外角识别、三角尺叠放等具体问题过渡到推论应用，再到双角平分线模型，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融入推理能力与模型意识，如“规形图”探究角关系培养推理思维，双角平分线模型总结强化模型观念。采用例题解析与模型解读结合，助力学生深化理解，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

第十一章　三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第2课时　三角形的外角 初中数学培优课堂  　三角形的外角 1.(2025福建厦门海沧期中)如图,下列各角中,是△ACD的外角 的是 ( )   A.∠B　　    B.∠ACB　　    C.∠BAC　　    D.∠DAE     B     初中数学培优课堂 解析　题图中∠ACB是△ACD的外角.故选B. 初中数学培优课堂  　三角形内角和定理的推论1 2.(2025山东德州乐陵张屯中学月考)如果将一副三角尺按如 图所示的方式叠放,那么∠1等于 ( )   A.120°　　    B.105°　　    C.60°　　    D.45°     B     初中数学培优课堂 解析　如图,∵一副三角尺按如图所示的方式叠放, ∴∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.   初中数学培优课堂 3.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛市南期末)如图,△ ABC中,∠A=40°,将边AC延长至D,若∠DCB=3∠B,则∠B的度 数为 ( )   A.80°　　    B.60°　　    C.40°　　    D.20°     D     初中数学培优课堂 解析　∵∠DCB是△ABC的外角,∴∠DCB=∠A+∠B, ∵∠DCB=3∠B,∠A=40°, ∴3∠B=40°+∠B,∴∠B=20°. 初中数学培优课堂 4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠BAD,∠ACB =2∠B,点E在BC的延长线上.求∠ACE的度数.   初中数学培优课堂 解析　∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC, ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,∠B=∠BAD,∠ACB=2∠B,∴∠B +2∠B+2∠B=180°,∴∠B=36°, ∴∠BAC=72°, ∵∠ACE是△ABC的外角, ∴∠ACE=∠B+∠BAC=36°+72°=108°. 初中数学培优课堂  　三角形内角和定理的推论2 5.(2025山东淄博张店柳泉中学月考)如图,∠2是△ABC的一 个外角,那么∠2与∠B+∠1的大小关系是 ( )   A.∠2>∠B+∠1　　　    B.∠2=∠B+∠1 C.∠2<∠B+∠1　　　    D.无法确定     A     初中数学培优课堂 解析　∵∠2>∠ADC,∠ADC=∠B+∠1, ∴∠2>∠B+∠1. 初中数学培优课堂 6.如图,有以下结论:①∠BFD>∠AEF;②∠BEC>∠BAE;③∠C< ∠BAD;④∠BFD>∠BAD.其中正确的是_______(填序号).   　②④     初中数学培优课堂 解析    无法比较∠BFD与∠AEF的大小,故①不正确;因为∠ BEC是△ABE的外角,所以∠BEC>∠BAE,故②正确;∠C与∠ BAD无法比较大小,故③不正确;因为∠BFD是△ABF的外角, 所以∠BFD>∠BAD,故④正确. 综上,正确的序号是②④. 初中数学培优课堂   7.(2025山东枣庄市中期末,★★☆)如图,在△ABC中,点E和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA的平分线交AB于点D,∠ MAC是△ABC的外角,若∠EFC=α,∠MAC=β,∠ADC=γ,则α,β, γ三者之间的数量关系是 ( )     D     A.β=α+γ　　　     B.β=2α-2γ C.β=α+2γ　　　     D.β=2γ-α 初中数学培优课堂 解析　∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC=α, ∵CD平分∠BCA,∴∠ACB=2∠BCD, ∵∠ADC是△BDC的外角,∴∠ADC=∠B+∠BCD, ∵∠ADC=γ,∴∠BCD=γ-α, ∵∠MAC是△ABC的外角,∴∠MAC=∠B+∠ACB, ∵∠MAC=β,∴β=α+2(γ-α), 即β=2γ-α.故选D. 初中数学培优课堂 8.(★★★)图1为一张五边形纸片ABCDE,F点在CD上,且以 BE,BF,FE为折线将纸片向内折至同一平面后,A,C,D恰重叠在 同一点P,如图2所示.若BE>FE>BF,则根据图2中标示的角,判 断各选项叙述正确的是 ( )     A     初中数学培优课堂 A.∠3+∠4=90°,∠1+∠2>∠5+∠6 B.∠3+∠4=90°,∠1+∠2<∠5+∠6 C.∠3+∠4≠90°,∠1+∠2>∠5+∠6 D.∠3+∠4≠90°,∠1+∠2<∠5+∠6 初中数学培优课堂 解析　由折叠的性质可知,∠3=∠BFP,∠4=∠EFP, ∵∠3+∠BFP+∠4+∠EFP=180°, ∴2(∠3+∠4)=180°,∴∠3+∠4=90°, ∵FE>BF,∴在△BFE中,∠FBE>∠BEF, 根据折叠的性质可知,∠FBE=∠1+∠2,∠BEF=∠5+∠6, ∴∠1+∠2>∠5+∠6.故选A. 初中数学培优课堂 9.(2025山东烟台芝罘期中,★★☆)如图,∠EAC和∠DCA都是△ABC的外角,若∠EAC=∠DCA=3∠B,则∠B的度数是___________.            36° 初中数学培优课堂 解析　∵∠EAC和∠DCA都是△ABC的外角, ∴∠EAC=∠B+∠ACB,∠DCA=∠B+∠BAC, ∵∠EAC=∠DCA=3∠B, ∴∠B+∠ACB=∠B+∠BAC=3∠B, ∴∠ACB=∠BAC=2∠B, ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°, ∴5∠B=180°,解得∠B=36°. 初中数学培优课堂 10.(2025山东菏泽巨野期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=38°, ∠ABC=42°,BE平分∠ABC,∠E=19°. (1)求∠ECD的度数. (2)求证:CE平分∠ACD.   初中数学培优课堂 解析    (1)∵∠ABC=42°,BE平分∠ABC, ∴∠EBC= ∠ABC=21°, ∵∠ECD是△BCE的外角,∠E=19°, ∴∠ECD=∠E+∠EBC=40°. (2)证明:∵∠A=38°,∠ABC=42°,∠ACD是△ABC的外角, ∴∠ACD=∠ABC+∠A=80°, 由(1)得∠ECD=40°,∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=40°, ∴∠ACE=∠ECD,∴CE平分∠ACD. 初中数学培优课堂   11.【新课标·推理能力】(2025山东泰安岱岳期中)材料阅读: 如图①所示的图形,像我们常见的学习用品——圆规.我们不 妨把这样的图形叫作“规形图”.解决问题: (1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的数量 关系,并说明理由. (2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题: (i)如图②,把一块三角尺DEF放置在△ABC上,使三角尺的两 条直角边DE,DF恰好经过点B,C,若∠A=40°,则∠ABD+∠ACD=_ _°. 初中数学培优课堂 (ii)如图③,BD平分∠ABP,CD平分∠ACP,若∠A=40°,∠BPC= 130°,求∠BDC的度数. (iii)如图③,BD平分∠ABP,CD平分∠ACP,若∠A=α,∠BPC=β, 则∠BDC=________.             　　　　     初中数学培优课堂 解析    (1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 理由:如图,连接AD,并延长至F,   根据三角形外角的性质可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠ C+∠CAD,∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠ CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. (2)(i)同(1)可得∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A, 初中数学培优课堂 ∵∠A=40°,∠BDC=90°, ∴∠ABD+∠ACD=90°-40°=50°. 故答案为50. (ii)同(1)可得∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP, ∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD, ∴∠ABP+∠ACP=∠BPC-∠A=130°-40°=90°, ∵BD平分∠ABP,CD平分∠ACP, ∴∠ABD+∠ACD= (∠ABP+∠ACP)=45°, 初中数学培优课堂 ∴∠BDC=45°+40°=85°. (iii)同(1)可得∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP, ∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD, ∴∠ABP+∠ACP=∠BPC-∠A=β-α, ∵BD平分∠ABP,CD平分∠ACP, ∴∠ABD+∠ACD= (∠ABP+∠ACP)= (β-α), ∴∠BDC=α+ (β-α)= (α+β). 故答案为 (α+β). 初中数学培优课堂 微专题　双角平分线模型 1.(2025山东菏泽定陶期末)如图,BE,CF都是△ABC的角平分 线,且∠BDC=130°,则∠A= ( )   A.50°　　    B.60°　　    C.70°　　    D.80°     D     初中数学培优课堂 解析　∵BE,CF都是△ABC的角平分线, ∴∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠BCD, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠DBC+∠BCD), ∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD), ∴∠BDC=90°+ ∠A,∴130°=90°+ ∠A, ∴∠A=80°.故选D. 初中数学培优课堂 模型解读 双内角平分线模型:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分 线交于点O,则∠BOC=90°+ ∠A.   初中数学培优课堂 2.(2025山东临沂六中月考)如图,若BD,CD分别是△ABC的两 个外角∠CBE,∠BCF的平分线,∠BDC=80°,则∠A=_______.       20°     初中数学培优课堂 解析　∵BD,CD分别是∠CBE,∠BCF的平分线, ∴∠DBC= ∠CBE,∠BCD= ∠BCF, ∴∠CBE+∠BCF=2(∠DBC+∠BCD)=2(180°-∠BDC)=200°, ∵∠CBE+∠ABC=180°,∠BCF+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=360°-(∠CBE+∠BCF)=160°, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=20°. 初中数学培优课堂 模型解读 双外角平分线模型:如图,BD,CD分别是△ABC的两个外角 ∠CBE,∠BCF的平分线,则∠BDC=90°- ∠A.   初中数学培优课堂 3.(2025山东烟台龙口期中改编)如图,在△ABC中,∠ABC的平 分线交△ABC的外角∠ACD的平分线于点E,若∠1=α,则∠2 的大小为________.(用含α的式子表示)   　　　　      α 初中数学培优课堂 解析　∵BE平分∠ABC,∴∠CBE= ∠ABC, ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE= ∠ACD, ∵∠ACD是△ABC的外角,∠ECD是△BCE的外角,∴∠ACD= ∠1+∠ABC,∠ECD=∠EBC+∠2,∴∠2=∠ECD-∠EBC= (∠ ACD-∠ABC)= ∠1= α. 初中数学培优课堂 模型解读 　内外角平分线模型:如图,BP是∠ABC的平分线,CP是△ABC 的外角∠ACM的平分线,则∠P= ∠A.   初中数学培优课堂 $