11.4 第1课时 勾股定理及其逆定理-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦直角三角形，系统讲解勾股定理及其逆定理、互逆命题与逆定理，通过数轴几何问题导入，衔接三角形证明知识，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合中考真题与生活实例，如梯子高度计算、消防云梯问题，培养数学眼光，通过多解法和新定义“垂美”四边形，发展推理能力与模型意识，助力学生巩固知识提升素养，教师可高效开展分层教学。

第十一章　三角形的证明及其应用 4　直角三角形 第1课时　勾股定理及其逆定理 初中数学培优课堂  　勾股定理 1.(2025山东临沂兰山期中)如图,数轴上点A表示的数是0,点B 表示的数是1,CB⊥AB,垂足为B,且BC=1,以A为圆心,AC的长 为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为 ( )   A. 　　    B.- 　　    C.1+ 　　    D.1-      A     初中数学培优课堂 解析　由题意得AB=1,AD=AC, ∵CB⊥AB,BC=1, ∴AC2=AB2+BC2=2,∴AD=AC= , ∵点A表示的数为0, ∴点D表示的数为 .故选A. 初中数学培优课堂 2.(2025江苏连云港中考)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为_______m.            2.4 初中数学培优课堂 解析　如图,由题意知∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2, ∵AC=3 m,BC=1.8 m, ∴AB2=AC2-BC2=32-1.82=5.76,∴AB=2.4 m, ∴梯子顶端的高度h为2.4 m.   初中数学培优课堂 3.某校在一次消防演练中,消防队员需要通过攀爬20米长的云 梯,到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如 图所示的方式停放,云梯的底端A离地3米,与宿舍外墙OM的 距离是6米.请问云梯够长吗?说明理由.        初中数学培优课堂 解析　够长.理由如下: 如图,连接AM,由题意得AC=6米,∠ACM=90°,OM=21米,OC=3 米,∴CM=OM-OC=18米, ∵AC2+CM2=AM2,∴AM2=62+182=360, ∴AM= 米, ∵ <20,∴云梯够长.   初中数学培优课堂  　勾股定理的逆定理 4.(2025山东泰安肥城期末)下列四组数据中,能作为直角三角 形三边长的是 ( ) A.32,42,52　　　     B. , ,  C. ,1, 　　　     D.7,12,13     C     初中数学培优课堂 解析    A.∵(32)2+(42)2≠(52)2,∴不能作为直角三角形三边长,不 符合题意; B.∵ + ≠ ,∴不能作为直角三角形三边长,不符合 题意; C.∵ +12= ,∴可以作为直角三角形三边长,符合题意; D.∵72+122≠132,∴不能作为直角三角形三边长,不符合题意. 故选C. 初中数学培优课堂 5.【学科特色·易错题】(2025山东德州期中)某公园计划美化 一块四边形区域ABCD,用来打造特色花卉展览区,每平方米 的布置费用为120元.已知AB⊥BC,相关长度如图所示(AB=6 m,BC=8 m,CD=24 m,AD=26 m).请计算美化这块区域所需的 费用.   初中数学培优课堂 解析　如图,连接AC,   ∵AB⊥BC,∴AB2+BC2=AC2, ∵AB=6 m,BC=8 m,∴AC2=62+82=100,∴AC=10 m, ∵CD=24 m,AD=26 m,∴AC2+CD2=AD2, 初中数学培优课堂 ∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°, ∴四边形ABCD面积为 AB·BC+ AC·CD= ×6×8+ ×10×24=144 (m2). ∴美化这块区域所需的费用为144×120=17 280元. 初中数学培优课堂 易错警示 勾股定理是直角三角形的性质,因此运用勾股定理可以求出 线段AC的长,△ACD的三边长都知道了,可用勾股定理的逆定 理证△ACD是直角三角形. 初中数学培优课堂  　互逆命题与互逆定理 6.【学科特色·教材变式】(2025山东聊城高新区文轩中学模拟)下列定理中,没有逆定理的是 ( ) A.等腰三角形的两个底角相等 B.对顶角相等 C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.直角三角形两个锐角的和等于90°     B     初中数学培优课堂 解析　“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个 角相等的三角形是等腰三角形”,逆命题为真命题,故A不符 合题意; “对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,逆 命题是假命题,故B符合题意; “有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”的逆命题 是“等边三角形有一个角等于60°,且是等腰三角形”,逆命题 是真命题,故C不符合题意; “直角三角形两个锐角的和等于90°”的逆命题是“两个角 初中数学培优课堂 的和等于90°的三角形是直角三角形”,逆命题是真命题,故D 不符合题意.故选B. 初中数学培优课堂 7.(2024江苏宿迁中考)命题“两直线平行,同位角相等”的逆 命题是__________________________. 　同位角相等,两直线平行     初中数学培优课堂 解析　∵原命题的条件为两直线平行,结论为同位角相等,∴ 其逆命题为同位角相等,两直线平行. 初中数学培优课堂   8.【学科特色·易错题】(2025山东济宁兖州期中改编,★★☆) 有下列命题:①邻补角互补;②全等三角形的面积相等;③如果 a>0,b>0,那么ab>0;④两直线平行,内错角相等.这些命题的逆 命题是真命题的有 ( ) A.1个　　    B.2个　　    C.3个　　    D.4个     A     初中数学培优课堂 解析　①邻补角互补,逆命题为互补的两个角为邻补角,是假 命题;②全等三角形的面积相等,逆命题为面积相等的三角形 全等,是假命题;③如果a>0,b>0,那么ab>0,逆命题为如果ab>0, 那么a>0,b>0,是假命题;④两直线平行,内错角相等,逆命题为 内错角相等,两直线平行,是真命题.故这些命题的逆命题是真 命题的有1个. 初中数学培优课堂 易错警示 此题注意认真读题,不要误认为是判断原命题的真假. 初中数学培优课堂 9.(★★☆)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1 个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD 交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 ( )   A.180°-α　　　     B.180°-2α C.90°+α　　　     D.90°+2α     C     初中数学培优课堂 解析　如图,过B点作BG∥CD交网格线于点G,连接EG,   ∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α. ∵BG2=12+42=17, BE2=12+42=17, EG2=32+52=34, 初中数学培优课堂 ∴BG2+BE2=EG2, ∴△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°, ∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C. 初中数学培优课堂 10.【新考向·尺规作图】(2025四川南充中考,★★☆)如图,∠ AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC的长为半径 画弧;再以点C为圆心,OC的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内 部相交于点D,连接CD并延长,交射线OA于点E.设OC=1,则OE 的长是_________.   初中数学培优课堂 解析　如图,连接OD, 由作图可得OD=OC=CD, ∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°. ∵∠AOB=90°,∴∠CEO=30°, ∵OC=1,∴CE=2OC=2, ∵OC2+OE2=CE2,∴12+OE2=22, 解得OE= (舍负). 初中数学培优课堂 11.【学科特色·多解法】(2024陕西中考A卷,★★★)如图,在 △ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF ∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面 积为__________.       60     初中数学培优课堂 解析　【解法一】∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF, ∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF,   如图,过点C分别作CM⊥AB,CN⊥BF,垂足分别为M,N, 初中数学培优课堂 ∴∠BMC=∠BNC=90°, 又∵BC=BC,∠ABC=∠CBF,∴△BMC≌△BNC,∴CM=CN, ∵S△ACE= AE·CM,S△CBF= BF·CN,且BF=AE,∴S△CBF=S△ACE, ∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA, 设AM=x,∵AC=AB=13,∴BM=13-x, 由勾股定理得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2, ∴132-x2=102-(13-x)2,解得x= , ∴CM2=132- = ,∴CM= , 初中数学培优课堂 ∴四边形EBFC的面积=S△CBA= AB·CM=60. 【解法二】同解法一可得四边形EBFC的面积=S△CBA,如图,过 点A作AH⊥BC于点H,∵AB=AC=13,∴CH=BH= BC=5,由勾 股定理可得AH2=AC2-CH2=132-52=144,∴AH=12,∴四边形 EBFC的面积=S△ABC= BC·AH=60.   初中数学培优课堂 12.(2025山东济宁曲阜期中,★★☆)一艘轮船以16海里/时的 速度离开港口点O,如图,向北偏东40°的方向航行,另一艘轮船 同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行,已知它们 离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里),问另一艘轮船航 行的方向是北偏西多少度?   初中数学培优课堂 解析　根据题意得∠AOD=40°,OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里), ∵OA2+OB2=242+182=302=AB2, ∴△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°, ∴∠BOD=90°-40°=50°, ∴另一艘轮船航行的方向是北偏西50°. 初中数学培优课堂   13.【新课标·推理能力】【新考向·新定义题】(2025山东淄博高青期末)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O. (1)若AO=2,BO=3,CO=4,DO=5,请求出AB2,BC2,CD2,DA2的值. (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值. (3)请根据(1)(2)中的信息,写出“垂美” 四边形关于边的一条结论. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵AC⊥BD, ∴△ABO是直角三角形,∴AB2=AO2+BO2, 同理可得BC2=BO2+CO2,CD2=CO2+DO2, AD2=AO2+DO2, ∵AO=2,BO=3,CO=4,DO=5, ∴AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29. (2)由(1)得BC2+AD2=(BO2+CO2)+(AO2+DO2)=(BO2+AO2)+(CO2 +DO2)=AB2+CD2,即BC2+AD2=AB2+CD2, ∵AB=6,CD=10,∴BC2+AD2=62+102=136. (3)结论:“垂美”四边形的两组对边的平方和相等. 初中数学培优课堂 $