11.1 第1课时 三角形内角和定理-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及直角三角形性质与判定，通过方程思想、教材变式等例题导入，衔接三角形内角和基础与综合证明应用，构建从基础到能力提升的学习支架。 其亮点在于融入学科特色题型培养推理能力，跨物理光的反射题发展几何直观，分层设计助力学生逐步提升。教师使用可实现分层教学，学生能深化数学思维，提升问题解决能力。

第十一章　三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时　三角形内角和定理 初中数学培优课堂  　三角形内角和定理 1.【学科特色·方程思想】(2025山东青岛胶州月考)若△ABC 中,∠A=80°,且∠B∶∠C=3∶2,则∠B的度数为 ( ) A.40°　　    B.50°　　    C.60°　　    D.70°     C     初中数学培优课堂 解析　设∠B=3x,∠C=2x, 根据三角形内角和定理得3x+2x+80°=180°,解得x=20°, ∴∠B=3x=60°,故选C. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·教材变式】(2025山东德州庆云期末)如图所示, 在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.若∠A=30°,∠C=70°,则 ∠BED的度数是 ( )     B     A.30° B.40° C.50° D.70° 初中数学培优课堂 解析　∵∠A=30°,∠C=70°, ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-30°-70°=80°, ∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠CBE= ∠ABC=40°, ∵DE∥BC,∴∠BED=∠CBE=40°. 初中数学培优课堂 3.(2025山东滨州邹平期末)△ABC中,若∠B=∠A+15°,∠C=2 ∠B-5°,则∠A的度数是___________.     35°     初中数学培优课堂 解析　∵∠B=∠A+15°,∠C=2∠B-5°, ∴∠C=2∠A+25°, ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A+∠A+15°+2∠A+25°=180°, ∴∠A=35°. 初中数学培优课堂 4.(2025山东济南高新区期中)如图,在△ABC中,∠ABC=24°,∠ ACB=118°,AD平分∠BAC,AE⊥BC的延长线于点E,求∠DAE 的度数.   初中数学培优课堂 解析　∵△ABC中,∠ABC=24°,∠ACB=118°, ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=38°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC= ∠BAC=19°, ∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=43°. ∵AE⊥BC,∴∠E=90°, ∴∠DAE=180°-∠ADC-∠E=47°. 初中数学培优课堂  　直角三角形的性质与判定 5.(2024内蒙古呼伦贝尔中考)如图,AD∥BC,AB⊥AC,若∠1=3 5.8°,则∠B的度数是 ( )   A.35°48'　　　    B.55°12' C.54°12'　　　    D.54°52'     C     初中数学培优课堂 解析　∵AD∥BC,∴∠C=∠1=35.8°, ∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°, ∴∠B=90°-∠C=54.2°=54°12'. 初中数学培优课堂 6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为CB延长线上一点,E为 AC上一点,连接DE交AB于点F,若∠A=∠D,求证:△AEF是直 角三角形.   初中数学培优课堂 证明　∵∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°, ∵∠A=∠D,∴∠D+∠C=90°, ∴∠DEC=180°-(∠D+∠C)=180°-90°=90°, ∴∠AEF=180°-∠DEC=90°, 即△AEF是直角三角形. 初中数学培优课堂 7.(2025广东东莞石碣中学期末)如图,已知BE和CD是△ABC的两 条高线,BE,CD交于点O,∠ABC=50°,∠ACB=80°,求∠BOC的度数.   初中数学培优课堂 解析　∵∠ABC=50°,∠ACB=80°, ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(50°+80°)=50°. ∵BE和CD是△ABC的两条高线, ∴∠AEB=∠BDO=90°, ∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=40°, ∴∠BOD=90°-∠ABE=50°, ∴∠BOC=180°-50°=130°. 初中数学培优课堂   8.(2025山东济南育英教育集团期中,★★☆)具备下列条件的 三角形ABC,不是直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B= ∠C C.∠A=90°-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5     D     初中数学培优课堂 解析    A.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C+∠C=1 80°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形; B.∵∠A=∠B= ∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠C+ ∠C+∠ C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形; C.∵∠A=90°-∠B,∠A+∠B+∠C=180°, ∴90°-∠B+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形; D.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C= ×180°=100°>90°,∴△ABC不是直角三角形.故选D. 初中数学培优课堂 9.(2025广东汕头潮南期中,★★☆)如图,BD是∠ABC的平分线, AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则∠BAD= ( )   A.50°　　    B.58°　　    C.60°　　    D.62°          B 初中数学培优课堂 解析　∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC. ∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°-∠ABD=90°- ∠ABC, 在△ABC中,∵∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°,∠DAC=20°,∠C=38°, ∴∠ABC+38°+ +20°=180°, ∴∠ABC=64°,∴∠ABD=32°,∴∠BAD=90°-32°=58°,故选B. 初中数学培优课堂 10.(2025山东潍坊高密月考,★★☆)如图,∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F=____________.       360°     初中数学培优课堂 解析　如图,连接AD,设G为AF与ED的交点,   在△EFG和△ADG中,∠E+∠F+∠EGF=∠GAD+∠GDA+∠AGD =180°, ∵∠EGF=∠AGD,∴∠E+∠F=∠GAD+∠GDA, ∴∠BAG+∠B+∠C+∠GDC+∠E+∠F=∠BAG+∠B+∠C+∠GDC+∠GAD+∠GDA=∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°. 初中数学培优课堂 11.(2025山东淄博张店期中,★★☆)△ABC中,∠A=55°,∠B=75°, 将△ABC的一角折叠,点C落在原△ABC内,如图,若∠CDA= 20°,则∠CEB=___________.       80°     初中数学培优课堂 解析　∵原△ABC中,∠A=55°,∠B=75°, ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°, 折叠后,∵∠CDA=20°,∴∠CDE= =80°, ∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=180°-50°-80°=50°, ∴∠CEB=180°-2∠CED=180°-2×50°=80°. 初中数学培优课堂 12.【学科特色·教材变式】(2025四川内江隆昌知行中学期 末,★★★)如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=35°,∠C=65°. (1)求∠DAE的度数. (2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥ BC”,∠B=α,∠C=β(α<β),请用含α,β的代数式表示∠DFE.  　　      初中数学培优课堂 解析    (1)∵∠B=35°,∠C=65°, ∴∠BAC=180°-35°-65°=80°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°, ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=105°, ∴∠ADE=180°-105°=75°. ∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°, ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-75°=15°. 初中数学培优课堂 (2)∵∠B=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-α-β, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=90°- (α+β), ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=90°+ (β-α), ∴∠ADE=180°-∠ADB=90°- (β-α), ∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°, ∴∠DFE=90°-∠ADE= (β-α). 初中数学培优课堂   13.【新课标·推理能力】【跨物理·光的反射】(2025山东淄 博周村期中)【生活常识】射到平面镜上的光线(入射光线)和 变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1,MN 是平面镜,若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1,反射光线OB 与水平镜面夹角为∠2,则∠1=∠2. 【应用探究】有两块平面镜OM,ON,入射光线AB经过两次反 射,得到反射光线CD. (1)如图2,若OM⊥ON,试证明AB∥CD. 初中数学培优课堂 (2)如图3,光线AB与CD相交于点P,若∠MON=48°,求∠BPC的 度数. (3)如图4,光线AB与CD所在的直线相交于点P,∠MON=α,∠BPC= β,试猜想α与β之间满足的数量关系,并说明理由.  　　      初中数学培优课堂  　　      初中数学培优课堂 解析    (1)证明:∵OM⊥ON, ∴∠MON=90°,∴∠2+∠3=90°, ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=360°-2(∠2+ ∠3)=360°-2×90°=180°, ∴AB∥CD. (2)∵∠MON=48°,∴∠2+∠3=132°, 同(1)可得∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=360°-2(∠2+∠3)=360°-2×132°=96°, 初中数学培优课堂 ∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠BCD)=180°-96°=84°. (3)β=2α.理由如下: ∵∠ODC=∠PDB,∴根据三角形内角和定理可得∠PBD+∠P =∠MON+∠4,∵∠MON+∠2+∠OCB=180°,∠OCB+∠3=180°, ∴∠MON+∠2=∠3, ∵∠3=∠4,∠1=∠2=∠PBD,∴∠1+β=α+α+∠1, ∴β=2α. 初中数学培优课堂 $