11.5线段的垂直平分线第2课时（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

11.5 线段的垂直平分线 第十一章 三角形的证明及其应用 第2课时 学 习 目 标 1.已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形；(难点) 2.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线； 3.理解并掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．(重点) 知识回顾 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到 相等. 2.线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上. P A B ∟ 几何语言： ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴ = . A B P 几何语言： ∵PA=PB, ∴点P在AB的 上. 线段两端的距离 PA PB 垂直平分线 垂直平分线 情境引入 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？ a h 已知三角形的一条边a及这条边上的高h，你能画出满足条件的三角形吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h. A1 D C B A a h (D) C B A a h A1 D C B A a h A1 能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 新知探究 探究一：尺规作图 (1)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴进行交流。 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． (2)梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。 新知探究 如图，已知线段a、h，用尺规作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. a h 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 （1）作线段BC，使BC=a； （2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D； （3）在l上作线段DA，使DA=h； （4）连接AB、AC. △ABC为所求的等腰三角形. B C l D A 新知探究 还记得用尺规过直线l上点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的为法吗?请你试一试，并与同伴进行交流。 如果点P在直线l外，仍然可以转化为作线段的垂直平分线的问题. 作图基本思路： 先以点P为圆心画弧，交直线l于两点A、B，构造出线段AB；然后再作线段AB的垂直平分线，即为过直线l外一点P的垂线。 梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线”的方法和步骤。 作法 图形 Q ● P ● l 新知探究 如图，已知直线 l 和l 外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. 1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2.以点P为圆心，以 PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B. 3.作线段AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 请按照给出的作法作出相应的图形： B A m 为什么直线m经过点P? 1.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（　C　） A.40° B.45° C.50° D.60° 新知探究 C 新知探究 探究二：三角形三边的垂直平分线的性质 三角形的三条垂直平分线相交于一点. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，你有什么发现？与同伴进行交流. 你能证明你的发现吗? 例 已知： 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD于边BC的垂直平分线PE相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. A B C D P 新知探究 试着写出证明过程. 分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上 新知探究 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵点P在AB的垂直平分线上， ∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 同理 PB=PC (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). ∴PA=PB=PC. ∴点P在AC的垂直平分线上 (到一条线段两个端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). A B C D P 新知探究 三角形三边的垂直平分线的性质: 知识归纳 三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 几何语言： ∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点， ∴　PA =PB=PC． A B C P 新知探究 2.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接 PB，PC.若∠A=70°，则∠PBC的度数是 . P A B C M N 20° 典例分析 解：∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC， ∴AD＝BD，AE＝CE. ∵△ADE的周长为6， ∴AD＋DE＋AE＝6， ∴BD＋DE＋CE＝6， 即BC＝6. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N；若△ADE的周长为6，求BC的长. 例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.(1)作边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数. 例2 典例分析 解: :(1)如图所示，直线MN即为所求图形. (2)如图,连接BD. ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D, ∴AD=BD. ∵∠A=40°, ∴∠ABD=∠A=40°. ∵AB=AC, ∴∠ABC=(180°-∠A)=70°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°. D 巩固练习 1.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的 (    ) A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 B 2.如图所示，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是(　　)A.PB>PC B.PB=PC C.PB<PC D.PB=2PC B 巩固练习 3.综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长；②已知一条直角边长和斜边长；③已知一个锐角和斜边长.图(1)、图(2)、图(3)分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是 (   ) A.①②③ B.②③①   C.①③②   D.③①② C 4.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，交AC于点D，则△BDC的周长为( ) A.8 B.10 C.11 D.13 巩固练习 A 5.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 C 6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接 PA，PB，PC，若∠PAD = 45°，则∠ABC=         . 巩固练习 45° 7.如图，在等腰Rt△ABC 中，AB =AC，尺规作图如下：以点 B为圆心，适当长为半径画弧，交边 BC 于点 D，分别以点B，D为圆心，大于BD 的长为半径画弧，相交于点 E，F，作直线EF，与AB，BC 分别交于点G，H，则∠AGH= . 135° 巩固练习 8.如图，已知等腰△ABC的底边BC的长为a，△ABC底边BC上的中线长为b，请用尺规作图作等腰△ABC. (保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，△ABC即为所求. 巩固练习 9.如图，在△ABC中，P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到边AB和AC的距离相等，并且到点B和点P的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，点M即为所求. 巩固练习 10.如图所示，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的三边垂直平分线的交点，求∠ACB的度数. ∵点O为△ABC的三边垂直平分线的交点, ∴OA=OB=OC, ∴∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC. ∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°, ∴∠OCA+∠OCB=90°, 即∠ACB=90°. 解: 连接OC. 巩固练习 11.如图所示，P为△ABC三边垂直平分线的交点,若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数. 解: ∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB, ∴∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°,∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB=(180°-2×20°-2×30°)=40°. 课堂小结 线段的垂直平分线2 尺规作图 三角形三边垂直平分线的性质 已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形. 过直线外一点作已知直线的垂线. 三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 感谢聆听! $